朱長(zhǎng)鵬，陳 萍

（南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094）

引言

期權(quán)是最重要的金融衍生工具之一，是一種發(fā)展比較成熟的金融工具，合理定價(jià)是期權(quán)發(fā)展的基礎(chǔ)。在20世紀(jì)70年代以前，期權(quán)定價(jià)一直沒有一個(gè)合適的模型；1973年，Black和Scholes開創(chuàng)性地推導(dǎo)出了歐式期權(quán)定價(jià)的模型。歐式期權(quán)在特殊情形下尚有封閉解，而美式期權(quán)、障礙期權(quán)等一些特殊期權(quán)一般沒有封閉解。在無封閉解的情形下，期權(quán)定價(jià)一般需要尋求數(shù)值解法，目前這類數(shù)值定價(jià)方法很多，諸如二項(xiàng)式模型、有限差分和蒙特卡羅模擬方法。其中，蒙特卡羅模擬方法因?yàn)槠淞己玫钠者m性而受到特別青睞，尤其在實(shí)際應(yīng)用中，在復(fù)合基礎(chǔ)資產(chǎn)、多因素情形下，蒙特卡羅方法則可大顯身手。然而蒙特卡羅方法有一個(gè)缺點(diǎn)，那就是模擬結(jié)果不太精確，具有較大波動(dòng)性，在路徑數(shù)目小的時(shí)候表現(xiàn)尤甚。為提高精度，要么增加模擬路徑，要么減小波動(dòng)方差。在復(fù)合基礎(chǔ)資產(chǎn)、多因素、多時(shí)間離散步驟的復(fù)雜情形下，模擬維度異常大，增加模擬路徑會(huì)大大增加模擬計(jì)算時(shí)間，形成所謂“維度夢(mèng)魘”。所以，方差縮減技術(shù)就變得至關(guān)重要。蒙特卡羅模擬的方差縮減技術(shù)作為模擬效率改進(jìn)的重要途徑，在金融衍生證券的定價(jià)分析中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。

針對(duì)于大多數(shù)研究是基于對(duì)數(shù)正態(tài)模型的情況下，而現(xiàn)實(shí)利率并不是一個(gè)常數(shù)，所以本文在利率遵循Vasicek模型的基礎(chǔ)上，在離散障礙期權(quán)的定價(jià)當(dāng)中應(yīng)用蒙特卡羅模擬技術(shù)，并用重要性抽樣進(jìn)行方差縮減，最后通過模擬分析，結(jié)果表明，改進(jìn)后的蒙特卡羅模擬方法能夠?qū)﹄x散障礙期權(quán)進(jìn)行穩(wěn)定的定價(jià)。

一、基于vasicek模型的歐式看漲期權(quán)定價(jià)

假設(shè)利率服從Vesicek模型：

所以：

因此，對(duì)于任意的 t＞t0，rt服從正態(tài)分布，且

（一）零息債券的定價(jià)

零息債券是一張?jiān)诘狡谌眨╰=T）換取1元現(xiàn)金的債券，令B=B（r，t）表示零息債券在t時(shí)刻的價(jià)格，由伊藤引理和Vasicek模型得到：

所以（3）式的顯示解為：

其中，

（二）利率服從Vasicek模型下的歐式期權(quán)定價(jià)公式

假設(shè)股票服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)

通過伊藤積分和微分方程的求解，最后得到：

其中：

二、基于Vasicek模型的障礙期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛模擬

考慮一個(gè)向下敲入的歐式看漲期權(quán)，股票價(jià)格為S（t），在離散時(shí)間0=t0＜t1＜…tm=T下，觀察并記錄股票價(jià)格，障礙期權(quán)的價(jià)格為H，執(zhí)行價(jià)格記為K，到期時(shí)間為T。令S（0）＞H，τ（非負(fù)隨機(jī)變量）時(shí)刻股票價(jià)格穿過障礙，T時(shí)刻的向下敲入期權(quán)的支付函數(shù)為：

其中，I（·）是示性函數(shù)。

期權(quán)價(jià)格在0時(shí)刻的價(jià)格的貼現(xiàn)為：

條件期望蒙特卡羅估計(jì)模擬基于以下條件：如果股票價(jià)格在跨越障礙時(shí)，那么從跨越障礙時(shí)到期滿期間，可以使用解析公式而不需要模擬價(jià)格路徑。

在模型（1）和模型（6）的情況下，考慮當(dāng)時(shí)間為 τ（τ＜m），股票價(jià)格為 S（T）時(shí)，

對(duì)于內(nèi)部期望，假定S（T）服從Vasicek利率模型，所以

所以內(nèi)部期望為：

所以（10）可化簡(jiǎn)為：

Boyle和Broadie等考慮了條件期望技術(shù)在對(duì)數(shù)正態(tài)模型的障礙期權(quán)上的應(yīng)用，本文基于Vasicek模型，利用蒙特卡洛估計(jì)模擬N條路徑，再對(duì)其去均值，貼現(xiàn)，得：

三、重要性抽樣的應(yīng)用

針對(duì)上述蒙特卡洛模擬方法精度不夠精確的缺點(diǎn)，我們采用重要性抽樣來進(jìn)行方差縮減。

要運(yùn)用重要性抽樣技術(shù)，需要乘上兩個(gè)密度函數(shù)的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)。密度函數(shù)由Girsanov定理給出，它的主要思想是：假設(shè)P是在時(shí)間段[0，T]上生成的Ito過程的概率測(cè)度：

P0是一個(gè)類似的概率測(cè)度，但有不同的漂移率：

在這兩個(gè)過程中，他們都是從同樣的初始值S0開始的。P對(duì)P0的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為：

Girsanov定理在導(dǎo)出模擬中特別有用，用Girsanov定理可以修正變量的分布。一般來說，如果我們想要確定在概率測(cè)度P下的期望值，我們可以生成測(cè)度P0下的模擬值，再乘上dP/dP0，我們?cè)贓下加一個(gè)下標(biāo)表示要求的隨機(jī)變量的測(cè)度：

我們可以任意選擇不同的常數(shù)C，以盡可能地減小模擬的方差。在理想的情況下，我們希望模擬盡可能地接近真實(shí)情況，所以C的值應(yīng)當(dāng)盡可能地接近，所以我們選擇C=E（rt）。

重要性抽樣技術(shù)模擬標(biāo)的股票價(jià)格穿過障礙值之前的價(jià)格路徑，當(dāng)標(biāo)的股票價(jià)格穿過障礙值時(shí)，可以用條件期望技術(shù)計(jì)算期權(quán)的價(jià)格。所以,結(jié)合的期權(quán)價(jià)格的模擬量為：

四、模擬分析

所以根據(jù)Girsanov定理，結(jié)合本文股價(jià)服從的公式：

對(duì)應(yīng)的Radon-Nydodym導(dǎo)數(shù)是：

期權(quán)價(jià)格的最終的估計(jì)量是：

以向下敲入歐式看漲障礙期權(quán)為例，分別利用條件期望蒙特卡羅方法、重要性抽樣法、基于條件期望和重要性抽樣的蒙特卡羅方法對(duì)期權(quán)價(jià)格進(jìn)行模擬，并與期權(quán)的理論價(jià)格做比較。

考慮一個(gè)1年期歐式看漲障礙期權(quán)，股票價(jià)格S=15，執(zhí)行價(jià)格 K=20，T=1，到期時(shí)間 τ=0.75，利率波動(dòng)率 σ1=0.002，股票波動(dòng)率 σ2=0.3，a=0.1，θ=0.2，初始利率 r=0.06，障礙價(jià)格H=12。C1、C2、C3、C4分別表示理論、條件期望下、重要性抽樣、條件期望和重要性抽樣結(jié)合方法下的期權(quán)價(jià)格。

由上表可知，當(dāng) ρ=0 時(shí)，C2、C3、C4分別與理論值得誤差為5%、5%、0.3%，所以將條件期望蒙特卡洛法和重要性抽樣方法結(jié)合的模擬量更接近理論值。而且隨著兩種布朗運(yùn)動(dòng)關(guān)系的增大，我們可以看出期權(quán)價(jià)格是逐漸減小的。

結(jié)語

本文將蒙特卡羅模擬方法應(yīng)用于離散障礙期權(quán)的定價(jià)，在已有的條件期望和重要性抽樣的方差縮減技術(shù)的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了條件期望和重要性抽樣兩種技術(shù)的結(jié)合。數(shù)值模擬結(jié)果表明，所提出的復(fù)合方差縮減技術(shù)能夠得到更好的方差縮減效果。進(jìn)一步研究的內(nèi)容包括如何對(duì)復(fù)合方差縮減技術(shù)中的重要性抽樣中的最優(yōu)化選取，以及如何在本文提出的方法基礎(chǔ)上結(jié)合其他方差縮減技術(shù)。

[1]Black F.，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of political economy，1973，(3)：637-654.

[2]Boyle P.，Broadie M.，Glasserman P.Monte Carlo methods for security pricing[J].Journal of economic dynamics and control，1997，(8)：1267-1321.

[3]Hull J.，White A.The use of the control variate technique in option pricing[J].Journal of Financial and Quantitative analysis，1988，(3)：237-251.

[4]Glasserman P.Monte Carlo methods in financial engineering[M].Springer Science&Business Media，2013.

[5]陳輝.期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛模擬方差縮減技術(shù)研究[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2008，(7)：678-690.

[6]姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]P.Boyle，M.Broadie，P.Glasserman，Monte Carlo methods for security pricing，Journal of Economic Dynamics and Control，1997，(21)：1267-1321.

[8]P.Glasserman，Monte Carlo Methods in Financial Engineering，Springer-Verlag，2004.

[9]Neddermeyer J C.Non·parametric partial importance sampling for financial derivative pricing[J].Quantitative Finance，2011，(8)：1193-1206.

[10]Giray O.，Emmanuel S.，Ahmet G.On pricing discrete barrier options using conditional expectation and importance sampling Monte Carlo[J].Mathematical and Computer Modelling，2008，(47)：484-494.

[11]Gurevich B.L.Integral，measure，and derivative：a unified approach[M].Courier Corporation，1966.