劉尚昊

摘 要：本文著眼于討論物體從一定高度被拋出后，其水平方向的最大射程與拋射角之間的關(guān)系，討論了斜拋運動達(dá)到最大射程應(yīng)滿足的條件，并通過理論公式的證明和實際數(shù)據(jù)的測量，指出45°不再是能夠得到最大射程的角度。本文通過具體計算了實際鉛球拋出的最大射程和拋射角，并且隨機(jī)取數(shù)進(jìn)行了實驗，從而得出了二者之間的關(guān)系，為斜拋運動的實際應(yīng)用提供了力學(xué)理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：斜拋運動 最大射程 拋射角 力學(xué)理論依據(jù)

中圖分類號：O313 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）09（a）-0233-02

1 分部求導(dǎo)法

該分析方法需要經(jīng)過兩次的求導(dǎo)，通過判斷導(dǎo)數(shù)的大小和倒數(shù)的解，判斷能否取到最大的射程。將該物體在空中進(jìn)行斜拋運動的時間假設(shè)為t，則可以得到物體在坐標(biāo)軸X和Y方向的運動方程，如下：

X=v0tcosθ （1）

Y=H+v0tsinθ-1/2gt2 （2）

假設(shè)物體在經(jīng)過時間T以后由斜拋運動落地，此時物體的坐標(biāo)為x=R，y=0，此時上式（1）（2）則變?yōu)椋?/p>

R=v0Tcosθ （3）

0=H+v0Tsinθ-1/2gT2 （4）

將上式聯(lián)立起來，即可得出水平射程的表達(dá)式：

R={v0{sin2θ+[sin22θ+8gH/v02cos2θ]1/2}}/2g （5）

當(dāng)物體落地后，H=0時，可以將上式化簡為：

R=v02sin2θ/g （6）

假設(shè)物體的最大射程為Rm，在求解最大射程時使用導(dǎo)數(shù)求極值的方法，分析最大射程和拋射角度θ之間的關(guān)系，在求解時引入無量綱參數(shù)定義為Z：

Z=gH/v02

在進(jìn)行求導(dǎo)時，令R對θ的一階導(dǎo)數(shù)R=0，此時可以得到最后求解出結(jié)果為：

cos2θ=z/（1+z） （7）

然后對R進(jìn)行二次求導(dǎo)，即可以推論出R的二階導(dǎo)數(shù)是小于零的，因此可以得出R是能夠取得最大值的。因此得出：

Rm=vo2（1+2z）1/2/g （8）

T=vo2/g[2（1+z）]1/2 （9）

θm=1/2arccos（z/1+z） （10）

根據(jù)上式當(dāng)中的化簡結(jié)果可知，決定最大射程的影響因素不僅包括拋射角度θ，還有無量綱參數(shù)Z，因此影響最大射程的參數(shù)還有距離地面的高度H和物體運動的初速度v0。由前文當(dāng)中計算的公式可以得出，在一般情況下，假若物體做斜拋運動時的空中運動高度大于零，那么可以得出其無量綱參數(shù)也是大于零的，就可以得出滿足最大射程時的拋射角度是小于或等于45°的結(jié)論[1]。因此通過公式可以得出最大射程同拋射角的關(guān)系。當(dāng)物體運動時的無量綱參數(shù)為零時，即可以得到：

Rm=v02/g （11）

2 分解運動法

在進(jìn)行力學(xué)問題的分析時，往往可以有多種分析方法進(jìn)行問題的探討。斜拋運動作為物理力學(xué)當(dāng)中的經(jīng)典問題，還能夠使用“斜坐標(biāo)系”的分析方法，即將原來的運動軌跡分解為兩個運動的和運動，一個是沿初速度方向的勻速直線運動和沿豎直方向的自由落體運動[2]。

分解方式按照矢量三角形的方法，將運動方向分解為首尾相接的三角形狀。分解運動的幾何關(guān)系如圖1中所示，可以用公式表示為：

R2=（v0tm）2-（1/2gtm2-H）2 （12）

由上式可以求出此時的最大運動時間同運動高度之間的關(guān)系，即當(dāng)tm=v0[2（1+gH/vo2）]1/2或者tm=vo/g[2（1+z）]1/2時，R能夠取最大值。根據(jù)三角函數(shù)公式，將最大值求解公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達(dá)式以后，再利用倍角半角轉(zhuǎn)換公式，可以得出：

cos2θm=Z/1+Z （13）

即可以得到最終的拋射角度為：

θm=1/2arccos（Z/1+Z） （14）

由于物體進(jìn)行斜拋運動時，其運動開始的初速度、初始拋射角度和初速度都不是一定的，因此不同的數(shù)值都會對最終的最大射程產(chǎn)生影響。在物體進(jìn)行斜拋運動的過程當(dāng)中，假若有一階段的高度和初速度的大小都是一定的，那么可以采用引進(jìn)無量綱參數(shù)Z的方式，然后將拋射角與最大射程之間的關(guān)系使用公式計算出來。

3 實際數(shù)據(jù)測量

本文為了證實理論的可行性，任意選取了一組數(shù)據(jù)進(jìn)行了斜拋實驗，實際測量了在物體運動過程當(dāng)中，拋射角與水平射程之間的關(guān)系，具體數(shù)值如表1所示。

再改變實驗時的物體運動初始速度v0，記錄下當(dāng)初始速度增加、最大拋射角變化時，水平射程的影響，具體數(shù)值如表2所示。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)的測量可以得出，在高度和初速度的大小不發(fā)生變化的情況下，物體做斜拋運動時的水平射程是對稱分布在最大拋射角兩側(cè)，呈中間高、兩邊低的趨勢變化的，其變化的函數(shù)曲線是拋物線[3]。假若物體做斜拋運動時的初始高度H一定，那么當(dāng)初速度逐漸增大時，物體的拋射角會趨近于45°。

因此綜合上述分析，可以首先估算出當(dāng)物體拋射角為45°時，此時的水平射程與測量出的最大射程的比值，理論計算公式為：

R45°/Rm=[1+（1+4Z）1/2]/[1+（1+2Z）1/2] （15）

此時顯而易見地可以看出，由于公式當(dāng)中的無量綱參數(shù)Z是大于零的，因此該比值的結(jié)果恒為小于1的數(shù)。假若令參數(shù)Z的值為1，并且取拋射角度數(shù)為30°，那么即求出最后的比值為0.93，證明上述推論是真實可信的。所以可以得出結(jié)論，當(dāng)物體斜拋運動取得最大射程的時候，其拋射角應(yīng)當(dāng)是小于45°的。

4 結(jié)語

斜拋運動的應(yīng)用范圍十分廣泛，不僅能夠在導(dǎo)彈、槍彈研發(fā)時決定彈藥射出的射程和軌跡，也能夠為鉛球運動員提供理論戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)，提高運動員的成績。綜上所述，假若要使物體實現(xiàn)斜拋運動的最大射程，一方面要盡可能大地提升物體運動的初速度，另一方面還要選擇好合適的拋射角度，根據(jù)不同場地的要求，以運動員或者設(shè)備自身的參數(shù)為基準(zhǔn)，在準(zhǔn)備階段調(diào)整好影響斜拋運動的各個參數(shù)，從而保證能達(dá)到最大射程。

參考文獻(xiàn)

[1] 琚鑫，岳凌月，王邦平.斜拋運動中射程問題的一般性討論與數(shù)值計算[J].物理通報，2013（6）：118-120.

[2] 張明亮.斜拋運動中的射程問題[J].湖南中學(xué)物理，2011 （5）：45.

[3] 謝恩東.安全拋物線在解題中的應(yīng)用——對斜拋運動的最大射程解法的一點補(bǔ)充[J].物理教師，2008，29（1）：34.