陳艷波, 謝瀚陽, 王 鵬, 王金麗, 劉 進(jìn), 王若蘭

(1. 華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院, 新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京市 102206; 2. 廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司信息中心, 廣東省廣州市 510600; 3. 中國電力科學(xué)研究院有限公司, 北京市 100192)

0 引言

已有的狀態(tài)估計(jì)(state estimation,SE)方法,如加權(quán)最小二乘(weighted least squares,WLS)估計(jì)[1]、加權(quán)最小絕對值(weighted least absolute value,WLAV)[2-3]估計(jì)、非二次準(zhǔn)則QL(quadratic-linear)估計(jì)和QC(quadratic-constant)估計(jì)[4]等,以及基于測量不確定度的最大正常測點(diǎn)率(maximum normal measurement rate,MNMR)狀態(tài)估計(jì)[5-7]等,主要建立在概率統(tǒng)計(jì)體系下大數(shù)定律或測量不確定度的理論基礎(chǔ)上。由于實(shí)際系統(tǒng)中量測量的數(shù)目有限,直接使用小樣本或者假定主觀先驗(yàn)概率去應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算和求解,估計(jì)結(jié)果的精度沒有理論上的保證[8]。

本文是系列文章(共3篇)的第2篇。本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上,基于不確定測度的評價(jià)指標(biāo)定義了新的SE準(zhǔn)則函數(shù),進(jìn)而提出SE的多目標(biāo)模型——最大正常率最小偏差度 (maximum normal-rate least deviation,MNLD)估計(jì)。針對所述模型的特點(diǎn),通過目標(biāo)規(guī)劃法將SE的多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題,進(jìn)一步采用雙曲正切型矩形脈沖替代正常測點(diǎn)參與度函數(shù),以及采用改進(jìn)凝聚函數(shù)逼近max(·)型函數(shù)(無窮范數(shù)型函數(shù)),從而將模型改進(jìn)為目標(biāo)與約束處處連續(xù)可導(dǎo)的單目標(biāo)規(guī)劃問題,最后采用拉格朗日乘子法求解。本文還對模型計(jì)算中的參數(shù)進(jìn)行了試驗(yàn)分析和計(jì)算效率分析。

1 兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度最小準(zhǔn)則

在實(shí)際SE計(jì)算中,測量正常率和量測估計(jì)值靠近正常量測量的程度都是重要的SE結(jié)果評價(jià)指標(biāo)。文獻(xiàn)[9]已提出兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度Δn-m,此指標(biāo)是基于不確定測度的SE新評價(jià)指標(biāo),其物理意義是正常測點(diǎn)個(gè)數(shù)同為n(即測點(diǎn)正常率相同)時(shí),量測估計(jì)值靠近正常量測量的程度。在真值未知時(shí),若測點(diǎn)正常率相同,則偏離度越小的估計(jì)結(jié)果越合理?；谝陨峡紤],為得到合理的SE結(jié)果,筆者在2016年的發(fā)明專利[10]指出,可把兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度最小作為SE的準(zhǔn)則函數(shù),其表達(dá)式為:

(1)

從數(shù)學(xué)上看,求解兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度最小的估計(jì)問題是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型,其特點(diǎn)如下:①模型尋求支持最大正常測點(diǎn)個(gè)數(shù)(即最大測點(diǎn)正常率)的狀態(tài)變量估計(jì)值;②模型同時(shí)追求正常量測值與其對應(yīng)的量測估計(jì)值最接近。因此,以兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度最小為SE的準(zhǔn)則函數(shù)比單純考慮測點(diǎn)正常率最大的準(zhǔn)則函數(shù)更具合理性。

根據(jù)模型特點(diǎn),可按照正常測點(diǎn)的定義構(gòu)造正常測點(diǎn)參與度函數(shù),用以判斷測點(diǎn)是否為正常測點(diǎn):

(2)

式中:fi(ρi)為正常測點(diǎn)參與度函數(shù);ρi=hi(x)-Zi,其中Zi為測點(diǎn)i的量測值,hi(·)為測點(diǎn)i的量測函數(shù);在通過極大熵原理確定測點(diǎn)i噪聲分布類型后,θi為該分布下置信水平為αi時(shí)測點(diǎn)i的不確定度。則兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度最小這一準(zhǔn)則可表示為:

(3)

測點(diǎn)噪聲的不確定分布類型通過極大熵原理確定。在一段相對較長的時(shí)間內(nèi),測點(diǎn)噪聲的不確定分布類型不變。在此分布下,量測估計(jì)值落入量測值不確定度范圍對應(yīng)的置信水平αi越小,則量測值與量測估計(jì)值之差ρi越小。因此,兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度最小等價(jià)于:

(4)

2 建模與求解

2.1 SE的多目標(biāo)規(guī)劃模型

(5)

式中:Z∈Rm為量測矢量,常包括節(jié)點(diǎn)注入有功和無功、支路有功和無功,以及節(jié)點(diǎn)電壓幅值量測等;x∈Rl為包括節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角的狀態(tài)矢量(參考節(jié)點(diǎn)相角除外);h:Rl→Rm為由狀態(tài)矢量到量測矢量的非線性映射;g(x):Rl→Rc為零注入功率等式約束;fi(·)為正常測點(diǎn)參與度函數(shù),見式(2)。

從數(shù)學(xué)上看,式(5)給出的SE模型具有以下特點(diǎn):①模型是一個(gè)典型的多目標(biāo)規(guī)劃問題,即同時(shí)追求測點(diǎn)正常率最大和正常測點(diǎn)偏離度最小;②fi(·)函數(shù)非處處連續(xù)可導(dǎo),存在躍變點(diǎn),因而無法直接用基于梯度的方法求解;③目標(biāo)準(zhǔn)則min max(fi(ρi)ρi)雙重不可微。為便于求解,下文對模型進(jìn)行改進(jìn)。

2.2 等價(jià)為分層序列單目標(biāo)規(guī)劃問題

追求兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度最小實(shí)際上是在測點(diǎn)正常率相同時(shí),追求正常量測值與其量測估計(jì)值最為接近。按照兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度定義,應(yīng)首先保證測點(diǎn)正常率最大,即正常測點(diǎn)個(gè)數(shù)最多,然后再追求正常量測值與其量測估計(jì)值盡量靠近才有意義。綜上,按照目標(biāo)的重要程度排序,式(5)所示的多目標(biāo)模型中,測點(diǎn)正常個(gè)數(shù)最多應(yīng)作為首要目標(biāo),記作J1,測點(diǎn)量測值偏離量測估計(jì)值的程度最小作為次要目標(biāo),記作J2。

(6)

minJ2=max(fi(ρi)|ρi|)

(7)

設(shè)式(5)所示多目標(biāo)規(guī)劃模型可行域?yàn)閤∈S,按求解多目標(biāo)規(guī)劃的分層序列法,求解步驟如下。

步驟1:先求解以J1為目標(biāo)的單目標(biāo)規(guī)劃問題,即

(8)

求解式(8)可得最優(yōu)解,進(jìn)而可得正常測點(diǎn)集N(1)。

步驟2:求解以步驟1所得的正常測點(diǎn)集N(1)為約束,以J2為目標(biāo)的單目標(biāo)規(guī)劃問題,即

(9)

所得到的最優(yōu)解即等價(jià)于在上述分層序列意義下式(5)所示多目標(biāo)模型的最優(yōu)解。

因此,如式(5)所示的SE多目標(biāo)規(guī)劃模型可等價(jià)為分層序列意義下分步的2個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題,即先以測點(diǎn)正常個(gè)數(shù)最多為目標(biāo)進(jìn)行求解;然后再以得到的正常測點(diǎn)集作為約束,以量測估計(jì)值偏離量測值最小為目標(biāo)進(jìn)行求解,從而解決了所提SE的多目標(biāo)規(guī)劃問題。

2.3 基于矩形脈沖的正常測點(diǎn)參與度函數(shù)

式(2)描述的正常測點(diǎn)參與度函數(shù)fi(·)實(shí)際上是理想矩形脈沖函數(shù)(rectangular pulse function,RPF),形狀如圖1所示。圖中橫坐標(biāo)為量測估計(jì)值與量測值之差。

圖1 正常測點(diǎn)參與度函數(shù)形狀Fig.1 Shape of normal measurement participation function

RPF在ρi=-θi和ρi=θi躍變,使得函數(shù)不是處處可導(dǎo),不便于實(shí)際應(yīng)用和計(jì)算?；跍y量不確定度的SE采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)信息傳輸Sigmoid函數(shù)替代間斷處的不連續(xù)點(diǎn)[5]。文獻(xiàn)[11]指出,tanh函數(shù)具有非線性超平面和更光滑的飽和期曲線,比Sigmoid函數(shù)更具有優(yōu)越性。因此,本文采用tanh型函數(shù)替代RPF中的不連續(xù)點(diǎn),以更好地刻畫正常測點(diǎn)參與度函數(shù)。

建立正常測點(diǎn)參與度函數(shù)fi(ρi)的tanh型逼近函數(shù)T(ρi),形式如下:

(10)

式中:β為tanh函數(shù)的飽和期延遲度。

以tanh型函數(shù)T(ρi)逼近RPF,可使得正常測點(diǎn)參與度函數(shù)處處可導(dǎo)(如圖2所示),從而便于采用基于梯度的方法求解。當(dāng)測點(diǎn)i為正常量測時(shí),正常量測的參與度為1,T(ρi)的函數(shù)值為1;反之,當(dāng)測點(diǎn)i為異常量測時(shí),T(ρi)的函數(shù)值為0。

圖2 不同β取值下tanh型近似函數(shù)T(ρi)形狀Fig.2 Shape of tanh type function T(ρi) under different values of β

2.4 max(·)改進(jìn)凝聚函數(shù)的逼近

目標(biāo)準(zhǔn)則min max(·),即最小化無窮范數(shù),實(shí)際上是屬于M估計(jì)范疇里的最小最大絕對殘差估計(jì),該估計(jì)適用于小樣本的非線性參數(shù)估計(jì)和對最壞數(shù)據(jù)的效果估計(jì)。因?yàn)閙in max(·)雙重不可微,其算法實(shí)現(xiàn)存在困難,從而影響了其應(yīng)用。

對于最小最大絕對殘差估計(jì)的準(zhǔn)則函數(shù)min max(|ρi|),可以根據(jù)最大熵原理導(dǎo)出其逼近函數(shù)gq[12]:

(11)

使得有

(12)

為了防止計(jì)算溢出,本文借鑒文獻(xiàn)[12-13]中最小最大絕對殘差估計(jì)方法中的改進(jìn)凝聚函數(shù),增加校正因子d,構(gòu)造逼近max(·)的函數(shù)Dq:

(13)

式中:d為校正因子,取d=max|qρi|;vi為參與等價(jià)權(quán),其定義為

(14)

以凝聚函數(shù)Dq替代約束條件中不可微的max(·)部分,可使得模型中目標(biāo)和約束條件變得連續(xù)可微,從而大大降低了求解難度。

2.5 模型求解

2.5.1步驟1模型求解

以測點(diǎn)正常個(gè)數(shù)最多作為目標(biāo),根據(jù)所提出的基于RPF的正常測點(diǎn)參與度逼近函數(shù),步驟1模型轉(zhuǎn)化為求解以下數(shù)學(xué)問題:

(15)

注意到模型(15)是一個(gè)非線性最優(yōu)化問題,適宜用拉格朗日乘子法求解。引入拉格朗日函數(shù):

λTg(x)-πT(Z-h(x)-ρ)

(16)

式中:λ∈Rc和π∈Rm為拉格朗日乘子矢量。

為取得最優(yōu)值,根據(jù)KKT條件,可得

(17)

(18)

(19)

(20)

式中:H=?h(x)/?x,G=?g(x)/?x。

以上方程由牛頓法迭代進(jìn)行求解[14],可得

HTdπ=-Lx

(21)

-Gdx=-Lλ

(22)

Hdx+dρ=-Lπ

(23)

-Lρi

(24)

為減少迭代過程中修正方程的維數(shù),作如下處理。由式(24)可得:

Wdρ+dπ=-Lρ

(25)

式中

dπ=[dπ1,dπ2,…,dπm]T∈Rm
Lρ=[Lρ1,Lρ2,…,Lρm]T∈Rm

由式(23)可得:

dρ=-Lπ-Hdx

(26)

將式(26)代入式(25),可得

-WHdx+dπ=WLπ-Lρ

(27)

由式(21)、式(22)、式(27)可得修正方程為:

(28)

2.5.2步驟2模型求解

步驟2是由步驟1求解得到的正常測點(diǎn)集作為約束,并以量測估計(jì)值偏離量測值最小為目標(biāo)進(jìn)行求解,其min max(·)型目標(biāo)函數(shù)以凝聚函數(shù)Dq逼近,改進(jìn)后模型可表示為:

(29)

其中Dq的具體表達(dá)式見式(13),而式中的校正因子d和參與等價(jià)權(quán)vi可根據(jù)步驟1估計(jì)結(jié)果中，評價(jià)為正常測點(diǎn)的情況作相應(yīng)的變化,分別為:

d=max|qρj|j∈N(1)

(30)

(31)

為求解模型(29),可引入拉格朗日乘子λ∈Rc將其轉(zhuǎn)化為無約束規(guī)劃問題,可得

LDq≡Dq-γTg(x)

(32)

此類規(guī)劃問題可采用擬牛頓法求解,將約束ρ=h(x)-Z代入式(32)可得到迭代方程:

(33)

(34)

(35)

ρ(k)=h(x(k))-Z

(36)

(37)

其中α∈Rm,每個(gè)元素分別為

αi(x(k))=

采用擬牛頓法的具體步驟如下。

步驟2:令近似海森矩陣B(0)=I,搜索方向D(0)=-B(0)和迭代記號k=0。

步驟4:如果‖x(k+1)-x(k)‖≤ε,輸出結(jié)果,結(jié)束,否則轉(zhuǎn)到步驟5。

步驟6:計(jì)算δk=x(k+1)-x(k),rk=令k=k+1,轉(zhuǎn)到步驟3。

2.6 方法特點(diǎn)分析

與已有SE方法相比,本文方法具有以下特點(diǎn)。

1)基于不確定理論,以正常測點(diǎn)個(gè)數(shù)最多和偏離度最小為目標(biāo),因而所求得SE結(jié)果合理性較好。

2)對正常量測的數(shù)據(jù)也進(jìn)行最優(yōu)化處理。追求正常量測偏離其量測估計(jì)值最小,實(shí)際上是在正常量測數(shù)據(jù)中挑選更優(yōu)質(zhì)量測值,與單純以測點(diǎn)正常率最大為目標(biāo)的估計(jì)結(jié)果相比更具有合理性。

3)所提方法依據(jù)極大熵原理確定噪聲的不確定分布類型,在此基礎(chǔ)上通過一定置信水平下的量測值是否落入估計(jì)結(jié)果偏差的不確定度來判斷是否為正常量測,其估計(jì)結(jié)果更符合實(shí)際。

4)模型最終轉(zhuǎn)化為目標(biāo)與約束處處連續(xù)可導(dǎo)的單目標(biāo)規(guī)劃,采用拉格朗日乘子法求解,收斂性好,計(jì)算速度快。

3 對模型中參數(shù)的研究

上節(jié)將所提SE多目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為分層序列意義下分步的兩個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題。兩個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃模型中分別含有參數(shù)β和q,顯然這些參數(shù)會影響模型的估計(jì)性能。以下首先研究參數(shù)β和q的取值對算法和估計(jì)結(jié)果的影響,然后對模型的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算效率和殘差分布的研究。

3.1 參數(shù)β取值試驗(yàn)研究

為研究2.5.1節(jié)模型求解tanh型RPF中的參數(shù)β取值對算法和估計(jì)結(jié)果的影響,采用4節(jié)點(diǎn)小算例進(jìn)行了試驗(yàn)(量測量數(shù)目為7)。算例中,對其中一個(gè)量測值添加變化范圍為0到15%的噪聲,模型中β取值變化范圍為10-2到101,試驗(yàn)只進(jìn)行第一步估計(jì),以研究β取值變化對正常測點(diǎn)辨識的適應(yīng)性和對估計(jì)結(jié)果的影響。測試結(jié)果如圖3所示。

圖3 參數(shù)β取值試驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Test result of coefficient β

為了清楚地對比,選取本實(shí)驗(yàn)結(jié)果中幾個(gè)具有代表性的計(jì)算結(jié)果,如表1所示。

圖3和表1所示的試驗(yàn)結(jié)果說明:①無論β取值如何,當(dāng)噪聲強(qiáng)度加大到測點(diǎn)的不確定度θ附近(即出現(xiàn)不良數(shù)據(jù))時(shí),目標(biāo)函數(shù)發(fā)生躍變,這表明無論β取值如何,式(15)描述的步驟1估計(jì)模型對不良數(shù)據(jù)均有抑制能力;②β取值越小,基于tanh型RPF的目標(biāo)函數(shù)值越接近正常測點(diǎn)的個(gè)數(shù),模型抗差性能越好,相反β取值越大,目標(biāo)函數(shù)值與正常測點(diǎn)個(gè)數(shù)相差越大;③β過小時(shí),迭代次數(shù)增多,計(jì)算結(jié)果更容易出現(xiàn)不收斂的情況,這表明β過小會影響估計(jì)計(jì)算的收斂性。

表1 參數(shù)β取值的部分試驗(yàn)結(jié)果Table 1 Part of coefficient β test result

選取lgβ=-0.5,采用IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)并疊加標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.001的高斯噪聲和添加10%不良數(shù)據(jù),重復(fù)實(shí)驗(yàn)1 000次,其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 參數(shù)β=10-0.5時(shí)IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 2 Statistical data of β=10-0.5 in IEEE 118-bus system

大量試驗(yàn)表明,選取lgβ=-0.5(即β=10-0.5)時(shí),正常測點(diǎn)參與度函數(shù)值近似等于正常測點(diǎn)的個(gè)數(shù),且計(jì)算迭代次數(shù)少,計(jì)算結(jié)果收斂性也較好。故lgβ=-0.5是比較合理的β取值。

3.2 參數(shù)q取值試驗(yàn)研究

為研究2.5.2節(jié)模型求解步驟2逼近函數(shù)Dq中,參數(shù)q取值對算法和估計(jì)結(jié)果影響,采用與3.1節(jié)相同的4節(jié)點(diǎn)算例(β=0.03),步驟1估計(jì)結(jié)果作為步驟2估計(jì)狀態(tài)變量初值。q取值變化范圍為102到104.5。測試結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

圖4 參數(shù)q取值試驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Test result of coefficient q

圖5 參數(shù)q取值與迭代次數(shù)Fig.5 Iteration times of coefficient q

如圖4和圖5所示,q取值越大,改進(jìn)凝聚函數(shù)Dq越逼近于量測值與量測估計(jì)值偏離度的最大值max(|ρi|),而且迭代次數(shù)越少,收斂越快。在lgq>3.5時(shí),改進(jìn)凝聚函數(shù)Dq與max(|ρi|)近似相等,并且迭代次數(shù)在10次以下,這表明在lgq>3.5時(shí),改進(jìn)凝聚函數(shù)Dq對max(|ρi|)具有很好的逼近性,并且計(jì)算可快速收斂。

選取lgq=4.0,采用3.1節(jié)IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)估計(jì)結(jié)果作為本次實(shí)驗(yàn)的初值進(jìn)行實(shí)驗(yàn),其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 參數(shù)q=104時(shí)IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 3 Statistical data of q=104 in IEEE 118-bus system

大量統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)表明,選取lgq=3.5到lgq=4.0附近,可使改進(jìn)凝聚函數(shù)Dq較好地逼近量測值與估計(jì)值偏離度的最大值max(|ρi|),且收斂速度快,防止了數(shù)據(jù)溢出現(xiàn)象。

4 算例分析

4.1 兩節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)試驗(yàn)

為了測試本文所提出的MNLD方法在實(shí)際應(yīng)用中的性能,分析其與MNMR方法性能上的差異,本文以一個(gè)2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)SE問題為例進(jìn)行分析。2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及真實(shí)潮流分布如圖6所示。

圖6 2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)真實(shí)潮流分布Fig.6 True flow distribution of 2-bus system

在圖6所示的系統(tǒng)中,節(jié)點(diǎn)1為參考節(jié)點(diǎn),其電壓幅值和相角為已知量;節(jié)點(diǎn)2的電壓幅值和相角為待估計(jì)變量。設(shè)計(jì)8個(gè)量測量,如圖7所示。

圖7 2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)量測分布Fig.7 Measurement distribution of 2-bus system

量測值分為3組,由真實(shí)潮流的值分別疊加標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.001的高斯噪聲、尺度參數(shù)λ為0.000 6的拉普拉斯噪聲和服從[-0.003,0.003]上的均勻分布噪聲,并通過置反節(jié)點(diǎn)1側(cè)的有功量測P12形成不良數(shù)據(jù)。根據(jù)噪聲類型不同,本文所述MNLD方法和MNMR方法所確定的關(guān)鍵參數(shù)見表4。

表4 MNLD與MNMR方法關(guān)鍵參數(shù)Table 4 Key parameters of MNLD and MNMR method

本試驗(yàn)中,MNLD方法β取10-0.5。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5所示;測量值疊加拉普拉斯噪聲和均勻分布噪聲時(shí), MNMR的目標(biāo)函數(shù)和MNLD步驟1的目標(biāo)函數(shù)隨節(jié)點(diǎn)2的電壓幅值和相角變化的曲面分別如圖8和圖9所示。

表5 2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)測試結(jié)果Table 5 Test result of 2-bus system

如表5所示,在疊加高斯噪聲時(shí),MNLD和MNMR方法估計(jì)結(jié)果均十分接近真實(shí)值,且都不存在局部最優(yōu)解。但在疊加非高斯噪聲時(shí),MNLD和MNMR方法估計(jì)結(jié)果和算法性能表現(xiàn)出差異。

圖8中,MNMR方法在疊加拉普拉斯分布噪聲時(shí),全局最優(yōu)解為1.000∠-29.84°,與真實(shí)值相差非常小,但卻出現(xiàn)了多個(gè)局部最優(yōu)解;而在疊加均勻分布噪聲時(shí),局部最優(yōu)點(diǎn)消失,曲面非常光滑,但其全局最優(yōu)解為1.017∠-22.93°,偏離真實(shí)值較多。這是因?yàn)?拉普拉斯噪聲是超高斯分布,均勻分布噪聲是次高斯分布。在噪聲強(qiáng)度相同的情況下,超高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差比高斯分布(正態(tài)分布)的標(biāo)準(zhǔn)差小,次高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差比高斯分布(正態(tài)分布)的標(biāo)準(zhǔn)差大。而MNMR方法的測量不確定度是由標(biāo)準(zhǔn)差直接決定的,測量不確定度過大時(shí),整體的估計(jì)結(jié)果容易受到不良數(shù)據(jù)的影響;測量不確定度過小時(shí),雖然估計(jì)結(jié)果精度響應(yīng)提高,但是估計(jì)結(jié)果受個(gè)別樣本影響較大,容易出現(xiàn)波動(dòng),導(dǎo)致局部最優(yōu)解的出現(xiàn),因此對初值的選擇要求較為苛刻。

圖8 MNMR方法目標(biāo)函數(shù)J(x)變化曲面Fig.8 Curved surface of objective function J(x) by MNMR method

圖9 MNLD方法步驟1目標(biāo)函數(shù)J(x)變化曲面Fig.9 Curved surface of objective function J(x) by MNMR method in first step

圖9中,MNLD方法在疊加拉普拉斯噪聲和均勻分布噪聲時(shí),估計(jì)結(jié)果基本一致,全局最優(yōu)解非常接近真實(shí)值,而且不存在局部最優(yōu)解,性能表現(xiàn)良好。這是因?yàn)镸NLD方法能自適應(yīng)噪聲類型,在疊加不同的噪聲類型時(shí),能給出指定置信水平下的不確定度。因此MNLD方法步驟1的RPF型目標(biāo)函數(shù)的曲面在最優(yōu)解附近沒有局部最優(yōu)點(diǎn),而且最優(yōu)解非常接近真實(shí)值。

4.2 計(jì)算效率試驗(yàn)

為了測試MNLD方法的計(jì)算效率,分別在IEEE 9,14,30,39,57,118,300節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。本實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)條件是:PC機(jī),CPU為Intel(R) Core(TM) i3 M370、主頻為2.40 GHz、內(nèi)存4.00 GB,算法采用Java編程,結(jié)果如表6所示。

表6 MNLD方法計(jì)算效率測試結(jié)果Table 6 Test result of efficiency for MNLD method

表6所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,MNLD方法步驟1計(jì)算的迭代次數(shù)及計(jì)算耗時(shí)增長得很緩慢;步驟2計(jì)算以步驟1計(jì)算的結(jié)果作為初值進(jìn)行計(jì)算,其迭代次數(shù)和計(jì)算耗時(shí)增長也很緩慢。因而MNLD方法適用于實(shí)際的大規(guī)模系統(tǒng)估計(jì)。

5 結(jié)語

作為系列文章的第2篇,本文基于不確定測度理論,以兼顧測點(diǎn)正常率的偏離度最小為SE的目標(biāo)函數(shù),提出了多目標(biāo)SE模型,并轉(zhuǎn)化為目標(biāo)與約束處處連續(xù)可導(dǎo)的單目標(biāo)規(guī)劃,最后采用拉格朗日乘子法進(jìn)行求解。所提方法具有以下特點(diǎn):①所得估計(jì)結(jié)果正常測點(diǎn)個(gè)數(shù)最多,且偏離度最小;②依據(jù)極大熵原理確定噪聲的不確定分布類型,因而對量測數(shù)據(jù)的適應(yīng)性強(qiáng);③模型最終轉(zhuǎn)化為目標(biāo)與約束處處連續(xù)可導(dǎo)的單目標(biāo)規(guī)劃,求解方便。

本文還通過仿真分析了參數(shù)選擇對所提方法性能的影響及所提方法計(jì)算效率,下一篇(第3篇)將詳細(xì)給出本文方法與已有SE方法間的性能對比。

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