關(guān)麗娜 鐘德光 鄭偉庭

摘要：本文通過(guò)一道例題給出求解橢圓切點(diǎn)坐標(biāo)的四種方法，并討論了在具體情況下，使用哪種方法是最適合的

關(guān)鍵詞：判別式法；柯西不等式法；輔助角公式法；同一法

對(duì)高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷題型的研究毫無(wú)疑問(wèn)是一項(xiàng)有意義的工作作為二選一選做題的參數(shù)方程，其題目難度總體來(lái)說(shuō)不是很大但是對(duì)于下面這種即將討論的關(guān)于求橢圓切點(diǎn)坐標(biāo)的題目，學(xué)生往往無(wú)從下手或者用較復(fù)雜的方法解答因此，筆者對(duì)這種題型的解法進(jìn)行了一番探究，總結(jié)出了解決這類題目的四種解法以下展示出來(lái)，供大家交流討論.

題目已知橢圓C∶x23+y2=1，直線l∶x+y=16，求橢圓C上一點(diǎn)P ，使得它到直線l的距離最小.

分析1通過(guò)畫(huà)圖，可以看出當(dāng)橢圓C上一點(diǎn)P所在的切線與直線l平行時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)P到直線l的距離是最大或者最小的因此，此題可以采用以下的判別式法.

方法1（判別式法）當(dāng)橢圓C上一點(diǎn)P所在的切線與直線l平行時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離是最大或者最小的.因此，可設(shè)此時(shí)P點(diǎn)所在切線l′的方程為x+y=λ.

聯(lián)立x23+y2=1.x+y=λ （1）（2）

消去y并且整理可得：

4x2-6λx+3λ2-3=0（3）

由于l′與橢圓C相切，因此Δ=（-6λ）2-4×4×（3λ2-3）=0.

解得λ=2或者λ=-2（舍去）.

將λ=2代入（3）式解得x=32.

將λ=2與x=32代入（2），解得y=12.

因此點(diǎn)（32，12）為所求.

分析2由于此處涉及到最值問(wèn)題，因此可以考慮柯西不等式，其中求點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于柯西不等式的取等條件因此有了以下的方法2.

方法2（柯西不等式法）設(shè)橢圓C上任意一點(diǎn)為P（x，y），則P到直線l的距離為d=x+y-162.

由柯西不等式可得（x23+y2）（3+1）≥（x+y）2，

即-2≤x+y≤2.

從而有-18≤x+y-16≤-14.

所以d的最小值為-142=72.

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x3y=31，x+y=2.

解得x=32，y=12.

因此點(diǎn)P（32，12）為所求.

分析3由方法2的解答過(guò)程中可以看出，所求問(wèn)題最后轉(zhuǎn)化為求x+y-16的最值因此可以從橢圓的角參數(shù)方程出發(fā)，利用輔助角公式進(jìn)行求解.

方法3（輔助角公式法）由條件可設(shè)橢圓C上任意一P（3cosθ，sinθ），（θ∈[0，2π）），則P到直線l的距離為

d=3cosθ+sinθ-162=2sin（θ+π3）-162≥72.

當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+π3）=1時(shí)等號(hào)成立.

此時(shí)解得θ=π6.

此時(shí)點(diǎn)P（3cosθ，sinθ）坐標(biāo)為（32，12）.

分析4由于橢圓x2a2+y2b2=1上任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為x0xa2+y0yb2=1，若可以求出P點(diǎn)處具體的切線方程，不妨設(shè)為Ax+By+C=0那么這兩條直線是同一條直線，因此必有Ax0a2=By0b2=C-1，從而可求出切點(diǎn)P（x0，y0）的坐標(biāo)，這就是同一法為了達(dá)到這個(gè)目的，首先需要探索直線與橢圓相切的一般判別式.雖然這個(gè)結(jié)果已經(jīng)有了，但是這里我們采用仿射變換去證明此結(jié)果，即以下的一個(gè)引理.

引理若直線Ax+By+C=0與橢圓x2a2+y2b2=1相切，則有A2a2+B2b2=C2.

證明利用仿射變換x=ax′y=by′ 將橢圓x2a2+y2b2=1變?yōu)閱挝粓Ax′2+y′2=1.此時(shí)直線Ax+By+C=0變?yōu)橹本€Aax′+Bby′+C=0.

由于仿射變換保持點(diǎn)的結(jié)合性，故單位圓x′2+y′2=1與直線Aax′+Bby′+C=0相切.

因此可得CA2a2+B2b2=1.

整理即有A2a2+B2b2=C2.

通過(guò)這個(gè)引理，我們很容易得到以下方法4.

方法4（同一法）易知當(dāng)橢圓C上一點(diǎn)P（x0，y0）所在的切線與直線l平行時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離是最大或者最小的.

因此，可設(shè)此時(shí)P點(diǎn)所在切線l′的方程為x+y=λ.

因?yàn)橹本€l′與橢圓C相切，

因此由引理可得32+12=λ2.

解得λ=2或者λ=-2（舍去）.

故l′的方程為x+y=2.

又因?yàn)镻（x0，y0）的切線方程為x0x3+y0y=1，

因此有1x03=1y0=21.

解得x0=32，y0=12.

即點(diǎn)（32，12）為所求.

從以上討論可知，如果這類題目以解答題出現(xiàn)，那么用柯西不等式求解不失為一個(gè)好方法；若為填空或者選擇題，那么用同一法是第一選擇.endprint