徐鵬杰，張鳳生，劉延杰，任錦霞

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基于參數(shù)化建模的懸臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

徐鵬杰，張鳳生*，劉延杰，任錦霞

（青島大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266071）

參數(shù)化設(shè)計(jì)方法中初始參數(shù)通常是憑借設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)或參考以往的設(shè)計(jì)，之后對模型進(jìn)行仿真分析，確定其是否滿足設(shè)計(jì)要求。針對方法中存在的主觀性和設(shè)計(jì)效率問題，給出一種快速獲取最優(yōu)建模參數(shù)的方法。首先將機(jī)械結(jié)構(gòu)的參數(shù)化尺寸定義為變量，根據(jù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求建立目標(biāo)函數(shù)。然后利用MATLAB求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，該最優(yōu)解就是參數(shù)化尺寸的最優(yōu)值，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)械結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。文中通過一設(shè)計(jì)實(shí)例，介紹了該方法的設(shè)計(jì)思路與設(shè)計(jì)過程，驗(yàn)證了其可行性和有效性。

懸臂結(jié)構(gòu)；參數(shù)化建模；目標(biāo)函數(shù)；MATLAB

目前，機(jī)械設(shè)計(jì)的典型方法是先進(jìn)行參數(shù)化建模[1]，然后對模型進(jìn)行仿真分析，確定其是否滿足設(shè)計(jì)要求。如果不滿足設(shè)計(jì)要求，則需重新修改建模參數(shù)，并進(jìn)行仿真分析，直至達(dá)到設(shè)計(jì)要求，有時甚至需要重復(fù)多次。顯然，這會降低設(shè)計(jì)效率。參數(shù)化建模是將目標(biāo)產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)化，并建立起參數(shù)化尺寸之間的相互關(guān)系，通過調(diào)整參數(shù)來修改和控制幾何形狀，自動實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品的三維建模。其中，對參數(shù)的調(diào)整是憑經(jīng)驗(yàn)或參考以往的設(shè)計(jì)，有一定的主觀性。為此，本文提出了一種快速準(zhǔn)確獲取最優(yōu)建模參數(shù)的方法。首先將機(jī)械結(jié)構(gòu)的參數(shù)化尺寸定義為變量，根據(jù)機(jī)械結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求建立目標(biāo)函數(shù)[2]。然后利用MATLAB求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解[3]，即參數(shù)化尺寸的最優(yōu)值，再根據(jù)最優(yōu)解對機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行三維建模，實(shí)現(xiàn)機(jī)械結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 設(shè)計(jì)實(shí)例分析

圖1和圖2所示為某設(shè)備上主軸和U型臂的結(jié)構(gòu)簡圖。主軸左端通過聯(lián)軸器與電機(jī)連接，右端與U型臂固連，主軸中間部分安裝軸承，并固連在立柱上。為了增加連接的強(qiáng)度和可靠性，U型臂和主軸之間焊有加強(qiáng)板。U型臂由矩形管折彎焊接制造，U型臂上安裝有其它零部件，并承受外部載荷。

圖1 主軸和U型臂結(jié)構(gòu)圖

圖2 主軸裝配示意圖

這種設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)類似于懸臂梁結(jié)構(gòu)[4]，外部載荷作用在U型臂的端部，支撐點(diǎn)是兩個軸承。因此，對機(jī)械結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度要求較高[5]，尤其是對主軸和U型臂的彎曲變形量要求更高，是設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。

應(yīng)用本文提出的設(shè)計(jì)方法，如圖3所示。軸頸（段和段）與軸承配合，其徑向尺寸和橫向尺寸為定值，軸頭（段和段）、軸環(huán)（段）的徑向尺寸與軸向尺寸定義為變量，徑向尺寸分別設(shè)為45－21、45－23和45＋22，軸向尺寸為1～3；U型臂由矩形管彎折焊接制造，其彎折長度尺寸定義為變量，選用的矩形管規(guī)格為90 mm×50 mm×4 mm，則U型臂的寬度尺寸和厚度尺寸為定值。根據(jù)分析，主軸和U型臂的彎曲變形量是設(shè)計(jì)的關(guān)鍵指標(biāo)。因此，將主軸撓度δ和U型臂撓度定義為目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)設(shè)計(jì)要求給出各變量的取值范圍，如表1所示。

圖3 主軸和U型臂數(shù)學(xué)模型

表1 主軸和U型臂的各尺寸變量取值范圍

2 建立目標(biāo)函數(shù)及求解

2.1 利用能量法[6]建立主軸撓度的目標(biāo)函數(shù)

（1）確定外部載荷及約束力

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，U型臂承受的最大外部載荷max＝1500 N，載荷作用于U型臂兩壁的端部，單臂載荷F＝750 N，如圖4所示。

圖4 主軸和U型臂受力分析圖

（2）根據(jù)軸徑及約束力的位置，將軸進(jìn)行分段（表2）

（3）設(shè)虛設(shè)單位載荷[8]為1 N，作用于點(diǎn)，求解虛設(shè)約束力

（4）根據(jù)能量法推導(dǎo)出各段撓度計(jì)算公式

式中：l為軸上各段的長度；為材料彈性模量；I為軸上各段的截面慣性矩；12、12為軸上各段的左右兩端彎矩、虛設(shè)單位載荷彎矩。

表2 主軸分段表

利用同樣的方法可求出軸上其他各段的撓度δ～δ。然后將各段撓度進(jìn)行疊加，最終主軸撓度δ為：

2.2 利用疊加法[8]求解U型臂的目標(biāo)函數(shù)δU

對于U型臂，需要對點(diǎn)撓度U進(jìn)行計(jì)算。受力如圖4所示，利用疊加法建立目標(biāo)函數(shù)U。根據(jù)設(shè)計(jì)形狀將U型臂分為、和三段。

在段，點(diǎn)撓度Ug由力F產(chǎn)生的撓度Ug1和附加彎矩M產(chǎn)生的撓度Ug2組成。根據(jù)材料力學(xué)[8]撓度計(jì)算公式，得：

（10）

同理，求出段的撓度Uh1和附加彎矩M產(chǎn)生的撓度Uh2、段撓度Uk。在整個U型臂上，點(diǎn)的撓度U為：

式中：為U型臂各段長度，mm；I為截面慣性矩，mm4。

2.3 利用MATLAB求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解

應(yīng)用MATLAB求解目標(biāo)函數(shù)δ和U，以得到各尺寸的最優(yōu)解。求解結(jié)果如表3。為全面了解表3中各變量變化對主軸撓度δ和U型臂撓度U的影響，任意選取兩個變量，其他變量取優(yōu)化結(jié)果值，應(yīng)用MATLAB分析所選變量對δ和U的影響，結(jié)果如圖5～圖6所示。

表3 MATLAB求解值

設(shè)計(jì)結(jié)果分析：

（1）轉(zhuǎn)軸許可撓度δ＝(0.0001～0.005)，為轉(zhuǎn)軸支撐點(diǎn)間的距離[6]?？傻弥鬏S撓度為δ＝0.0496 mm，在0.012～0.060 mm之間，符合設(shè)計(jì)要求。

（2）除變量1外，其余各變量對主軸撓度δ和U型臂撓度U均有影響，但各變量對δ和U的影響各不相同，且不是簡單的線性關(guān)系。例如，在圖6中，5增大時，主軸撓度δ快速增大。這表明在設(shè)計(jì)U型臂時，段的長度要精確設(shè)計(jì)，盡量減小對主軸的撓度δ影響。

圖5 δZ與x1、x2關(guān)系圖

3 3D建模與有限元分析驗(yàn)證

為校驗(yàn)本文提出的設(shè)計(jì)方法的可行性與有效性，根據(jù)表3中求解的1～5值建立主軸和U型臂的三維模型，導(dǎo)入ANSYS WorkBench進(jìn)行有限元分析。分析時，處理掉部分小倒角和圓角，忽略焊接工藝邊[10]。有限元分析的關(guān)鍵在于網(wǎng)格劃分，本設(shè)計(jì)實(shí)例采用Meshing進(jìn)行網(wǎng)格劃分，關(guān)鍵部位進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，如圖7所示。將總變形作為分析輸出結(jié)果，如圖8所示，外部載荷處變形量為13.782 mm，與本文設(shè)計(jì)方法求得的值接近，證明了其正確性。

4 總結(jié)

本文的設(shè)計(jì)方法是對基于參數(shù)化建模的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的改進(jìn)，它將機(jī)械結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)作為數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題來處理。針對具體的機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，除個別與標(biāo)準(zhǔn)件配合的尺寸取定值外，其余結(jié)構(gòu)尺寸設(shè)定為變量，并選定結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵設(shè)計(jì)要求作為優(yōu)化目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)。再利用計(jì)算機(jī)求出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。與已有的參數(shù)化建模設(shè)計(jì)相比，該方法不僅有效提高設(shè)計(jì)效率，而且揭示出各尺寸變量對結(jié)構(gòu)性能的影響程度。

圖7網(wǎng)格劃分圖

圖8撓度圖

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Optimization Design of a Cantilever Structure Based on Parametric Modeling

XU Pengjie，ZHANG Fengsheng，LIU Yanjie，REN Jinxia

( College of Mechanical & Electrical Engineering, Qingdao University, Qingdao 266071, China )

The initial parameters of parametric modeling method are usually determined by means of experience or by reference to previous designs, and then the model is simulated and analyzed to determine whether it meets the design requirements. Due to the problems of subjectivity and efficiency in the method, this paper presents a method to quickly obtain optimal modeling parameters. The parameterized dimensions of the mechanical structure are firstly defined as variables, an objective function is established according to design requirements. And then the optimal solution of the objective function is solved by MATLAB, which is the optimal value of the parameterized dimensions, and thus to realize the optimal design of mechanical structure. Combined with an design example, the paper introduces the design idea and design process of the method, and verifies its feasibility and effectiveness.

cantilever structure；parametric modeling；objective function；MATLAB

TH122

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.02.013

1006－0316 (2018) 02－0049－05

2017－06－30

徐鵬杰（1992－），男，山東濱州人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械電子工程。

通訊作者：張鳳生（1962－），男，山東青島人，博士，教授、碩士研究生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)電一體化設(shè)計(jì)。