徐秀斌, 程春苗

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

設(shè)X,Y是Banach空間,Ω?X是一開凸子集,H:Ω?X→Y為非線性算子,在Banach空間求解非線性算子方程

H(x)=0

(1)

的解是一個普遍的問題,在理論和工程技術(shù)方面都有廣泛的應(yīng)用.因此,有大量的文獻(xiàn)研究該問題.最重要的方法之一就是牛頓迭代法[1-4]:若初始點為x0∈Ω,則

xn+1=xn-[H′(xn)]-1H(xn),n≥0.

(2)

顯然,當(dāng)H(x)不可導(dǎo)時，牛頓法就不可用了.在這種情況下,有一種有效的方法就是用差商去逼近牛頓法中的H′(xn).記L(X,Y)為有界線性算子空間.對x,y∈Ω,差商算子[x,y;H]∈L(X,Y)且滿足

[x,y;H](x-y)=H(x)-H(y).

(3)

(4)

當(dāng)H(x)不可微時,一些學(xué)者把H(x)分解成2個部分的和,即H(x)=F(x)+G(x).其中:F是可微算子;G是不可微連續(xù)算子.此時式(1)成為

F(x)+G(x)=0.

(5)

Zebrejko等[7]用修正的牛頓法

xn+1=xn-F′(xn)-1(F(xn)+G(xn)),n≥0

(6)

(7)

受文獻(xiàn)[6,8]的啟發(fā),本文提出如下的一類新方法:

(8)

易知,當(dāng)λ=2時,即得到方法(7).本文建立了迭代法(8)的半局部收斂定理,并通過數(shù)值例子說明該方法的有效性.

1 半局部收斂

這一節(jié)給出迭代法(8)的收斂分析.取初值x-1,x0∈Ω,并且假設(shè)：

(C1)‖x-1-x0‖≤α,y0=λx0+(1-λ)x-1∈Ω,λ≥1.

(C3)對?x,y∈Ω,

‖F(xiàn)′(x)-F′(y)‖≤ω1(‖x-y‖).

(9)

式(9)中:ω1:R+→R+是連續(xù)不減的函數(shù),ω1(0)≥0,存在一個連續(xù)不減的函數(shù)h:[0,1]→R+,使得ω1(tz)≤h(t)ω1(z),t∈[0,1],z∈[0,+∞).

(C4)對?x,y,u,v∈Ω,有

‖[x,u;G]-[y,v;G]‖≤ω2(‖x-y‖,‖u-v‖).

(10)

式(10)中:ω2:R+×R+→R+是關(guān)于2個變量都連續(xù)不減的函數(shù);ω2(0,0)≥0.

定理1假設(shè)條件(C1)～(C4)成立.記

再設(shè)方程

存在最小正根r.如果

β(ω1(r)+ω2((2λ-1)r+(λ-1)α,r+α))<1,

即x1∈B(x0,r).又因為

‖y1-x0‖=‖λx1+(1-λ)x0-x0‖=λ‖x1-x0‖≤λη

所以y1∈B(x0,r).

因為x1,y1∈B(x0,r),所以

β(ω1(r)+ω2((2λ-1)r+(λ-1)α,r+α))<1.

(11)

即x2是有定義的.

又因為

G(x1)=G(x0)+[x1,x0;G](x1-x0),

所以

H(x1)=F(x1)+G(x1)=

-(F′(x0)+[y0,x-1;G])(x1-x0)+F′(x0)(x1-x0)+

([x1,x0;G](x1-x0)-[y0,x-1;G])(x1-x0)+

從而

‖H(x1)‖≤

ω2(‖x1-y0‖,‖x0-x-1‖)‖x1-x0‖+Tω1(η)‖x1-x0‖≤

(ω2((λ-1)α+η,α)+Tω1(η))‖x1-x0‖.

(12)

由式(11)和式(12)可得

M‖x1-x0‖≤η.

同時,

‖y2-x0‖=‖λx2+(1-λ)x1-x0‖≤λ‖x2-x1‖+‖x1-x0‖≤(λM+1)‖x1-x0‖≤r,

‖x2-x0‖≤‖x2-x1‖+‖x1-x0‖≤(M+1)‖x1-x0‖≤r.

一般地，當(dāng)xn-1,xn∈B(x0,r)時,類似上述分析可得:

yn=λxn+(1-λ)xn-1∈B(x0,r);

‖xn+1-xn‖≤M‖xn-xn-1‖≤…≤Mn‖x1-x0‖≤η.

并且

‖xn+1-x0‖≤‖xn+1-xn‖+‖xn-xn-1‖+…+‖x1-x0‖≤

故{xn}是有定義的.

下證{xn}是柯西序列.?p∈N,有

‖xn+p-xn‖≤‖xn+p-xn+p-1‖+…+‖xn+1-xn‖≤

Mn(Mp-1+Mp-2+…+1)‖x1-x0‖=

因此,{xn}是柯西列,設(shè)它收斂到x*.再證x*是H(x)=0的解.因為

‖H(xn)‖≤(Tω1(η)+ω2(λη,η))‖xn-xn-1‖,

所以,當(dāng)n趨向正無窮時,‖xn-xn-1‖→0.由H(x)的連續(xù)性即知x*是H(x)=0的解.

最后證明唯一性.不妨設(shè)y*是H(x)=0的另一個解,y*∈B(x0,r).令

則

P(y*-x*)=H(y*)-H(x*)=0.

因此，如果P-1存在,那么必有y*=x*.實際上,

β(ω1(r)+ω2((2λ-1)r+(λ-1)α,r+α))<1.

由Banach引理知,P-1存在,故y*=x*.定理1證畢.

考慮條件(C3)和(C4)的特殊情形:

假設(shè)方程

存在最小正根r.如果

2 數(shù)值例子

考慮下列非線性方程組:

(13)

式(13)中,(x1,x2)∈Ω:={(x1,x2)∈R2|x1,x2>0}.令

F=(f1,f2);G=(g1,g2).

易知

因此,

β(ω1(r)+ω2((2λ-1)r+(λ-1)α,r+α))=0.316 81…<1,M=0.463 72…<1.

為了比較方法(7)和方法(8)的有效性,運用這2種方法計算了λ=1.1,1.2和2.0時的誤差值‖x*-xn‖,計算結(jié)果如表1所示.

表1 誤差結(jié)果

注：第1列為用方法(7)(λ=2)得到的結(jié)果；其余列為用方法(8)得到的結(jié)果.

從表1可以看出,方法(8)在λ=1.1和λ=1.2時的收斂速度比方法(7)更快一些.

3 結(jié) 語

對于取不同的λ值,半局部問題的收斂速度就會不一樣.從理論上如何找到較優(yōu)的λ還有待進(jìn)一步的研究.

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