汪訓(xùn)浪，范元?jiǎng)?/p>

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

齒輪傳動(dòng)作為一種具有悠久歷史的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，在現(xiàn)代機(jī)械領(lǐng)域中應(yīng)用也十分廣泛。齒輪傳動(dòng)擁有瞬時(shí)傳動(dòng)比恒定，平穩(wěn)性好，能精確傳遞運(yùn)動(dòng)，傳遞功率和速度可調(diào)區(qū)間較大，結(jié)構(gòu)緊湊，可實(shí)現(xiàn)大傳動(dòng)比，高效率傳動(dòng)，使用壽命長(zhǎng)等一系列優(yōu)點(diǎn)，所以在汽車(chē)、船舶、自行火炮、航空航天和許多工業(yè)機(jī)器上，成為了傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的首選[1]。而傳動(dòng)誤差TE(Transmission Error)是評(píng)價(jià)齒輪嚙合質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，直接關(guān)乎到齒輪傳動(dòng)的工作精度、震動(dòng)噪聲、可靠性以及使用壽命等[2-3]。為此國(guó)內(nèi)外的學(xué)者對(duì)齒輪傳動(dòng)誤差做了大量的研究工作。Sweeneyp[4]在考慮了嚙合剛度、微觀修形和齒形誤差的基礎(chǔ)上建立了一對(duì)齒輪傳動(dòng)誤差的數(shù)學(xué)計(jì)算模型；Piermaria等[5]研究了直齒輪傳動(dòng)誤差對(duì)輻射噪聲產(chǎn)生的影響，表明傳動(dòng)誤差的準(zhǔn)確測(cè)量是以測(cè)量設(shè)備的穩(wěn)定性和精確性為前提；利用以Smith等[6]為代表提出的切片法構(gòu)建了齒輪副傳動(dòng)誤差的理論計(jì)算模型。國(guó)內(nèi)彭東林[7]采用時(shí)柵位移傳感器結(jié)合相應(yīng)信號(hào)處理方法研制了機(jī)床傳動(dòng)鏈誤差測(cè)試系統(tǒng)；鄧效忠等[3]基于時(shí)標(biāo)域頻譜對(duì)一對(duì)齒輪進(jìn)行了傳動(dòng)誤差分析與試驗(yàn)研究。但總體而言目前對(duì)于多級(jí)齒輪傳動(dòng)誤差的理論分析計(jì)算與計(jì)算機(jī)仿真研究較少，尤其是傳動(dòng)誤差的分解與溯源研究欠缺。所以本文通過(guò)分析誤差的主要來(lái)源，建立傳動(dòng)鏈誤差函數(shù)，利用計(jì)算機(jī)軟件Matlab進(jìn)行計(jì)算，并結(jié)合頻譜分析對(duì)其傳動(dòng)誤差進(jìn)行初步的分解與溯源，可以對(duì)相關(guān)齒輪產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)作誤差預(yù)測(cè)以及后續(xù)的制造安裝提供指導(dǎo)性意見(jiàn)。

1 齒輪傳動(dòng)誤差的主要影響因素

傳動(dòng)誤差由英國(guó)劍橋大學(xué)教授Smith于20世紀(jì)70年代提出這一概念：“在驅(qū)動(dòng)為完全準(zhǔn)確切為剛性的條件下，輸出齒輪的理論位置與實(shí)際位置之間的差值”[8]。在實(shí)際的齒輪制造和安裝過(guò)程中，眾多因素都會(huì)帶來(lái)傳動(dòng)誤差。而齒輪傳動(dòng)誤差主要來(lái)源包括齒輪自身的加工誤差，軸的偏心以及齒輪內(nèi)孔同軸配合間隙偏心[9-10]，即綜合表現(xiàn)為固有誤差和安裝誤差。然后通過(guò)傳動(dòng)鏈各級(jí)齒輪副傳動(dòng)誤差的耦合疊加就可以得到整體傳動(dòng)鏈誤差。

1.1 齒輪加工誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

齒輪加工誤差主要包括：制造過(guò)程中產(chǎn)生的幾何偏心、運(yùn)動(dòng)偏心、周節(jié)、齒形、齒厚等誤差，這類(lèi)誤差又稱(chēng)之為齒輪固有誤差[11]。

(a)偏心夾角0° (b)偏心夾角90°

(c)偏心夾角180° (d)偏心夾角270° 圖1 齒輪偏心對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

以上齒輪偏心誤差分析是在分度圓上來(lái)度量的，對(duì)于綜合偏心e產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差Δ1按圖2a正弦規(guī)律變化，齒輪旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間即為傳動(dòng)誤差的一個(gè)大周期；而對(duì)于周節(jié)、齒形、齒厚等誤差帶來(lái)的傳動(dòng)誤差其周期為每轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)齒的時(shí)間，是高頻的小周期誤差，如圖2b所示。所以當(dāng)量偏心產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差可以相對(duì)全面的描述圖為2c所示大周期與小周期誤差的疊加[12]。實(shí)際上齒輪嚙合過(guò)程中除了偏心誤差直接產(chǎn)生的切向大周期誤差，其徑向分量會(huì)導(dǎo)致齒輪副產(chǎn)生側(cè)隙，進(jìn)而使從動(dòng)輪有一個(gè)附加的傳動(dòng)誤差。

(a)大周期誤差

(b)小周期誤差

(c)合成誤差圖2 傳動(dòng)誤差的典型形式

結(jié)合圖3可求得齒輪綜合偏心e和傳動(dòng)誤差之間的關(guān)系為：

其中，φ1為偏心量e和齒輪回轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)O1O2的夾角；αn為齒輪副嚙合角。對(duì)于圖示情況是從動(dòng)輪多轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，故取“+”，在相反情況下動(dòng)輪則會(huì)少轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，取“-”因此傳動(dòng)誤差最終應(yīng)為：

圖3 e對(duì)Δ1的影響

1.2 軸偏心對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

對(duì)于安裝齒輪的軸的偏心量es所產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差Δs，和齒輪偏心e所帶來(lái)的傳動(dòng)誤差的分析方法相同，同理可以得到：

其中，φs是es以齒輪中心距方向?yàn)榛鶞?zhǔn)的相位角。

1.3 配合間隙偏心對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

對(duì)于齒輪孔和軸配合存在的間隙會(huì)產(chǎn)生一個(gè)偏心量es從而帶來(lái)傳動(dòng)誤差Δc，同上分析方法可以得到：

其中，φc是ec以齒輪中心距方向?yàn)榛鶞?zhǔn)的相位角。

以上對(duì)單項(xiàng)誤差影響因素所產(chǎn)生的誤差進(jìn)行了分析，除此之外，一些其他因素比如周節(jié)誤差、齒向誤差、齒輪箱體孔的軸線(xiàn)存在一定的偏斜量等實(shí)際上也會(huì)帶來(lái)傳動(dòng)誤差，但是其影響不大，可以忽略不計(jì)[13-14]。所以在對(duì)多級(jí)傳動(dòng)鏈誤差做預(yù)測(cè)性的計(jì)算時(shí)，主要針對(duì)齒輪加工誤差、軸偏心、配合間隙這三個(gè)誤差來(lái)源進(jìn)行耦合計(jì)算，建立傳遞誤差函數(shù)。

2 齒輪副及多級(jí)傳動(dòng)鏈的傳動(dòng)誤差

一對(duì)齒輪副的傳動(dòng)誤差綜合為每個(gè)齒輪上前述三項(xiàng)主要誤差源的疊加，即為：

其中，j是一對(duì)齒輪副的齒輪序號(hào)，j=1,2；Δ1j是齒輪固有誤差產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差；Δsj是齒輪軸偏心產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差；Δcj是齒輪孔與軸的配合間隙產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差。

而對(duì)于一個(gè)由多級(jí)齒輪組成的傳動(dòng)鏈，由上式計(jì)算得到各單級(jí)齒輪副的傳動(dòng)誤差后，還需要考慮鏈傳動(dòng)比的影響。在選定基準(zhǔn)軸基礎(chǔ)上把各單級(jí)齒輪傳動(dòng)誤差等效地轉(zhuǎn)換到輸出軸上，最終計(jì)算得到整個(gè)傳動(dòng)鏈的傳動(dòng)誤差。

如圖4所示的n個(gè)齒輪組成的傳動(dòng)鏈表現(xiàn)在輸出軸l上的傳動(dòng)誤差Δφl(shuí)即為：

其中，Δφk-1,k是k-1號(hào)和k號(hào)齒輪副在k號(hào)齒輪軸上的傳動(dòng)誤差；ikn是k號(hào)齒輪到輸出軸l的傳動(dòng)比。

圖4 n個(gè)齒輪組成的傳動(dòng)鏈

3 齒輪傳動(dòng)誤差實(shí)例計(jì)算與仿真分析

本例以一典型二級(jí)齒輪減速器進(jìn)行傳動(dòng)誤差計(jì)算與仿真分析。減速器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖5所示，減速比為i=20，兩級(jí)傳動(dòng)比分別為i1=10，i2=2。各齒輪的綜合偏心ek(即齒輪的幾何偏心與運(yùn)動(dòng)偏心的綜合)、軸偏心量esk、齒輪孔與軸配合間隙的偏心量eck以及兩齒輪副的相角差θ參數(shù)值如表1所示。

圖5 減速器結(jié)構(gòu)示意圖

齒輪kek/μmesk/μmeck/μ相角差θ1223210°2532320328°42032

當(dāng)驅(qū)動(dòng)電機(jī)帶動(dòng)輸入軸以60r/min轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)上面分析得到的齒輪傳動(dòng)鏈傳遞到輸出軸的傳動(dòng)誤差函數(shù)為第一級(jí)和第二級(jí)齒輪綜合偏心、安裝齒輪的軸偏心、齒輪孔軸配合間隙產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差的耦合疊加，即為：

代入齒輪相關(guān)誤差尺寸參數(shù)利用Matlab軟件可以模擬出減速器在輸出端一段時(shí)間內(nèi)的傳動(dòng)誤差曲線(xiàn)(圖6)。同時(shí)對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行頻譜分析(圖7)，以便反映出傳動(dòng)誤差在頻域上包含的信息，實(shí)現(xiàn)誤差的初步分解與溯源。得到周期性的動(dòng)態(tài)誤差包括分別由4號(hào)齒輪、2、3號(hào)齒輪以及1號(hào)齒輪產(chǎn)生的0.05Hz、0.1Hz、1Hz三種頻率成分，各頻率對(duì)應(yīng)的幅值即反應(yīng)了各級(jí)齒輪在傳動(dòng)誤差中的占比。

圖6 傳動(dòng)誤差仿真結(jié)果

圖7 傳動(dòng)誤差的頻譜圖

4 結(jié)論

在分析齒輪傳動(dòng)誤差的主要影響因素的基礎(chǔ)上，建立了齒輪傳動(dòng)鏈的綜合傳動(dòng)誤差函數(shù)，為齒輪減速器產(chǎn)品在設(shè)計(jì)階段提供了一種有效快速的誤差預(yù)測(cè)方法。并結(jié)合Matlab軟件對(duì)一個(gè)典型的二級(jí)齒輪減速器的傳動(dòng)誤差進(jìn)行了仿真計(jì)算和頻譜分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)周期性動(dòng)態(tài)誤差的分解與溯源，可以發(fā)現(xiàn)各級(jí)傳動(dòng)環(huán)節(jié)傳動(dòng)誤差占比最終體現(xiàn)在輸出端的誤差值同對(duì)應(yīng)的減速比成負(fù)相關(guān)。所以設(shè)計(jì)和制造齒輪傳動(dòng)鏈時(shí)，可以適當(dāng)增大最后一級(jí)的傳動(dòng)比，同時(shí)輸出軸齒輪的制造安裝精度應(yīng)該得到保證。

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