孫 慧，張榮興

(1.武漢工程大學(xué) 郵電與信息工程學(xué)院，武漢 430073；2.江西理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

0 引言

精密制造已經(jīng)成為制造領(lǐng)域的研究熱點之一，廣泛應(yīng)用于制造業(yè)、建筑業(yè)、國防工業(yè)、醫(yī)學(xué)等尖端領(lǐng)域。精密定位機構(gòu)作為精密制造的核心部分，其設(shè)計水平的高低將直接影響精密制造的水平。隨著科技的發(fā)展，在一些超精密定位領(lǐng)域，傳統(tǒng)的柔性定位機構(gòu)已經(jīng)無法滿足精度要求[1-4]，所以設(shè)計一種動態(tài)特性好、定位精度高以及實用性強的超精密定位機構(gòu)則顯得非常重要。

近幾年，定位機構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計在不斷地發(fā)展，從當(dāng)前國內(nèi)外發(fā)展情況來看，現(xiàn)階段對平面結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計研究相對比較成熟，空間三維結(jié)構(gòu)主要集中在構(gòu)件結(jié)構(gòu)的研究層面，仍處于發(fā)展階段[5]。X. Huang等[6]將改進了BESO優(yōu)化算法，把優(yōu)化目標(biāo)設(shè)置為剛度最大化，體積和位移作為優(yōu)化約束。李枝東等[7]提出導(dǎo)重法，該方法具有求解速度快、優(yōu)化效果好等優(yōu)點，解決了優(yōu)化過程中計算速度慢，求解困難的問題。陳建超[8]等人以載荷路徑的遺傳算法為基礎(chǔ)，為了達到機翼輕量化設(shè)計的目標(biāo)，分別從單一材料和復(fù)合材料的角度出發(fā),對機翼進行優(yōu)化。與成熟的二維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化相比，三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計還處在發(fā)展階段，具有一定的難度和挑戰(zhàn)。

本文在前者研究的基礎(chǔ)上，提出一種新型的空間分布柔度式柔順微定位機構(gòu)，其不僅具有柔性機構(gòu)無摩擦磨損、無運動間隙和免裝配潤滑的優(yōu)點，還具有并聯(lián)機構(gòu)多運動維度、穩(wěn)定高和承載能力強的特性。利用機構(gòu)間的輸入輸出矢量映射關(guān)系，并結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化方法[9-10]對空間3-RPC型分布柔度式柔順機構(gòu)進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。得到優(yōu)化后的三維構(gòu)型，將拓?fù)鋬?yōu)化后的機構(gòu)與傳統(tǒng)并聯(lián)機構(gòu)進行靜力學(xué)分析和對比，仿真結(jié)果表明無論是運動狀態(tài)還是運動精度，空間分布柔度式柔順機構(gòu)比傳統(tǒng)的空間并聯(lián)機構(gòu)更具有優(yōu)越性，并對其實體模型進行定位精度實驗研究，定量證明了分布柔度式柔順定位機構(gòu)設(shè)計的合理性及該設(shè)計方法的可行性，為空間分布柔度式柔順機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計提供了新思路。

1 采用微位移法求解Jacobian矩陣

傳統(tǒng)的螺旋理論求得的雅克比矩陣，存在超越方程、非方陣等問題，無法應(yīng)用于并聯(lián)機器人的運動學(xué)分析。針對3-RPC型并聯(lián)機器人，提出通過“微位移法”求解微動情況下輸入輸出之間的位移矢量映射關(guān)系，進而得出輸入和輸出之間4×4的微位移雅克比矩陣。如圖1所示，3-RPC 型并聯(lián)機器人有3個互為對稱的支鏈，各支鏈的圓柱副C與動平臺相聯(lián)，轉(zhuǎn)動副R與定平臺相聯(lián)，中間是移動副P。定平臺坐標(biāo)系為(o-xyz)，動平臺坐標(biāo)系為(o′-x′y′z′)，y軸、y′軸與A2A3連線平行。定平臺與動平臺為等邊三角形△A1A2A3和△B1B2B3且邊長分別為a和b(O和O′為等邊三角形的重心)。li表示驅(qū)動桿的長度，θi為連桿與下平臺之間的傾斜角(其中l(wèi)i=l,θi=θ)。

由螺旋理論可知，3-RPC并聯(lián)機構(gòu)的自由度為3，分別是沿X、Y、Z軸移動。假設(shè)初始條件定、動平臺平行，Ai,Bi分別在定平臺坐標(biāo)系o-xyz和動平臺坐標(biāo)系o′-x′y′z′中的坐標(biāo)(i=1,2,3)：

圖1 3-RPC并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

假設(shè)當(dāng)壓電陶瓷驅(qū)動時，動平臺坐標(biāo)系o′-x′y′z′的x′,y′,z′軸相對于定平臺轉(zhuǎn)動了γ,β,α以及移動了dx,dy,dz，由坐標(biāo)系變換原則，可得齊次變換矩陣T。

(1)

式中，Ttrans為平移變換矩陣，Rα,β,γ為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，c()=cos(),s()=sin()

基于微位移法所求得的輸入輸出矢量連續(xù)映射關(guān)系Jacobian矩陣是非奇異方陣，可以直接用于并聯(lián)機器人的運動學(xué)分析，微位移法的基本思想為：當(dāng)移動的距離dx,dy,dz和轉(zhuǎn)動的角度α,β,γ趨近于零，那么可得如下等式：

(2)

式中，δv表示α,β,γ,dx,dy,dz及其高階量。

(3)

綜上所述：可以求得輸入Δli與輸出dx,dy,dz之間的關(guān)系表達式，其齊次坐標(biāo)形式如式(4)所示：

MEMS陀螺隨機漂移是制約慣性導(dǎo)航精度的關(guān)鍵因素,對MEMS陀螺隨機信號進行分析、誤差補償對提高導(dǎo)航精度效果明顯[1-3]。陀螺漂移包括了常值漂移和隨機漂移[5]。常值漂移可以通過建模補償,隨機漂移可以通過統(tǒng)計分析方法建立陀螺漂移模型,再用Kalman濾波器進行補償[7-9]。理論上,只有在隨機動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和噪聲統(tǒng)計特性參數(shù)已知的條件下,標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波才能獲得狀態(tài)的最優(yōu)估計[4-5]。然而,在實際應(yīng)用中以上兩類參數(shù)的獲取都或多或少存在一些誤差,導(dǎo)致Kalman濾波的精度降低,嚴(yán)重時還可能導(dǎo)致濾波發(fā)散[6]。

(4)

2 3-RPC型定位機構(gòu)建模

2.1 3-RPC柔性并聯(lián)定位機構(gòu)建模

用柔性鉸鏈來替代圖1中各支鏈上的運動副，其中柔性圓柱副C由柔性移動副P和柔性轉(zhuǎn)動副R替代，支鏈上的移動副和轉(zhuǎn)動副分別由柔性移動副P和柔性轉(zhuǎn)動副R替代，從而得到3-RPC柔性并聯(lián)機構(gòu)支鏈， 3-RPC柔性并聯(lián)機構(gòu)模型是由 3 個 RPC 型柔性并聯(lián)支鏈對稱分布(夾角為120°)，支鏈中柔性圓柱副C由柔性移動副P和柔性轉(zhuǎn)動副R替代，其中柔性圓柱副C的軸線平行于定平臺,且與柔性轉(zhuǎn)動副R的軸線平行,均與柔性移動副P的軸線垂直。各支鏈輸入、輸出端分別與定、動平臺相連。如圖2所示。

2.2 3-RPC分布柔度式柔順定位機構(gòu)建模

由螺旋理論可知，空間3-RPC分布柔度式柔順定位機構(gòu)有三個輸出，分別是沿X、Y、Z軸的移動?；赟IMP材料插值法，建立空間3-RPC分布柔度式柔順定位機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，其中約束條件為體積分?jǐn)?shù)、優(yōu)化目標(biāo)為柔度最小，設(shè)計變量為密度，數(shù)學(xué)表達式如下:

(5)

式中，Cx為結(jié)構(gòu)剛度，U為位移矩陣，K為剛度矩陣，u為單元位移矩陣，k單元剛度矩陣，Vx和V分別為拓?fù)鋬?yōu)化后和優(yōu)化前的體積，v為體積分?jǐn)?shù)，n為離散單元數(shù)，xmin為最小密度值，xmax為最大密度值。

3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)需要參照同構(gòu)型的柔性并聯(lián)機構(gòu)和微分矢量映射關(guān)系式(4)進行建模。由螺旋理論和公式(4)的多輸入、多輸出映射關(guān)系可知，該機構(gòu)有三個自由度，即沿X、Y、Z軸方向的平移，為了防止冗余驅(qū)動和奇異現(xiàn)象的出現(xiàn)，需要保證驅(qū)動配置與機構(gòu)的自由度個數(shù)相同。參照全柔性并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動配置分布，3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)配置三個以 120°夾角對稱分布的驅(qū)動，在SolidWorks中建立優(yōu)化初始模型，如圖3所示。

圖3 3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)優(yōu)化初始模型

將SolidWorks中的3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)優(yōu)化初始模型，另存為IGES格式的文件，并將IGES格式的文件導(dǎo)入Hypermesh軟件中進行拓?fù)鋬?yōu)化。首先，定義設(shè)計區(qū)域、非設(shè)計區(qū)域，材料選擇65Mn(彈簧鋼)，賦予模型材料屬性(彈性模量E=2.1GPa,泊松比Nu=0.3)；然后，對三維模型進行網(wǎng)格劃分(網(wǎng)格為四面體單元，大小為1mm)，設(shè)定柔度最小為目標(biāo)函數(shù)，材料體積比為約束條件(體積分?jǐn)?shù)為0.3～0.5)，并根據(jù)公式(4)的多輸入、多輸出映射關(guān)系，設(shè)置3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化工況(對定平臺自由度進行約束，使其自由度為0，在模型的三個輸入端分別施加1000N的靜載荷)；最后，在OptiStruct中經(jīng)過多次優(yōu)化迭代，得到拓?fù)鋬?yōu)化后的3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)。仿真設(shè)計模型如圖4所示。圖中綠色網(wǎng)格為設(shè)計區(qū)域，紅色網(wǎng)格為非設(shè)計區(qū)域，凹槽為壓電陶瓷驅(qū)動裝置的安裝位置，凹槽中藍(lán)色箭頭為加載的驅(qū)動力，定平臺底部紅色箭頭為設(shè)計約束，驅(qū)動力與設(shè)計約束共同組成設(shè)計工況。

根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計的工況，在OptiStruct中對3-RPC優(yōu)化初始模型進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，從而得到拓?fù)鋬?yōu)化后的機構(gòu)構(gòu)型，如圖5所示。

圖4 3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)仿真設(shè)計模型 圖5 3-RPC型分布柔度式柔順機構(gòu)優(yōu)化結(jié)構(gòu)

圖6 3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)模型

3 3-RPC型定位機構(gòu)靜力學(xué)分析

3.1 3-RPC型定位機構(gòu)靜力學(xué)理論分析

假設(shè)初始條件：動、定平臺內(nèi)接三角形邊長分別為b=75mm、a=150mm，支鏈與定平臺的夾角φ=75°。

通過仿真可以得出3-RPC型定位機構(gòu)的三種構(gòu)型(全柔性、集成式全柔性、分布柔度式)的動平臺分別沿X、Y、Z方向的微位移參數(shù)及微轉(zhuǎn)動參數(shù)，具體仿真如下。

3.2 3-RPC型定位機構(gòu)靜力學(xué)仿真分析

首先，通過Solidworks分別建立3-RPC型柔性并聯(lián)定位機構(gòu)、分布柔度式柔順定位機構(gòu)三維模型，并導(dǎo)入Hyperworks分析軟件的optistruct模塊中，材料選擇65Mn(彈簧鋼)，賦予模型材料屬性(彈性模量E=2.1GPa,泊松比Nu=0.3)；然后，對三維模型進行網(wǎng)格劃分(網(wǎng)格為四面體單元，大小為1mm)，并根據(jù)公式(4)的多輸入、多輸出映射關(guān)系，設(shè)置工況，對定平臺自由度進行約束，使其自由度為0，在模型的輸入端分別施加1000N的靜載荷。最后，通過Radioss求解器對有限元模型進行靜力學(xué)仿真分析。將仿真結(jié)果導(dǎo)入Hyperview中，分別查看兩種不同幾何結(jié)構(gòu)的3-RPC型定位機構(gòu)動平臺沿X軸、Y軸、Z軸方向的微運動(微位移及微轉(zhuǎn)動)，仿真結(jié)果分別如圖7、圖8所示。

圖7 3-RPC柔性并聯(lián)機構(gòu)靜力學(xué)仿真云圖

通過對3-RPC柔性并聯(lián)定位機構(gòu)靜力學(xué)仿真，得到該機構(gòu)有三個自由度(沿X、Y、Z軸方向的平移)，機構(gòu)動平臺中心點沿X、Y、Z軸三個方向的微位移參數(shù)分別為1.483E-03mm、5.940E-03mm、-3.112E-03mm。通過對3-RPC分布柔度式柔順定位機構(gòu)靜力學(xué)仿真，得到該機構(gòu)有三個自由度(沿X、Y、Z軸方向的平移)，機構(gòu)動平臺中心點沿X、Y、Z軸三個方向的微位移參數(shù)分別為1.214E-03mm、6.437E-03mm、-3.312E-03mm。將仿真結(jié)果與理論值進行對比，如表1所示。

圖8 3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)靜力學(xué)仿真云圖

表1 3-RPC型定位機構(gòu)理論結(jié)果與仿真結(jié)果 (mm/rad)

對比表1中的理論值和仿真值可知，兩種定位機構(gòu)具有相同的三平移自由度，均能實現(xiàn)沿X、Y、Z軸的微位移，且精度達到了微米級，相較于柔性并聯(lián)定位機構(gòu)，3-RPC全柔順并聯(lián)定位機構(gòu)的仿真值更加接近于理論值，誤差小。

4 實驗研究

首先通過3D打印技術(shù)生成3-RPC型分布柔度式柔順機定位構(gòu)的三維實體模型，并搭建3-RPC型分布柔度式柔順定位機構(gòu)實驗系統(tǒng)，如圖9所示。在實驗過程中，由壓電陶瓷控制器來實現(xiàn)對壓電陶瓷輸出位移的精確控制，通過施加外電場來改變壓電陶瓷的極化強度，進而使其自身長度產(chǎn)生變化，提供輸出位移。再通過3-RPC型分布柔度式柔順定位機構(gòu)來完成力或位移的傳遞，由英國雷尼紹XL-80型雙頻激光干涉儀測量其動平臺中心的輸出位移。為了減小實驗誤差，需要保證良好的實驗環(huán)境，避免外界因素的干擾。

圖9 實驗設(shè)備

對機構(gòu)進行定位精度實驗,首先需要對3-RPC分布柔度式柔順定位機構(gòu)設(shè)定期望輸出值，然后通過公式(4)所求得的Jacobian矩陣求得相對于期望輸出值的輸入位移。由壓電陶瓷作為驅(qū)動裝置，提供輸入位移。設(shè)置數(shù)據(jù)采樣頻率為 5000Hz，來測量3-RPC型分布柔度式柔順定位機構(gòu)動平臺中心點沿著X、Y、Z軸方向的微位移，3-RPC分布柔度式柔順定位機構(gòu)動平臺中心沿各軸方向的定位精度實驗數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)實驗結(jié)果

由表2可知，實驗測量的3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)實際位移與理論計算的期望位移值十分接近，誤差范圍大約在5%以內(nèi)，驗證了3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)的有效性。分析誤差產(chǎn)生原因，該實驗系統(tǒng)由定位機構(gòu)和多種實驗設(shè)備共同組成，各組成設(shè)備其自身也存在一些引起誤差的因素。而且實驗系統(tǒng)中動平臺中心點的輸出位移是該實驗系統(tǒng)耦合結(jié)果，任何系統(tǒng)中的影響因素都將對實驗結(jié)果產(chǎn)生影響。

5 結(jié)論

本文分析了3-RPC并聯(lián)機構(gòu)輸入輸出之間的矢量連續(xù)映射關(guān)系，建立該分布柔度式柔順機構(gòu)連續(xù)映射拓?fù)鋬?yōu)化 S I MP模型，在此基礎(chǔ)上對3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，通過HyperWorks有限元軟件對3-RPC型柔性并聯(lián)定位機構(gòu)、分布柔度式柔順定位機構(gòu)進行靜力學(xué)分析，并對3-RPC分布柔度式柔順機構(gòu)實體模型進行試驗研究，得到如下結(jié)論：

(1)基于微位移法建立3-RPC型定位機構(gòu)的微運動矢量映射Jacobian矩陣，無需求解超越方程組，所得到的Jacobian矩陣為非奇異方陣，可以直接作為并聯(lián)機構(gòu)仿真系統(tǒng)的理論參考輸入值，該求解方法對并聯(lián)定位機構(gòu)具有普適性。

(2)與同構(gòu)性的柔性并聯(lián)機構(gòu)相比，通過拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計得到的分布柔度式柔順機構(gòu)與同構(gòu)型的傳統(tǒng)柔性并聯(lián)機構(gòu)具有相同的運動特性且精度更高，誤差在允許范圍內(nèi)，驗證了基于微運動矢量映射Jacobian矩陣拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法的有效性, 為空間分布柔度式柔順機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計提供了新思路。

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