尹秋明，范紀(jì)華,,3，諶 宏，王 琪,,3，方海峰,,3，吳群彪,,3

(1. 江蘇科技大學(xué) 機(jī)電與動力工程學(xué)院，江蘇 張家港 215600；2. 江蘇科技大學(xué)蘇州理工學(xué)院，江蘇 張家港 215600；3. 張家港江蘇科技大學(xué)產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，江蘇 張家港 215600)

0 引言

隨著工業(yè)機(jī)器人在各種工況下的廣泛使用，對機(jī)械臂工作精度和穩(wěn)定性的要求也隨之提高。機(jī)械臂的關(guān)節(jié)處常安裝有力矩傳感器和帶有柔輪的諧波減速器等柔性元件，以達(dá)到精度高，傳動效率高，減速比高等高性能要求。柔性元件的使用對機(jī)械臂運(yùn)動精度產(chǎn)生不可忽略的影響，成為制約機(jī)械臂進(jìn)一步發(fā)展的瓶頸[1-2]。

因此，柔性關(guān)節(jié)的振動抑制問題成為當(dāng)今機(jī)械臂領(lǐng)域重點(diǎn)研究方向之一。Spong[3]首先提出柔性關(guān)節(jié)建模方法，將機(jī)器人的柔性關(guān)節(jié)簡化成線性扭簧，并建立動力學(xué)分方程進(jìn)行分析; BAHRAMI[4]推導(dǎo)出N根柔性桿的動力學(xué)方程，借助線性扭簧-阻尼模型，給桿底座施加隨機(jī)激勵，研究柔性桿末端動態(tài)的響應(yīng)。在抑制柔性關(guān)節(jié)振動和控制方法方面，陳志勇等[5-6]根據(jù)關(guān)節(jié)柔性補(bǔ)償和奇異攝動技術(shù)，設(shè)計(jì)了混合控制方案，引入柔性控制器來消除振動等不良影響。郭闖強(qiáng)等[7]在諧波減速器和機(jī)械臂的桿臂之間安裝了一種新設(shè)計(jì)的力矩傳感器，根據(jù)反饋信息，快速抑制振動。趙丹青[8]提出魯棒自適應(yīng)反演控制算法對柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂受擾動具有魯棒性，從而實(shí)現(xiàn)較高精度的軌跡追蹤。梁捷[9]在考慮柔性桿和關(guān)節(jié)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用一種柔性控制器提高關(guān)節(jié)等效剛度，以達(dá)到抑制振動的目的。徐文福[10]以正弦一梯形函數(shù)為基礎(chǔ)，表示出機(jī)械臂關(guān)節(jié)處的角速度，以函數(shù)的系數(shù)和幅值為變量，借助PSO算法優(yōu)化得到變量的最佳數(shù)值，從而減小剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂末端振動。上述都是對帶有柔性關(guān)節(jié)的機(jī)械臂抑制振動方面所做的一些研究。而在目前的研究中，關(guān)于考慮柔性關(guān)節(jié)的機(jī)械臂的優(yōu)化設(shè)計(jì)相應(yīng)尚少。

本文在Spong提出的線性扭簧模型基礎(chǔ)之上，依據(jù)柔性關(guān)節(jié)的建模方法，建立柔性關(guān)節(jié)動力學(xué)模型，綜合有限元法來求桿臂部分的動力學(xué)方程，以柔性關(guān)節(jié)阻尼為設(shè)計(jì)變量，末端振幅為優(yōu)化目標(biāo)，添加變量約束，從而建立關(guān)節(jié)阻尼的優(yōu)化模型。借助機(jī)械系統(tǒng)仿真軟件ADAMS自帶算法對機(jī)械臂進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[11]，得到最小振幅時(shí)的最佳阻尼參數(shù)，并將高速和低速模型仿真結(jié)果進(jìn)行分析比較，旨在探究速度對柔性關(guān)節(jié)的影響。為高速機(jī)械臂優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 建立機(jī)械臂動力學(xué)模型

1.1 柔性關(guān)節(jié)建模

以Spong模型為基礎(chǔ)提出三個合理假設(shè):

(1)彈簧彈性和關(guān)節(jié)形變成線性關(guān)系。比例系數(shù)為彈性系數(shù)，即柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)剛度K。

(2)電機(jī)質(zhì)量均勻分布。

(3)轉(zhuǎn)軸與關(guān)節(jié)中心軸線重合。

故可忽略由質(zhì)量分布不均和偏心距所引起的轉(zhuǎn)動慣量的影響。柔性關(guān)節(jié)簡化模型如圖1所示。在Adams中柔性關(guān)節(jié)模型如圖2所示。

圖1 簡化后的柔性關(guān)節(jié)模型

圖2 Adams中柔性關(guān)節(jié)

根據(jù)假設(shè)可得，經(jīng)過傳感器和減速器等柔性元件傳遞到關(guān)節(jié)處的力矩為τi=Ki(θi-qi),qi為第i+1個連桿的轉(zhuǎn)角。將關(guān)節(jié)阻尼因素考慮進(jìn)去。綜上可建立柔性關(guān)節(jié)的動力學(xué)方程:

(1)

M(q)為機(jī)械臂慣量矩陣，M(q)∈Rn；

G(q)為重力矢量，G(q)∈Rn；

F(q)為摩擦矩陣，F(xiàn)(q)∈Rn×n；

J表示轉(zhuǎn)動慣量矩陣。K為關(guān)節(jié)剛度矩陣。B為電機(jī)粘性摩擦。τ為機(jī)械臂的電機(jī)對連桿產(chǎn)生的力矩，τ∈Rn。

1.2 桿臂動力學(xué)建模

柔性關(guān)節(jié)、桿臂和剛體與柔性體耦合部分都是造成機(jī)械臂振動不可忽略的因素，為了提高機(jī)械臂運(yùn)動精度和優(yōu)化分析時(shí)得到的數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，不能忽視其影響。剛體以多剛體動力學(xué)建方程。具體運(yùn)動方程如下：

(2)

m為剛體質(zhì)量；J′為轉(zhuǎn)動慣量；F為作用在剛體上的外力總和；r為剛體質(zhì)心位移；ω′為角速度；φr為運(yùn)動學(xué)約束；φπ為驅(qū)動約束；λ為拉格朗日矢量；

式(2)中的η為加速度右項(xiàng)；

φq運(yùn)動學(xué)約束的雅克比矩陣；t為時(shí)間變量；

柔體部分借助有限元法和多柔體理論建立方程。具體微分方程如下：

(3)

綜合多剛體系統(tǒng)動力、多柔體系統(tǒng)動力學(xué)理論。把對柔體部分的分析和對剛體的研究方法相結(jié)合。機(jī)械臂動力學(xué)模型由式(1)～式(3)組成。聯(lián)立微分方程組式(1)～式(3)進(jìn)行求解，可以求得柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂t時(shí)刻末端的位移。

2 建立優(yōu)化分析模型

為了給考慮柔性關(guān)節(jié)的機(jī)械臂減振，提高機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)動精度和工作精度，把機(jī)械臂柔性關(guān)節(jié)的阻尼參數(shù)作為變量，根據(jù)工況選定其取值范圍;因?yàn)閯側(cè)狁詈蠙C(jī)械臂的抓取物體的運(yùn)動過程是一個實(shí)時(shí)變化的過程，故選取機(jī)械臂末端t時(shí)刻位移曲線的數(shù)值與所提供的理論位移曲線t時(shí)刻的數(shù)值之差最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立的目標(biāo)函數(shù)可表示為：

(4)

式中，ΔYt—柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂末端執(zhí)行器在t時(shí)刻的振幅；Yt—柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂末端的仿真位移曲線在t時(shí)刻的數(shù)值；yt—柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂末端的理論位移曲線在t時(shí)刻的數(shù)值；ABS()— 機(jī)械系統(tǒng)仿真軟件ADAMS函數(shù)庫中的絕對值函數(shù)。T為機(jī)械臂運(yùn)動周期；DY()—為實(shí)時(shí)測量Y方向位移函數(shù)。

具體目標(biāo)函數(shù)為：

min(ΔYt)=ABS(DY(Marker_cm-Marker_80))

點(diǎn)Marker_80所在曲線為理論位移曲線。仿真時(shí)末端t時(shí)刻位移與理論t時(shí)刻位移之差可以作為末端振幅，機(jī)械臂執(zhí)行末端理論位移是依據(jù)機(jī)械臂完成抓取物體的任務(wù)的具體工況而預(yù)先設(shè)定的軌跡位移。把機(jī)械臂柔性驅(qū)動關(guān)節(jié)的阻尼系數(shù)damp作為設(shè)計(jì)變量，同時(shí)約束范圍為damp>0。讓目標(biāo)函數(shù)最小化，可得到最優(yōu)關(guān)節(jié)阻尼。

3 軟件仿真及分析

在建模軟件中根據(jù)實(shí)際工業(yè)機(jī)器人的尺寸、材料等屬性建立機(jī)械臂三維模型并對模型進(jìn)行模塊化處理。Ansys適用于有限元分析，Adams適用于剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)分析，鑒于柔性體對整個機(jī)械系統(tǒng)的影響，故通過Adams與Ansys聯(lián)合仿真，精確地模擬整個系統(tǒng)的運(yùn)動。在Ansys中生成大臂、小臂、柔性關(guān)節(jié)三個文件格式為flex.mnf模態(tài)中性文件。該文件含有模型的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量信息、頻率和振型等參數(shù)。在ADAMS的Rigid to Flex模塊中將大臂、小臂、柔性關(guān)節(jié)用三點(diǎn)法導(dǎo)入到ADAMS中，替代同一位置處的剛性體。裝配后得到如圖3所示的簡化的剛?cè)狁詈夏Ｐ汀＿x取具有代表性的柔性驅(qū)動關(guān)節(jié)-腰關(guān)節(jié)，將其按照轉(zhuǎn)子扭簧模型進(jìn)行簡化，根據(jù)機(jī)械臂所要執(zhí)行抓取任務(wù)的工況，在Adams/View的animation controls中跟蹤其末端軌跡曲線得到如圖4的軌跡。

從工作軌跡可以看出，此過程包含抓取、放下重物、啟動、暫停等時(shí)刻，這些時(shí)刻以及機(jī)械臂故障暫停、重物掉落瞬間，柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂末端都會有明顯的振動，因此，測量末端的振幅來優(yōu)化關(guān)節(jié)阻尼系數(shù)的目的就是著重減小這些時(shí)刻振動的影響。

在簡化柔性關(guān)節(jié)后的模型上進(jìn)行仿真分析，設(shè)扭簧的剛度系數(shù)K為定值。瞬時(shí)激振力可以用step函數(shù)設(shè)置也可以借助Adams中的振動模塊設(shè)置，在諧響應(yīng)分析基礎(chǔ)上，進(jìn)行強(qiáng)迫振動分析，在輸入通道中將正弦波作為激勵參數(shù)，在輸出通道中將機(jī)械臂的末端振動位移作為輸出響應(yīng)，設(shè)置激勵的頻率范圍為0～1000Hz。

圖3 簡化后的剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂模型

圖4 運(yùn)行軌跡圖

仿真優(yōu)化的步驟：

(1)設(shè)柔性關(guān)節(jié)阻尼變量為damp，類型為實(shí)數(shù)，單位為阻尼，根據(jù)機(jī)械臂使用的工況以及材料的考慮阻尼范圍在1～200000N·s/mm。

(2)創(chuàng)建強(qiáng)迫振動仿真腳本。

(3)根據(jù)柔性關(guān)節(jié)和振動的關(guān)系，借助測量函數(shù)FUN創(chuàng)建目標(biāo)函數(shù)，在創(chuàng)建目標(biāo)函數(shù)時(shí)選擇Adams/view變量和Vibration宏。

(4)在創(chuàng)建的仿真腳本下運(yùn)行仿真，得到使目標(biāo)函數(shù)最小的最優(yōu)參數(shù)。

(5)改變?nèi)嵝躁P(guān)節(jié)驅(qū)動函數(shù)再次依照上述步驟進(jìn)行仿真。驅(qū)動函數(shù)如表1所示。

(6)分析優(yōu)化結(jié)果。

表1 驅(qū)動函數(shù)

圖5 低速和高速末端振動位移與變量關(guān)系圖

圖6 合理阻尼范圍內(nèi)6條不同阻尼末端振動位移響應(yīng)的幅頻曲線

圖7是根據(jù)Adams的自帶OPTDES-GRG算法進(jìn)行優(yōu)化[12]，按照工況軌跡完成一個周期的仿真的末端振動位移和優(yōu)化之前的仿真振動位移對比圖。自帶的廣義遞減梯度算法，在小位移的情況下，仍然可以保持有效約束。曲線2為優(yōu)化后的振動曲線。曲線1為優(yōu)化之前所測的振動位移，從整個運(yùn)動過程中可以看出，啟動時(shí)刻振動較大，之后振動衰減，在2.5s左右抓取重物，振幅變大，抓取重物時(shí)振幅為11.174mm。將關(guān)節(jié)阻尼設(shè)置為最合理阻尼值后，同樣在抓取重物的瞬間，振幅為6.5mm，振幅減小41.17%，柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂在完成啟動，抓取，搬運(yùn)重物，停止工作的過程中，機(jī)械臂執(zhí)行器的末端振動的到了較大的削弱，柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的運(yùn)動精度和工作精度提高，對末端振動的抑制減少了重物掉落的概率，提高了執(zhí)行任務(wù)的效率和運(yùn)動精度。在實(shí)際工程應(yīng)用中，可以采用一些阻尼特性較好的材料，或者在柔性關(guān)節(jié)中添加阻尼控制器來實(shí)現(xiàn)阻尼的調(diào)節(jié)，還可以通過某些特定結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)調(diào)節(jié)，抑制末端執(zhí)行器的振動。

圖7 振動位移曲線

4 結(jié)束語

本文對機(jī)械臂的柔性關(guān)節(jié)和桿件建立動力學(xué)模型，探尋阻尼與末端位移關(guān)系。使用ADAMS對已建立關(guān)節(jié)阻尼優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，對比分析附加強(qiáng)迫振動下機(jī)械臂高速和低速兩種工況下的結(jié)果，得到如下結(jié)論：

(1)考慮柔性關(guān)節(jié)的剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂在執(zhí)行抓取任務(wù)過程中，阻尼因素對抑制振動有一定的影響，同為最優(yōu)阻尼的情況下，高速機(jī)械臂比低速機(jī)械臂的振幅大。

(2)在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，把模型的理論應(yīng)用于仿真之中。在ADAMS/Vibration模塊中對考慮柔性關(guān)節(jié)的剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂附加強(qiáng)迫振動，分析了末端振型的抑制。ADAMS/Insight優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到高速和低速剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂末端的振動位移和柔性關(guān)節(jié)阻尼的關(guān)系，取用合理的阻尼參數(shù)使得機(jī)械臂執(zhí)行器末端的振動得到較為顯著的抑制，提高了減振效率，改善了機(jī)械臂動態(tài)性能。

(3)對比了機(jī)械臂低速和高速兩種情況下柔性關(guān)節(jié)阻尼對末端精度的影響，為設(shè)計(jì)高速化機(jī)械臂控制策略提供了理論依據(jù)。

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