邊敦新，王紅梅，季 畫

(山東理工大學 電氣與電子工程學院，山東 淄博 255049)

隨著計算機技術的應用，越來越多的采樣系統(tǒng)應用到控制方案中.采樣系統(tǒng)異于連續(xù)系統(tǒng)之處在于，一是人為引入采樣開關實現(xiàn)誤差信號的離散化，二是加入保持器實現(xiàn)誤差信號的復原，正是因為采樣開關和保持器的加入，使采樣系統(tǒng)的性能發(fā)生了變化.為直觀理解采樣系統(tǒng)的性能，在采樣控制實驗系統(tǒng)中，采樣保持器由LF398實現(xiàn)，采樣周期則由輸入MC14538單穩(wěn)態(tài)電路的方波信號進行改變.實驗系統(tǒng)可驗證零階保持器的作用及采樣周期的變化對系統(tǒng)性能的影響.但實驗過程中發(fā)現(xiàn)：

(1)由于受硬件電路的限制，實驗系統(tǒng)可分析的系統(tǒng)性能不夠全面，比如不能單獨觀察采樣開關的加入對系統(tǒng)性能的影響，不能分析一階保持器對系統(tǒng)性能的影響.

(2)由于受硬件電路不便于改變的制約，實驗系統(tǒng)不容易實現(xiàn)較大范圍采樣周期的改變，不方便實現(xiàn)數(shù)字PID控制.

(3)實驗中由于受實驗設備及操作人員等因素的影響，實驗結果不夠理想而且實驗結果顯示以及相互比較不夠方便.

受以上條件限制，實驗系統(tǒng)達不到全面掌握采樣系統(tǒng)性能的教學效果.為了便于更好的理解采樣控制系統(tǒng)的性質，本文充分發(fā)揮MATLAB/Simulink軟件方便、靈活構建仿真系統(tǒng)的優(yōu)勢，逐次分析采樣開關、采樣周期及保持器對采樣系統(tǒng)的影響，通過深入探討仿真實驗結果，直觀展示采樣系統(tǒng)的理論知識，實現(xiàn)從理論知識到實踐知識的轉化.

1 采樣系統(tǒng)的基本性質

1.1 采樣過程的數(shù)學描述

信號采樣可看作是一個脈沖調制過程[1-2]，理想的采樣器相當于一個理想的單位脈沖序列發(fā)生器，采樣后的誤差信號可表示為

(1)

在實際采樣過程中，與理想采樣器不同，每個采樣周期內，會有持續(xù)時間為τ的閉合.通常τ很小，遠遠小于采樣周期T，故e(t)在τ時間內變化甚微，可近似認為在該采樣時間內其數(shù)值不變.所以e*(t)可近似視為一個寬度為τ，高度為e(nT)的矩形脈沖序列，即

1(t-nT-τ)]

(2)

式中:[1(t-nT)-1(t-nT-τ)]表示在nT時刻，一個高度為1、寬度為τ的矩形脈沖，可進一步表示為

(3)

由式(3)可見，采樣后信號的強度正比于閉合時間τ，如果采樣信號e*(t)直接加到后續(xù)系統(tǒng)中，為使系統(tǒng)的總增益在采樣前后保持不變，則需增加一個增益為1/τ的放大器.如果采樣信號經(jīng)保持器加到后續(xù)系統(tǒng)中，則可不考慮脈寬τ對系統(tǒng)增益的影響，可直接按理想采樣開關來處理.

特別需要注意，為使采樣后信號e*(t)能包含被采樣的連續(xù)信號e(t)全部信息，采樣頻率則需滿足采樣定理：采樣頻率ωs必須大于或等于連續(xù)信號e(t)頻譜中所含最高頻率ωmax的兩倍，而實際應用中采樣頻率通常為最高頻率的5～10倍.

1.2 采樣保持器的性能分析

為復現(xiàn)誤差信號e(t)，系統(tǒng)中需要加入低通濾波器，工程中通常采用零階或一階保持器.零階保持器的傳遞函數(shù)和頻率特性[3-5]分別為

(4)

(5)

一階保持器的傳遞函數(shù)和頻率特性分別為

(6)

Gh(jω)=

(7)

從幅頻特性看，兩種保持器都具有低通濾波特性，但都不是理想的低通濾波器，除允許采樣信號的主頻分量通過外，還允許部分高頻分量通過.從相頻特性看，保持器隨頻率增加產生較大的相位滯后，因此保持器的引入，將造成系統(tǒng)穩(wěn)定性下降.而一階保持器與零階保持器相比，低頻時幅值衰減少，更容易保持原信號，但當頻率增加時相位滯后也較大[6-7].

2 采樣開關對采樣系統(tǒng)性能影響的虛擬實驗

采樣開關的加入，造成信息的缺失，必對系統(tǒng)的控制性能產生影響，而其影響對常規(guī)系統(tǒng)和大慣性大滯后系統(tǒng)是有所不同的.

2.1 采樣開關對常規(guī)系統(tǒng)控制性能的影響

圖1 僅加入采樣開關的采樣控制系統(tǒng)仿真模型Fig.1 Simulation model of the sample system only with switch

圖2 連續(xù)系統(tǒng)與僅加入采樣開關的采樣控制系統(tǒng)仿真結果比較Fig.2 Comparison of the continuous system and the sampling system with switch only

表1 采樣前后系統(tǒng)性能指標
Tab.1 System performance indicators before and after sampling

性能指標上升時間/s峰值時間/s調節(jié)時間/s超調量/%連續(xù)系統(tǒng)2．53．58．116．16采樣系統(tǒng)1．93．07．519．98

可見，采樣開關的加入可使系統(tǒng)的上升時間、峰值時間、調節(jié)時間略有減小，但使超調量有所增大，該仿真結果進一步驗證了，一般情況下，采樣造成的信息損失會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定程度.

2.2 采樣開關對大慣性大滯后系統(tǒng)性能的影響

采樣控制系統(tǒng)最早應用于某些具有較大慣性或較大延遲特性的控制系統(tǒng)中，比如工業(yè)加熱爐溫度控制系統(tǒng)[10].工業(yè)加熱爐其慣性時間常數(shù)T比較大，有些可高達千秒以上，滯后時間也大約有數(shù)秒至數(shù)十秒.在連續(xù)控制系統(tǒng)中，為得到較好的動態(tài)品質，開環(huán)放大系數(shù)K只能大大減小，而這將導致穩(wěn)態(tài)誤差大大增加，如若增加校正環(huán)節(jié)，校正裝置的時間常數(shù)也會很大，實際中難以實現(xiàn).通常的解決方案是加入采樣開關對誤差進行采樣，實現(xiàn)溫度的“調一調，停一?！?，這樣會取得比較好的控制效果.為驗證采樣開關的加入對系統(tǒng)性能的影響，根據(jù)爐溫控制系統(tǒng)結構，建立如圖3的simulink仿真模型(此時忽略電機的機電時間常數(shù))，取滯后時間為10s.為確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取K=0.01.系統(tǒng)仿真結果如圖4所示.采樣前后系統(tǒng)的性能對比見表2.

圖3 爐溫控制系統(tǒng)仿真模型Fig.3 Simulation model of the temperature control system

圖4 工業(yè)爐溫度控制階躍響應曲線Fig.4 Step response of the industrial furnace temperature control

表2 工業(yè)爐溫度控制性能指標
Tab.2 System performance indicators of the industrial furnace temperature control

性能指標上升時間/s峰值時間/s調節(jié)時間/s超調量/%連續(xù)系統(tǒng)240362．5567．520．63采樣系統(tǒng)450607．58605．83

由圖4、表2可見，對于大慣性大滯后系統(tǒng)加入采樣開關后，雖上升時間、峰值時間、調節(jié)時間均有所增加，但超調量大大減小，從而提高了系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性.

總體可見，采樣開關對常規(guī)的系統(tǒng)而言是不利的，但對大慣性大滯后系統(tǒng)卻又是有益的，所以要充分認識其特點，合理利用.

3 采樣周期對采樣系統(tǒng)性能影響的虛擬實驗

采樣周期是采樣控制系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，它對系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的PID控制參數(shù)，控制品質等產生較大的影響[11-12].如果采樣周期取得太小，雖和連續(xù)系統(tǒng)相接近，但有可能出現(xiàn)過采樣，使得采樣信號不能很好反映工況，反而影響控制精度；如果采樣周期取得太大，致使系統(tǒng)調節(jié)不及時，導致系統(tǒng)性能變差，甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定.如何選擇合適的采樣周期是采樣系統(tǒng)設計的一大難點.

3.1 采樣周期對穩(wěn)定性及控制性能影響

為了反映采樣周期T對系統(tǒng)性能的影響，建立了如圖5的Simulink仿真系統(tǒng)，其中被控對象的滯后時間為1s.分別設置零階保持器的采樣周期為T=0.01，0.1，0.5，1，5，對系統(tǒng)進行仿真，仿真結果如圖6所示.

圖5 采樣系統(tǒng)仿真模型Fig.5 Simulation model of the sampling system

圖6 不同采樣周期的采樣系統(tǒng)階躍響應曲線Fig.6 Step responses of the sampling system with different sampling periods

由仿真結果可見，隨著采樣周期的增加，系統(tǒng)的超調量逐漸增大，振蕩次數(shù)增加，系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性下降，調節(jié)時間也有所延長.特別的，在采樣周期比較小時，如采樣周期為T=0.01，0.1的仿真結果和連續(xù)系統(tǒng)比較相近，尤其T=0.01時已經(jīng)和連續(xù)系統(tǒng)重合.由此可見，采樣周期小到一定程度，對系統(tǒng)的影響較??；而在T=5的響應曲線中，由于采樣周期取得較大，在非采樣時系統(tǒng)的調節(jié)作用大大的減弱，致使系統(tǒng)出現(xiàn)比較明顯的振蕩，控制系統(tǒng)的動態(tài)和靜態(tài)性能大幅下降，可見采樣周期過大，對系統(tǒng)的影響非常不利.可以預見，如果采樣周期取得更大，系統(tǒng)將會發(fā)散，由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng).

3.2 采樣周期對大慣性大滯后系統(tǒng)的影響

為了更全面分析采樣周期的作用，下面針對大慣性大滯后系統(tǒng)，繼續(xù)考察其影響.仍然以圖3的系統(tǒng)為例，只是將采樣開關置換成零階保持器，分別取其采樣周期T=5，10，20，50，100，得到如圖7的仿真結果.可見，同常規(guī)系統(tǒng)一樣，系統(tǒng)仍然隨著采樣周期的增加，動態(tài)、靜態(tài)性能均有所下降.仿真中發(fā)現(xiàn)當采樣周期增大到220s時，系統(tǒng)將發(fā)散；而當采樣周期小到1s時和連續(xù)系統(tǒng)已經(jīng)非常接近.

圖7 采樣周期對大慣性大滯后系統(tǒng)的性能影響Fig.7 Effect of the sampling period acting on big inertia lag system

3.3 采樣周期對PID控制參數(shù)的影響

采樣控制系統(tǒng)數(shù)字PID控制算法計算公式及其傳遞函數(shù)為

(8)

圖8 采樣周期對PID控制影響仿真模型Fig.8 Simulation model of the sampling period acting on PID control

圖9 采樣周期對PID控制影響仿真結果對比圖Fig.9 Comparison of the PID control with different sampling periods

總體來說，采樣周期的合理選擇是比較困難的事情，通?？筛鶕?jù)被控對象的性能或被控介質，利用經(jīng)驗公式，多次試探后合理選擇.

(2)按被控參數(shù)選擇：流量, 采樣周期取1 ～ 5s；壓力,取3 ～ 10s；溫度, 取15 ～ 20s；成分,取15 ～ 20s.

4 保持器對采樣系統(tǒng)性能影響的虛擬實驗

由保持器的頻率特性可知，保持器在復現(xiàn)信號的同時，由于其相位滯后和幅頻衰減會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能，而且這種不利的影響會隨頻率的增加而愈加明顯.下面分別分析保持器對常規(guī)系統(tǒng)和大慣性大滯后系統(tǒng)的影響.

4.1 保持器對常規(guī)采樣系統(tǒng)性能的影響

仿真系統(tǒng)構建時在圖5仿真系統(tǒng)的基礎上將保持器分別采用Zero-Order Hold模塊和First-Order Hold模塊，并取采樣周期T=1.圖10為連續(xù)系統(tǒng)和帶有采樣保持器系統(tǒng)的單位階躍響應曲線.由圖10可見，兩種保持器均使上升時間和峰值時間略有減小，系統(tǒng)的調節(jié)時間和超調量大大增加，降低了系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性.相較于零階保持器，由于一階保持器能更好的復現(xiàn)信號，一階保持器的調節(jié)時間和超調量均要小些.發(fā)現(xiàn)保持器的復現(xiàn)能力和采樣周期有關，當采樣周期較大時，保持器的幅頻衰減以及相位滯后都較大，會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能，尤其是一階保持器.把輸入信號改為sin(t)，采樣周期T=3，會得到圖11的仿真結果.可見，加入保持器的采樣系統(tǒng)幅值降低較多，并且由于一階保持器的相位滯后較大已經(jīng)使系統(tǒng)不穩(wěn)定.

圖10 不同保持器下采樣系統(tǒng)的階躍響應曲線Fig.10 Step response of the sampling system with different holds

圖11 不同保持器下采樣系統(tǒng)的正弦響應曲線Fig.11 Sine response of the sampling system with different holds

4.2 保持器對大慣性大滯后采樣系統(tǒng)性能的影響

大慣性大滯后系統(tǒng)繼續(xù)采用圖3所示的系統(tǒng)，仿真中分別設置零階保持器和一階保持器的采樣周期為20s.圖12的單位階躍響應曲線顯示，保持器對大慣性和大滯后系統(tǒng)的影響與常規(guī)的系統(tǒng)基本相同，在此就不一一顯示結果并陳述.

圖12 不同保持器下大慣性大滯后系統(tǒng)的階躍響應曲線Fig.12 Step response of the big inertia lag system with different holds

5 結束語

本文借助MATLAB/Simulink軟件，通過仿真結果的直觀展示以及仿真結果的MATLAB計算，分析了采樣開關、采樣周期、保持器對采樣控制系統(tǒng)性能影響.這些影響實質上是由于采樣開關和保持器的引入，使閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點發(fā)生改變，從而影響采樣控制系統(tǒng)的動態(tài)性能.特別強調的是，采樣周期會影響信息的損失程度，影響采樣系統(tǒng)的頻率特性、穩(wěn)定性和PID參數(shù)等等，一定要合理選擇采樣周期.該虛擬實驗系統(tǒng)能更直觀的認知采樣系統(tǒng)，更細致的理解采樣系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的作用，為設計性能優(yōu)良的采樣系統(tǒng)提供依據(jù).

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