劉沖，楊岳，丘文生,，周鵬剛，易兵

(1. 中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075；2. 廣鐵鐵路(集團)公司 廣州大型養(yǎng)路機械運用檢修段，廣東 廣州 511400；3. 中國鐵建高新裝備股份有限公司，云南 昆明 650215)

鋼軌打磨是改善新建和在役鋼軌廓形的主要技術手段，能有效保障鐵路安全運營、延長鋼軌使用壽命、降低噪聲與振動，提高旅客的舒適度。為此，國內外學者近年來逐步關注并開展鋼軌打磨技術的研究。俄羅斯鐵路工程師提出一套優(yōu)化打磨程序，并對打磨周期和打磨目標廓形作了詳細規(guī)定。該方法一定程度上保障了線路正常運營，但比較依賴于經驗，容易受人為誤差和工作環(huán)境的影響[1]。美國華盛頓鐵路公司采用鋼軌打磨模板來應對貨運重載線路鋼軌磨損過大和金屬塑性變形嚴重的問題。這些模板要求打磨后曲線不僅具有較好的列車通過性能，而且盡量減少金屬打磨量，以此提高鋼軌打磨效率和鋼軌使用壽命[2]。Grassie等[3-4]從尋找線路波浪型磨耗傷損出現的原因入手，研究了鋼軌一次和多次打磨的優(yōu)劣。從打磨周期、作業(yè)質量及經濟性的角度提出了 RCF(Rolling Contact Fatigue)方法，一定程度上解決了波形磨耗和內側剝落的現象。金學松等[5-6]分析了鋼軌裂紋形成機理，用數值計算優(yōu)化打磨周期，延緩鋼軌疲勞裂紋的發(fā)展。何娟娟等[7-8]研究了打磨角度、打磨壓力對打磨廓形的影響，以及鋼軌打磨模式編制方法。目前，針對鋼軌打磨廓形進行預測計算的相關研究成果尚較為少見。制定打磨模式時往往依賴經驗，現場試驗占用作業(yè)時間，影響了作業(yè)效率、增加了作業(yè)成本。由于初始廓形、多砂輪打磨參數和實際打磨工況三者的差異，目前準確預測打磨后的鋼軌廓形難度較大。針對以上問題，本文采用3次樣條插值方法描述打磨前后的鋼軌廓形，根據鋼軌打磨歷史數據構建鋼軌打磨量響應面模型。通過分析多砂輪共同作用下的鋼軌打磨成形機理，制定鋼軌打磨量的數值計算方案，實現鋼軌打磨廓形的準確預測。

1 鋼軌廓形的3次樣條描述

1.1 鋼軌廓形采樣數據篩選

根據60型鋼軌標準TB/T 2344—2012[11]可知，鋼軌廓形兩側上部的曲率半徑最小，中部弧線段曲率半徑較大，兩側邊界線為直線段。在篩選型值點時，在曲率大的區(qū)段應保留相對多的樣本點。

圖1 標準60型鋼軌斷面型值點篩選Fig. 1 Data points selection of standard type 60 rail profile

如圖1所示為標準60型鋼軌廓形，A和A′均為兩側直線端點，B和B′為y軸與鋼軌廓形的交點，M和N分別為左右兩側曲率半徑最小圓弧的圓心。針對樣本點數據量過大的問題，在標準 60型鋼軌廓形上篩選m個型值點時，將∠AMB和∠A′NB′按角度等分為m/2或(m+1)/2份。從圓心M和N處發(fā)出的等分角射線與輪廓交點作為分段點，利用分段點將采集的樣本點分為m份，按橫坐標值從小到大對采樣點排序，篩選出每份中第一個采樣點作為型值點。

1.2 鋼軌廓形的3次樣條插值

針對磨耗的在役鋼軌廓形，通過鋼軌輪廓檢測裝置可采集得到鋼軌斷面上的若干離散點。由于 3次樣條插值方法的數值穩(wěn)定性較好、計算效率高，在分段點處連續(xù)可導，可以準確描述被測廓形的幾何特征，因此采用3次樣條插值方法進行鋼軌廓形重建。

將測得的鋼軌軌頭斷面廓形離散數據點{xi,yi}(i=0, 1, 2, …, n)作為插值樣本點，進行數據插值。設S(x)為插值函數表達式，在樣本點處有S(xi)=f(xi)對于i=0, 1, …, n成立。下式為插值可導條件和連續(xù)性條件[9-10]：

由上述關系式及各插值點處的邊界條件，可得3次樣條插值函數S(x)表達式：

M0=Mn，Mj(j = 1 ,2,… ,n )可用如下矩陣形式求出：

2 鋼軌打磨量的響應面模型

2.1 鋼軌打磨量響應面模型的基本形式

在鋼軌打磨作業(yè)過程中，打磨量直接決定打磨成本和效率。在鋼軌廓形型面分析中，一般以打磨深度d和打磨面積A作為衡量鋼軌打磨量的主要指標[14]。實驗表明，打磨深度受具體打磨工況的影響變化較大，而每個砂輪對鋼軌的打磨面積相對穩(wěn)定且呈現一定規(guī)律性，故以單一砂輪對鋼軌的打磨面積A作為鋼軌打磨量衡量指標。

鋼軌打磨作業(yè)時采用的打磨模式主要參數包含砂輪傾角θ和打磨功率p等。鋼軌打磨量A作為預測最終廓型的重要參數，與以上參數密切相關。因此，下面以打磨模式中的參數作為設計變量，構建打磨量響應面模型。

以實驗設計為基礎建立的響應面方法(Response Surface Methodology，RSM)，可以準確地構建設計響應A與設計變量θ，p之間的非線性隱式關系[15]。并且，多項式響應面模型能夠較好地去除數字噪聲的影響，對于低維問題的擬合結果較為理想。

因此，采用3階響應面方法，構建鋼軌打磨量響應面模型如下：

式中：A為鋼軌打磨量；θ為砂輪傾角；p為打磨功率；C為含誤差量的常系數。

2.2 鋼軌打磨量響應面模型

為構建鋼軌打磨量響應面模型，需鋼軌打磨車在多工況條件下進行現場實驗，獲得相應的鋼軌打磨實測數據。表1列舉了某型打磨車線上以10 km/h進行鋼軌打磨獲取的實驗數據。

表1 鋼軌打磨實驗數據Table 1 Rail grinding experiment data

以表1中隨機篩選的20組實驗數據作為樣本，結合式(4)，構建響應面模型，得到鋼軌打磨量響應面模型，如下：

為更直觀地表征鋼軌打磨量與砂輪傾角、打磨功率的相互關系，構建圖2所示關系圖。

圖2 打磨功率、砂輪傾角與鋼軌打磨量關系Fig. 2 Relationship of rail grinding power, grinding wheel angle and grinding amount

采用下式表達鋼軌打磨量響應面模型的擬合誤差[12]：

式中：Ai為由實驗得到的鋼軌打磨量；A(p,θ)為由響應面模型預測得到的鋼軌打磨量；n為實驗樣本數。

3 鋼軌打磨廓形的計算

3.1 單個砂輪打磨廓形計算

為了對鋼軌打磨廓形進行數值分析計算，進行如下假設：忽略打磨砂輪表面不同切削刃間的形貌差異，相鄰切削刃的間隔距離相等；砂輪與鋼軌均為無彈性變形的簡單剛性體。圖 3為砂輪-鋼軌打磨斷面示意圖。

圖3中，H，J為砂輪端面投影線與鋼軌3次樣條插值廓形的交點。其中，H(xH, xH)和J(xJ, xJ)分別在 3次樣條插值函數第 i-m段 Si-m(x)和第 i+n段Si+n(x)上。砂輪轉軸與y軸夾角為θ，則砂輪端面所在直線P1Q1的表達式如下：

砂輪底部直線段在鋼軌斷面起始位置為P0Q0，在C′點與鋼軌廓形相切，此時打磨量為0。當砂輪斷面逐步切削進給，直至形成打磨深度d時，該砂輪視為打磨完成。在此過程中，θ恒定而b為變量，即砂輪由P0Q0位置向P1Q1移動過程中，式(2)和式(3)持續(xù)更新。

圖3 砂輪直線段與鋼軌斷面廓形作用關系Fig. 3 Relationship of wheel head face and rail profile

因此，可由式(5)所示響應面模型，根據打磨模式中的參量即可得出第i個砂輪的打磨量Ai。建立如下關系式：

由此可確定bHJ的值和交點H(xH, xH)，J(xJ. xJ)的坐標，即得到第i個砂輪的打磨廓形。

3.2 鋼軌打磨包絡式廓形計算

鋼軌打磨廓形形成的過程，實際上就是一系列砂輪對鋼軌原始廓形進行包絡式打磨，得到鋼軌近似目標廓形的過程。當第i+1個砂輪進行打磨時，原有3次樣條插值函數S(x)不能準確描述打磨后的廓形，因此需要對原插值函數進行更新。圖4為單個砂輪與鋼軌斷面接觸關系。圖4中，HJ段為第i個砂輪打磨形成的直線段，并構成第i+1個砂輪打磨前的原始廓形。將所有型值點的橫坐標與 xH和xJ進行比較，并篩選出橫坐標滿足 xH≤xi≤xi+j≤xJ的型值點 Pi和 Pi+j。根據式(8)可得直線HJ的方程(9)，如下：

將Pi和Pi+j橫坐標代入式(9)，即得iP′和ijP+′的縱坐標值。以iP′和ijP+′的坐標取代原iP′和ijP+′的坐標，根據鋼軌廓形3次樣條插值方法得到的插值曲線即為更新后的鋼軌廓形，視為下一砂輪打磨的初始廓形。圖5為多個砂輪打磨前、后的廓形示意圖。由于砂輪下底面為平面結構，圖5中Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 3段直線分別對應A，B和C 3個砂輪與鋼軌交線，多段線相連構成打磨后的鋼軌廓形。

3.3 鋼軌打磨廓形計算方案

在以上分析的基礎上，可形成圖6所示的鋼軌打磨廓形預測計算方案，具體體現了如下鋼軌打磨廓形的算法流程：

1) 讀入鋼軌廓形離散點數據，利用篩選后的離散點進行3次樣條插值處理，構建鋼軌斷面初始輪廓的3次樣條表達式；

2) 讀取鋼軌打磨實驗數據，利用響應面構造方法，建立鋼軌打磨量的響應面擬合模型；

3) 讀取鋼軌打磨模式，建立打磨砂輪與鋼軌幾何接觸關系的數學模型；

4) 基于砂輪-鋼軌接觸數學模型，進行打磨廓形數值計算得到某一砂輪打磨的廓形。循環(huán)上述過程，至打磨模式內的砂輪循環(huán)完成。

5) 輸出該打磨模式作用下的鋼軌打磨預測廓形。

圖4 單個砂輪與鋼軌斷面接觸關系Fig. 4 Contact relationship of a wheel and rail profile

圖5 多個砂輪打磨前后廓形Fig. 5 Profile before and after multiple wheel grinding

圖6 鋼軌打磨廓形數值計算方案Fig. 6 Numerical calculation scheme of rail profile grinding

4 實例分析

4.1 鋼軌廓形3次樣條的擬合精度分析

以60型標準鋼軌為例，采用ZLDS200高精度二維廓形掃描儀對鋼軌軌頭廓型數據進行采樣，可以得到1 280個離散點數據。如所有數據直接用于插值計算，耗時長效率低，因此需要對采集的數據進行適當篩選。采用1.1所述數據點篩選方法，將標準60型鋼軌分為96份，根據式(2)~(3)，對篩選出的96個鋼軌廓形檢測樣本點進行3次樣條插值，即可得出插值函數 S(x)。圖 7為 96個型值點的 3次樣條插值廓形與60型鋼軌標準廓形。

圖7 鋼軌3次樣條插值廓形與標準廓形Fig. 7 Cubic spline interpolation profile and standard rail profile

采用式(6)計算2曲線的均方根偏差如下[12]：

式中：yi為除型值點以外的樣本點所對應的縱坐標，f(xi)為上述樣本點的橫坐標 xi在插值廓形上對應的縱坐標值，n為型值點個數。經計算可知，3次樣條插值廓形與標準廓形的均方根誤差為 5.177 2×10-4mm。鋼軌打磨車的最小單次切削深度一般為 0.05~0.10 mm[13]，一般情況下切削量約為 0.2 mm/遍。則擬合偏差與單次最小切削深度的比值為1.51%，因此采用 3次樣條插值方法描述鋼軌廓形準確可靠。

4.2 鋼軌打磨廓形預測實例

采用 ZLDS200非接觸式鋼軌廓形二維激光檢測裝置，對京廣線岳陽段某一位置打磨前、后的鋼軌廓形進行測量。針對該鋼軌磨耗情況，現場采用GMC-96B鋼軌打磨車進行鋼軌打磨，采用組合打磨模式“8，9”，表2和表3分別列舉了模式8和9的打磨參數：

根據表2~3列舉的的鋼軌打磨參數，結合圖6所示的鋼軌打磨廓形計算方案，對鋼軌打磨廓形進行預測計算。該打磨模式下的鋼軌原始廓形、打磨后廓形和預測廓形對比情況，如圖8所示。

表2 打磨模式8的打磨參數Table 2 Grinding parameters of grinding mode 8

表3 打磨模式9的打磨參數Table 3 Grinding parameters of grinding mode 9

圖8 打磨前后廓形與預測打磨廓形對比圖Fig. 8 Comparison of predicted rail grinding profile and profile before & after grinding

圖9 打磨模式“8、9”預測打磨廓形和實際打磨后廓形偏差Fig. 9 Deviation between actual grinding profile and predicted grinding profile based on MODE 8 & 9

3.2 預測效果分析

圖9 進一步反映了鋼軌實際打磨廓形與打磨預測廓形偏差。由圖9可知，打磨后的鋼軌廓形與打磨預測廓形的最大偏差值約為5.6×10-2mm。根據現行客運專線鋼軌打磨驗收標準[16]和鋼軌打磨軌頭廓形驗收標準(手工檢測)[17]，Q級偏差限定值為mm，為驗收最高標準。本實驗中，預測廓形與實際打磨廓形的最大偏差為0.056 mm，而規(guī)定的Q級驗收標準的最小極限偏差為0.3 mm，因此預測廓形與實際打磨廓形的偏差滿足驗收標準。實驗結果證明，上述鋼軌打磨廓形預測方法滿足工程實際需求。

5 結論

1) 在研究鋼軌打磨廓形成形機理的基礎上，提出一種基于3次樣條插值的鋼軌廓形重構方法。針對采樣點數據量大的問題，設計了一種篩選型值點的方法。經驗算，插值廓形與標準廓形的均方根誤差為5.177 2×10-4mm，既保證了鋼軌廓形重構準確性，也提高了運算效率。

2) 以鋼軌打磨實驗數據為基礎，構建了鋼軌打磨量的3階無交叉項響應面模型，模型的均方根誤差為0.019 93。在給定打磨模式下，該響應面模型可以較高精度計算各砂輪對應的鋼軌打磨量，實現鋼軌打磨量的計算預測。

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