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        等溫線(xiàn)和絕熱線(xiàn)不能相交于兩點(diǎn)的兩種證法*

        2018-03-05 05:48:02盧曉鳳毛予廷
        物理通報(bào) 2018年3期
        關(guān)鍵詞:理想氣體證法等溫線(xiàn)

        盧曉鳳 毛予廷

        (西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 重慶 400715)

        在熱學(xué)部分我們學(xué)習(xí)了熱力學(xué)第零定律、第一定律及第二定律這三大定律之后,發(fā)現(xiàn)用其可以解決很多有關(guān)熱現(xiàn)象的問(wèn)題,但它也有其局限性.如單純地用熱力學(xué)第一定律不能回答的問(wèn)題有3個(gè),其中第一個(gè)是:理想氣體的pV圖上,等溫線(xiàn)和絕熱線(xiàn)不能有兩個(gè)和兩個(gè)以上的交點(diǎn).對(duì)上述問(wèn)題的證明我們采用反證法,得出其違反熱力學(xué)第二定律證明的,其實(shí)還可以有其他證法,為此本文就這一問(wèn)題用兩種方法進(jìn)行證明.

        1 證明方法一

        命題:論證理想氣體絕熱線(xiàn)與等溫線(xiàn)不能相交于兩點(diǎn).

        假設(shè)絕熱線(xiàn)與等溫線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn).

        如圖1所示,若一條絕熱線(xiàn)與一條等溫線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn),沿絕熱線(xiàn)從A到B,再沿等溫線(xiàn)從B到A,于是構(gòu)成了一個(gè)閉合循環(huán),它從單一熱源吸熱對(duì)外做功(等于環(huán)路面積).這違反熱力學(xué)第二定律,所以是不可能的.

        如圖1所示,等溫線(xiàn)與絕熱線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)閉合循環(huán)系統(tǒng),則有ΔU=0(因?yàn)閮?nèi)能是個(gè)態(tài)函數(shù)).

        圖1 理想氣體p-V圖

        由熱力學(xué)第一定律得

        ΔU=Q-A

        B→A在等溫過(guò)程中有Q>0

        A→B在絕熱過(guò)程中有Q=0

        則有

        Q=A

        式中各字母代表的意思分別是:Q:系統(tǒng)從外界吸熱;A:外界對(duì)系統(tǒng)做功;U:內(nèi)能增加.

        這與熱力學(xué)第二定律開(kāi)爾文氏表述相矛盾(不可能從單一熱源吸取熱量,使之完全變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生其他影響).

        因此,假設(shè)不成立原結(jié)論正確.

        上述證明過(guò)程完全應(yīng)用我們物理知識(shí)中的熱力學(xué)第一、二定律進(jìn)行證明,證明過(guò)程雖簡(jiǎn)單,但不易理解,為此我們介紹下面一種證法.

        2 證明方法二

        對(duì)于“理想氣體絕熱線(xiàn)與等溫線(xiàn)不能相交于兩點(diǎn)”這一命題的證明,不依賴(lài)于熱力學(xué)第二定律,也可以證明其正確性.

        在pV圖中,可設(shè)(p1,V1)和(p2,V2)是等溫線(xiàn)和絕熱線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn),根據(jù)理想氣體等溫過(guò)程方程

        pV=C1

        可得

        p1V1=p2V2

        (1)

        根據(jù)理想氣體絕熱過(guò)程方程

        pVγ=C2(泊松公式)

        可得

        (2)

        聯(lián)立(1)、(2)兩式可得

        其實(shí)兩個(gè)交點(diǎn)為同一點(diǎn).

        在上述的討論中我們假定γ為常數(shù),而對(duì)于理想氣體,γ有可能是溫度的函數(shù),在此情況下有

        nCVdT+pdV=0

        (3)

        利用理想氣體物態(tài)方程:pV=nRT,可將式(3)化簡(jiǎn)為

        VF(T)=常量

        因此,當(dāng)γ與溫度有關(guān)時(shí),理想氣體的絕熱過(guò)程方程為

        VF(T)=常量

        (4)

        設(shè)(p1,V1)和(p2,V2)是等溫線(xiàn)和絕熱線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn),等溫線(xiàn)對(duì)應(yīng)的溫度為T(mén),由式(4)可得

        V1F(T)=V2F(T)

        (5)

        由等溫過(guò)程方程可得

        p1V1=p2V2

        (6)

        聯(lián)立(5)、(6)兩式可得

        上面兩式同樣說(shuō)明,等溫線(xiàn)和絕熱線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)實(shí)為一點(diǎn),這說(shuō)明等溫線(xiàn)和絕熱線(xiàn)不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn).

        3 兩種證明方法比較

        相同點(diǎn):對(duì)理想氣體絕熱線(xiàn)與等溫線(xiàn)不能相交于兩點(diǎn)這一命題的兩種證明方法,本文均采用了反證法,但其應(yīng)用原理不同.

        不同點(diǎn):

        (1)方法一通過(guò)應(yīng)用熱力學(xué)第一定律導(dǎo)出其與熱力學(xué)第二定律相矛盾從而證明了其正確性;方法二則采用熱力學(xué)第一定律的微分形式、理想氣體的物態(tài)方程及泊松方程進(jìn)行證明,更多的是數(shù)學(xué)推理.

        (2)方法一形式簡(jiǎn)單,但不易理解,尤其對(duì)其兩大定律理解不清晰或不透徹者.方法二雖形式復(fù)雜公式繁多實(shí)則原理簡(jiǎn)單,大多是一些數(shù)學(xué)方面的定性分析及推理,較易理解.

        4 總結(jié)

        對(duì)理想氣體絕熱線(xiàn)與等溫線(xiàn)不能相交于兩點(diǎn)的正確性的論證,我們從上述問(wèn)題的兩種證明方法進(jìn)行了證明,均有優(yōu)缺點(diǎn),同學(xué)們可以自選方法來(lái)更好的理解.同時(shí)也啟示我們,在解決一些問(wèn)題時(shí)要從多角度去思考,力圖尋求多種方法來(lái)解決其問(wèn)題,從而得到最簡(jiǎn)便的解決途徑.這不僅可以提高我們解決問(wèn)題的能力更能鍛煉我們的思維能力.

        1 劉全慧,沈抗存.熱物理教與學(xué)隨筆集.北京:科學(xué)出版社,2010.89~90

        2 趙凱華,羅蔚茵. 熱學(xué). 北京:高等教育出版社, 2011. 222~223

        3 程守洙,江之永.普通物理學(xué).北京:高等教育出版社,2013

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