周國全 祁 寧

(武漢大學物理科學與技術學院物理系 湖北 武漢 430072)

1 前言

一個質點同時參與了兩個或多個簡諧振動的問題，便涉及簡諧振動的合成[1,2]．兩個同頻率、同方向簡諧振動的合成問題，現行教科書一般都采用旋轉矢量疊加法(亦即參考圓方法)或復向量法[1～6]，這兩種方法比較直觀和簡便；而對于多個簡諧振動的合成，旋轉矢量合成法雖然原則上可行，但計算過程較為繁復，甚至不可行．本文提出了一套待定參數法，可十分簡便地推導出多個同頻率、同方向簡諧振動的合成振幅及初相位的計算公式．鑒于現行教科書和文獻對于簡諧振子合成運動的待定參數法甚少提及[1～6]，本文特作介紹．

2 待定參數法的應用的一般原則

在科學研究過程中，當我們對一組觀測數據按照其固有的變化規(guī)律進行某種曲線擬合時，如回歸分析中的最小二乘法，采用的就是待定參數法．在數理科學中，我們常常將某些函數按照其標準形式進行合成或分解，前者如數學中周期函數的傅立葉級數分解，基于初值或邊值條件的微分(偏微分)方程的定解問題，有理分式的部分分式化分解；后者如量子力學中原子基態(tài)波函數的里茲變分法[7]、粒子物理中共振態(tài)對于布萊特-維格納曲線的參數擬合等都可應用待定參數法加以解決[8]，本文關于n個同頻率、同方向簡諧振動的合成公式的推導，也是待定參數法的一個很好的應用范例．

當我們按照具有m個獨立的自變量的標準形式的函數F(t1,t2,…,tm)，將n個已知的函數fi(t1,t2,…,tm), (i=1,2,…,n), 進行合成運算時，應具有如下所述的恒等式

F(t1,t2,…,tm;c1,c2,…,cl)

(1)

式中ci(i=1,2,…,l)，是l個待定的常參量，而ti(i=1,2,…,m)，是m個獨立的自變量．這種合成運算之所以能運用待定參數法，其根據是，式(1)對變量ti的任意取值均成立，即它是一恒等式．因此我們可在函數F及fi(i=1,2,…,n)的定義域內對ti任意取值，從而可得關于ci的若干獨立的方程，它應有且僅有l(wèi)個獨立的參數方程，由此求出的ci值應使式 (1) 成為恒等式．這就是應用待定參數法的一般原則，但基于一個前題——必須首先證明標準形式的存在性，以保證合成公式的合理性．下面運用待定參數法推導n個同頻率、同方向簡諧振動的合成公式，并以此為例，闡述待定參數法的應用原則與技巧．

3 n個同頻率同方向簡諧振動的合成公式

假設一個質點同時參與了n個簡諧振動，其中第i個簡諧振動xi(t)的方程為

xi(t)=Aicos(ωt+φi),(i=1,2,…,n)

(2)

其中Ai與φi分別是第i個諧振的振幅及初相位，ω是圓頻率．下面運用待定參數法探求其合成振動的振幅及初相位公式．

首先，我們必須證明合成振動

仍然可寫成標準形式

x(t)=cos(ωt+φ)

即它仍然是簡諧振動．這個結論可用高中生能理解的數學歸納法加以證明，先證明兩個同頻率、同方向簡諧振動的合成結果仍為一簡諧振動

x(t)=Acos(ωt+φ0)≡
A1cos(ωt+φ1)+A2cos(ωt+φ2)≡

(A1cosφ1+A2cosφ2)cosωt-
(A1sinφ1+A2sinφ2)sinωt=

acosωt-bsinωt=A(2)cos(ωt+φ(2))

其中

a=A1cosφ1+A2cosφ2

b=A1sinφ1+A2sinφ2

因而

(3)

(4)

再用數學歸納法可很容易地推廣到n個同頻率、同方向簡諧振動的合成的結果，它仍然是一簡諧振動(證明過程從略), 但運用簡諧振動的微分方程證明這一結論更為簡潔，(高中競賽學生能夠理解), 這是因為由

(5)

兩邊對t求二階導數可得

(6)

仍然滿足一般簡諧振動的微分方程，因此合成振動x(t)必然也是一簡諧振動，也就是說合成振動x(t)也具有標準形式x(t)=Acos(ωt+φ0)，其中A，φ0為待定的參數．運用待定參數法，在以下恒等式中

x(t)=Acos(ωt+φ0)≡

(7)

令t=0，可得

(8)

(9)

將(8)、(9)兩式平方相加，即得

(10)

由于

AiAjcos(φi-φj)=

(11)

因此AiAjcos(φi-φj)對于i,j腳標具有交換對稱性．于是式(10)可如下表達

(12)

因此

(13)

(14)

如下兩種特例情形值得討論：

(1)當n=2時，由式(13)、(14)可自然地得到兩個同頻率、同方向的簡諧振動的合成振幅與初相位公式

(15)

(16)

正好與教材中用旋轉矢量法得到的結果[1,2]．

(2)當n個同頻率、同方向簡諧振動同時還具有相同的初相位，即φ1=φ2=…=φn時，由(13)、(14)兩式可得合成振幅與初相位的正切分別為

A1+A2+…+An

(17)

tanφ0=tanφi，(i=1,2,…,n)

(18)

不失一般性，可取φ0=φi，(i=1,2,…,n)．

4 結論

綜合以上的論述可知，多個同頻率、同方向簡諧振動的合成問題可運用待定參數法十分簡單地加以解決，其所得的合成振幅及位相公式——(13)、(14)兩式具有非常對稱、簡潔的特點，便于記憶．待定參數法的優(yōu)點還在于確定待定參數的方程或方程組具有靈活的選擇性，即可選擇某些特殊的自變量而使待定方程(組)具有盡可能簡單的易于求解的形式．也正因為如此，待定參數法在許多科學研究過程中都得到了廣泛的應用．

1 馬文蔚,周雨青,解希順.物理學.北京：高等教育出版社,2014.16～20

2 沈黃晉,黃慧明,周國全.大學物理學.北京：高等教育出版社, 2017.152～157

3 王志平.初探兩簡諧振動合成后質點的運動情況.物理通報,2011(6):69～70

4 康文秀.同頻率互相垂直簡諧振動的合成.物理與工程，2005,15(6):26～28

5 陳大偉,斯小琴.Mathematica模擬簡諧振動的合成.物理通報,2017,36(4):111～114

6 黃述熙,劉利輝.同向不同頻率不同振幅兩諧振動合成的特點.物理與工程，2002, 12(1):51～52

7 曾謹言.量子力學.北京：科學出版社,1981.415～418

8 章乃森.粒子物理學(上冊).北京：科學出版社,66～67

9 王穎輝,侯建平.同方向同頻率諧振動合成初相位的確定.物理與工程，2010, 20(3):14～16

10 袁明廉.如何確定簡諧振動的初相.物理教學,1985(6): 6～7

11 領先.初相確定淺談.大學物理,1983,1(6):29～32