司萌萌,李志慧,劉成基

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710119)

0 概述

隨著量子信息理論的發(fā)展,量子密碼學(xué)相比經(jīng)典密碼學(xué)越來越體現(xiàn)出更多優(yōu)勢(shì)的同時(shí),也提出了許多挑戰(zhàn)性的課題[1-3],其中量子態(tài)的局域區(qū)分就是量子通信領(lǐng)域一個(gè)基本問題。在局域操作和經(jīng)典通信(Local Operation and Classical Communication,LOCC)的限制下,正交態(tài)并不是總可以精確區(qū)分的[4-6]。一組正交量子態(tài)不一定可局域區(qū)分,是量子非局域性的一個(gè)表現(xiàn)。研究區(qū)域區(qū)分的規(guī)律不僅有利于理解量子非局域性,還可使人們能從新的角度去研究其他的量子信息理論問題[7-9]。兩體正交量子態(tài)的局域區(qū)分方案如下:在許多可能的正交兩體量子態(tài)中選出一個(gè)分發(fā)給Alice和Bob,他們只利用LOCC就可以找出他們共享的是哪一個(gè)態(tài)。文獻(xiàn)[10]構(gòu)造了一組乘積純態(tài),獲得的結(jié)論是來自于不可擴(kuò)張乘積基的成員之間是不能通過LOCC被完全區(qū)分的;文獻(xiàn)[11]證明了任意2個(gè)多體正交純態(tài)可以精確局域區(qū)分,此結(jié)果說明了在LOCC下量子態(tài)的糾纏與否與其精確區(qū)分的關(guān)系不大,也說明了此問題的復(fù)雜性;文獻(xiàn)[12]的結(jié)果是得出了類Holevo上界對(duì)于局部的可訪問的信息來自于一個(gè)兩體系統(tǒng)的量子態(tài)系綜;文獻(xiàn)[13]的結(jié)果表明了幾乎所有來自于N個(gè)d維多體系統(tǒng)的d+1個(gè)正交量子態(tài)集合通過LOCC是不可以完全被區(qū)分的。

近期,文獻(xiàn)[14]提出了一個(gè)利用單向LOCC(one-way LOCC,1-LOCC)來區(qū)分兩體正交態(tài)的框架,并在理論上給出了兩體正交態(tài)的集合通過單向LOCC可區(qū)分性的判定,但文獻(xiàn)[5]并沒有給出區(qū)分兩體正交態(tài)的一般性算法。本文給出基于單向LOCC的一類正交兩體態(tài)區(qū)分算法,并在此算法的基礎(chǔ)上,對(duì)4?4上的廣義正交Bell態(tài)給出其可單向區(qū)分的一個(gè)充分條件,此充分條件可作為一個(gè)快速算法判斷正交態(tài)是否可單向LOCC區(qū)分,最后對(duì)此結(jié)論給予實(shí)例驗(yàn)證。

1 文獻(xiàn)[14]主要結(jié)論回顧

文獻(xiàn)[14]得到了如下結(jié)果:在一個(gè)dA?dB的兩體系統(tǒng)中,其中,dA、dB是子系統(tǒng)A和B的維數(shù),如果第i部分(其中i=A或B)開始一個(gè)單向LOCC協(xié)議以完全區(qū)分一個(gè)正交兩體態(tài)的集合,那么這樣的一個(gè)單向LOCC協(xié)議存在的信息取決于一個(gè)di×di階的Heimitian矩陣組成的子空間是否包含一個(gè)最大交換子空間。根據(jù)這一結(jié)論,對(duì)于dA?dB中的所有正交兩體態(tài)集合,其單向LOCC的可區(qū)分性便可以得到判定[15]。

1.1 密度矩陣的譜分解

(1)

1.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基和復(fù)矩陣

(2)

1.3 主要符號(hào)及說明

1.4 最大交換子空間

定義3如果實(shí)向量空間S中一個(gè)維數(shù)為d的子空間中的任意2個(gè)矩陣都可交換,那么這個(gè)子空間稱作一個(gè)最大交換子空間(Maximally Abelian Subspace,MAS)。

注釋1任意一個(gè)MAS和唯一一組共同的特征向量相對(duì)應(yīng),且這組共同的特征向量可以使得MAS中所有Hermitian矩陣在這組基下對(duì)角化。

1.5 d?d上的廣義正交兩體量子態(tài)

定義4在d?d中,d2維的廣義的正交兩體量子態(tài)可以表示為[6]:

(3)

注釋2設(shè){Ti}d+ti=1是T⊥的一個(gè)MAS。令C是由矩陣{i[Tj,Tk]|1≤j

(Γj)kj=iTr(Gj[Tk,Tl])

2 d?d上的糾纏態(tài)區(qū)分算法

本文主要考慮式(3)中的態(tài)在由Alice開始的單向LOCC可區(qū)分問題。現(xiàn)給出在d?d中,任意N(2≤N≤d2)個(gè)糾纏態(tài)的局域區(qū)分算法。

2.1 糾纏態(tài)區(qū)分算法內(nèi)容

步驟1在d?d上任意選取N(2≤N≤d2)個(gè)糾纏態(tài)。

步驟3計(jì)算dimT⊥,作如下判斷:

1)當(dāng)dimT⊥≤d-1時(shí),該N個(gè)態(tài)不能由Alice開始一個(gè)單向LOCC協(xié)議來區(qū)分,算法終止。

2)當(dāng)dimT⊥=d時(shí),進(jìn)一步檢查:該T⊥是否為一個(gè)MAS。 如果是,則該N個(gè)態(tài)可以由Alice開始一個(gè)單向LOCC協(xié)議來區(qū)分,轉(zhuǎn)入步驟4;否則,算法終止。

3)當(dāng)dimT⊥≥d+1時(shí),進(jìn)一步檢查:如果T⊥包含一個(gè)MAS在S中,那么該N個(gè)態(tài)可以由Alice開始一個(gè)單向LOCC協(xié)議來區(qū)分,轉(zhuǎn)入步驟4;否則,算法終止。

步驟4計(jì)算MAS中非單位矩陣的特征向量。

注釋3若步驟1中的N個(gè)態(tài)可單向LOCC區(qū)分,則以上算法求得的MAS的特征向量便可作為相應(yīng)的投影算子對(duì)所選的糾纏態(tài)進(jìn)行區(qū)分;

步驟3中,由dimT⊥=d2-dimT得到T⊥的維數(shù),基于T⊥的維數(shù)值,可以將這些正交兩體態(tài)分成不同類。

2.2 糾纏態(tài)區(qū)分算法分析

該算法是判斷正交兩體態(tài)是否可單向LOCC的一般性算法,雖與文獻(xiàn)[14]算法性能相似,但卻優(yōu)于原算法,其原因是本文算法適用于任何一組正交兩體態(tài)是否可區(qū)分的判定;其次,該算法將判斷正交態(tài)是否可區(qū)分轉(zhuǎn)化為判斷正交態(tài)組的正交補(bǔ)空間是否包含有一個(gè)MAS,區(qū)分時(shí)只需進(jìn)行一次投影測(cè)量,該算法同時(shí)兼顧了算法復(fù)雜度和算法性能,因此,更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

3 4 ? 4上的糾纏態(tài)快速區(qū)分算法

3.1 算法原理

利用2.1節(jié)算法,對(duì)式(3)中d=4的情況,得到快速判斷糾纏態(tài)單向LOCC課區(qū)分的一個(gè)結(jié)論。

由式(3),當(dāng)d=4時(shí),4?4上廣義的正交兩體態(tài)為:

(4)

令集合:

定理1對(duì)式(4)中的廣義正交兩體態(tài),設(shè)其正交補(bǔ)空間為T⊥,若T⊥?Ui(i=1,2,…,6),則這組正交兩體態(tài)一定可單向LOCC區(qū)分。

考慮集合:

計(jì)算i[Ti,Tj](i,j=1,2,…,5)可得,C是由矩陣G1和G2張成的,其中:

R是由矩陣Ω1和Ω2張成的,其中:

矩陣Ω1和Ω2是秩2的且Supp(Ω1)∩Supp(Ω2)是由(0,0,0,0,1)T張成的。

因此,由引理2,U1包含一個(gè)MAS,又U1?T⊥,因此T⊥包含一個(gè)MAS,從而由引理1可知,對(duì)應(yīng)的這組糾纏態(tài)可單向LOCC區(qū)分。

其他情況可類似證明。

注釋4實(shí)際上,Ui(1,2,…,6)中包含一個(gè)MAS,且涵蓋了了由T可能組成的所有含MAS的集合。因此,一組糾纏態(tài)對(duì)應(yīng)的T⊥若包含其一,該T⊥就包含一個(gè)MAS,這些糾纏態(tài)就一定可單向LOCC區(qū)分。

當(dāng)然,利用2.1節(jié)算法也可以區(qū)分式(4)中的態(tài),但判斷T⊥是否包含一個(gè)MAS有時(shí)是困難的。

3.2 快速算法內(nèi)容

步驟1在4?4上任意選取N(2≤N≤16)個(gè)糾纏態(tài)。

步驟3根據(jù)T⊥作如下判斷:

1)若T⊥滿足定理1,則該N個(gè)態(tài)可以由Alice開始一個(gè)單向LOCC協(xié)議來區(qū)分,轉(zhuǎn)入步驟4。

2)若T⊥不滿足定理1,則該N個(gè)態(tài)不可以由Alice開始一個(gè)單向LOCC協(xié)議來區(qū)分,算法結(jié)束。

步驟4計(jì)算MAS中非單位矩陣的特征向量。

3.3 算法分析

因此本文提出的算法計(jì)算復(fù)雜度較小,給糾纏態(tài)的區(qū)分帶來了方便。

基于以上快速算法(3.2節(jié)),現(xiàn)給出實(shí)例驗(yàn)證。

例2判斷4?4上的一組糾纏態(tài){|ψ01〉,|ψ10〉,|ψ11〉,|ψ23〉}是否可單向LOCC區(qū)分。

因此,T⊥是由:

生成。

符合定理1,因此該4個(gè)態(tài)一定可單向LOCC區(qū)分。

接下來討論如何區(qū)分這組態(tài)。通過計(jì)算[Tj,Tk](j,k=1,2,3,4,5,6,7):

[T1,T2]=0,[T1,T3]=0,[T1,T4]=0

[T1,T5]=0,[T1,T6]=0,[T1,T7]=0

[T2,T3]=0,[T2,T4]=0,[T2,T5]=0

[T2,T6]≠0[T2,T7]≠0

[T3,T4]=0,[T3,T5]≠0,[T3,T6]≠0

[T3,T7]≠0

[T4,T5]≠0,[T4,T6]≠0[T4,T7]≠0

[T5,T6]≠0,[T5,T7]≠0;[T6,T7]=0

故T⊥包含的MAS集合為:

分別記為γ1、γ2、γ3、γ4。

因此:

顯然,{|ψ01〉,|ψ10〉,|ψ11〉,|ψ23〉}可單向LOCC區(qū)分。

4 結(jié)束語(yǔ)

基于文獻(xiàn)[14]利用單向LOCC區(qū)分兩體正交態(tài)的框架,本文提出一類d?d上廣義正交兩體態(tài)基于單向LOCC的區(qū)分算法,并主要研究了4?4上的可分態(tài),得到了一種快速且有效判斷糾纏態(tài)是否可單向LOCC區(qū)分的算法。但對(duì)于dimT⊥=d+t的情況,還有許多與MAS相關(guān)的規(guī)律需要發(fā)現(xiàn),因此,后期將繼續(xù)探索其他維上糾纏態(tài)的區(qū)分規(guī)律,例如量子密碼、量子秘密共享、量子信道的經(jīng)典容量、量子糾纏的魯棒性以及束縛糾纏態(tài)等。

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