王 娜,胡超芳,師五喜

(1.天津工業(yè)大學(xué) a.電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院;b.電工電能新技術(shù)天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300387; 2.天津大學(xué) a.微光機(jī)電系統(tǒng)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;b.電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,天津 300072)

0 概述

pH中和過(guò)程是具有嚴(yán)重非線性和大滯后的復(fù)雜工業(yè)過(guò)程[1-2],獲得性能滿意、能夠反映其本質(zhì)特征的模型是對(duì)其進(jìn)行有效控制的重要前提。通常的解決方案有全局建模策略,包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等,但在處理pH中和這類數(shù)據(jù)分布離散、幅值變化較大的較強(qiáng)非線性對(duì)象時(shí),會(huì)因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的單一性而難以充分逼近其非線性特性,導(dǎo)致模型的擬合精度和泛化能力較差[3]。

為此,基于分解-合成思想的T-S模糊建模方法[3-5],通過(guò)在子空間建立起若干局部線性函數(shù)關(guān)系的組合來(lái)描述全局系統(tǒng),使規(guī)則庫(kù)得以有效約簡(jiǎn),計(jì)算復(fù)雜性大大降低。

T-S模型的構(gòu)建通常采用模糊辨識(shí),即模糊子空間的劃分來(lái)獲取規(guī)則數(shù)、前提參數(shù)和后件參數(shù)。而規(guī)則數(shù)對(duì)應(yīng)著模糊子空間的劃分,一般采用模糊聚類的方法實(shí)現(xiàn)[6-7]。但在實(shí)際應(yīng)用中,模糊聚類的初始參數(shù),即聚類個(gè)數(shù)和聚類中心通常是事先未知的,一般通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或者人為試湊的方式給定,有2類途徑:比較法[3,8]或者融合法[3,9-10]。比較法通常采用若干聚類有效性指標(biāo)的比較確定聚類數(shù),易于受到人為決策的影響;而融合法中不重要聚類的判別和刪減過(guò)程不僅增加了計(jì)算的復(fù)雜性,并且容易導(dǎo)致聚類空間出現(xiàn)空洞,使模型的泛化能力變差[9]。此外,由于聚類過(guò)程中易受到數(shù)據(jù)中噪聲的影響,可能導(dǎo)致生成的聚類個(gè)數(shù)過(guò)少或者出現(xiàn)冗余,也會(huì)直接影響到模糊規(guī)則數(shù)的確定[11]。

為此,本文提出一種基于客觀滿意聚類的pH中和過(guò)程建模方法。首先改進(jìn)原始客觀聚類分析算法[12-14],其具有對(duì)數(shù)據(jù)中噪聲的較強(qiáng)魯棒性,從而克服噪聲對(duì)于聚類結(jié)果,即聚類個(gè)數(shù)和聚類中心的影響,可以直接確定一個(gè)比較適宜的初始規(guī)則數(shù)和初始聚類中心,并將其與Gustafson-Kessel(GK)模糊聚類[15-16]相結(jié)合,利用GK聚類進(jìn)一步優(yōu)化原有的聚類中心及對(duì)應(yīng)的模糊劃分。此外,針對(duì)建模者對(duì)于模型的滿意度,在初始模糊劃分的基礎(chǔ)上,再利用模型的滿意度指標(biāo)進(jìn)行模糊聚類的迭代,以確定滿意的模糊規(guī)則數(shù)和前提參數(shù),使模型結(jié)構(gòu)更加靈活有效,最后再利用穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波算法[5]估計(jì)模型的后件參數(shù),以克服傳統(tǒng)最小二乘算法在求解病態(tài)矩陣時(shí)易導(dǎo)致非數(shù)值解的問(wèn)題,提高計(jì)算的穩(wěn)定性。

1 pH中和過(guò)程描述

從系統(tǒng)建模的角度而言,pH中和過(guò)程是一個(gè)多入多出過(guò)程,輸入量為酸液流量Fa及所含成分濃度Ca,堿液流量Fb及所含成分濃度Cb,輸出量為酸液濃度ωa和堿液的濃度ωb。CSTR的動(dòng)態(tài)模型為:

(1)

(2)

其中,V為反應(yīng)器的容積。

不失一般性,考慮弱酸強(qiáng)堿過(guò)程,其中和滴定方程為:

(3)

其中,wa=[Cl-],wb=[Na+] ,Ka=1.76×10-5為弱酸的電離常數(shù),且pKa=-lgKa。中和滴定曲線如圖1所示,可見(jiàn)pH中和值在中和點(diǎn)附近靈敏度很高,而在遠(yuǎn)離中和點(diǎn)處?kù)`敏度很低。

圖1 弱酸強(qiáng)堿及強(qiáng)酸強(qiáng)堿中和滴定曲線

2 T-S模糊模型

在非線性系統(tǒng)建模中,T-S模糊模型是一種常用的有效模型結(jié)構(gòu),規(guī)則形式如下[5]:

(4)

采用加權(quán)平均法,T-S模型的推理可簡(jiǎn)化如下:

(5)

3 T-S模型前提參數(shù)辨識(shí)

3.1 客觀滿意聚類原理

客觀滿意聚類首先引入原始的客觀聚類算法[12-14]對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),并將其引入Gustafson-Kessel(GK)聚類[15-16]來(lái)提供比較合適的初始聚類個(gè)數(shù)和聚類中心,以此作為原始輸入-輸出數(shù)據(jù)空間的初始模糊劃分,并依據(jù)用戶提供的建模滿意度準(zhǔn)則,進(jìn)行后續(xù)新的聚類個(gè)數(shù)生成和聚類中心的更新,以確定最終的模糊劃分,其原理如圖2所示。

圖2 客觀滿意聚類原理

3.1.1 GK聚類

與傳統(tǒng)模糊聚類算法相比,GK聚類利用自適應(yīng)距離度量取代固定的歐式距離,進(jìn)行類內(nèi)距離的計(jì)算,從而有效克服了模糊C均值算法易受初始值影響而陷入局部極值的缺點(diǎn),因而更加適合模糊辨識(shí)。

給定數(shù)據(jù)集Z,GK通過(guò)求取目標(biāo)函數(shù)J的極小值來(lái)獲取給定聚類個(gè)數(shù)c下的模糊隸屬度矩陣U和對(duì)應(yīng)的聚類中心V:

(6)

其中,d(zj,vi)表示樣本zj與聚類中心vi之間的距離,受實(shí)際的聚類形狀影響,并由聚類協(xié)方差矩陣Fi決定。

(7)

d2(zj,vi)=(zj-vi)TMi(zj-vi)

(8)

(9)

但GK聚類的初始參數(shù),即聚類個(gè)數(shù)c和聚類中心V難以確定,常見(jiàn)有比較[3,8]和融合法[3,9-10]。但在如何確定聚類的初始個(gè)數(shù)上,比較法依賴于聚類有效性指標(biāo)的相互比較,而融合法采用最大聚類個(gè)數(shù)開(kāi)始,依次逐步合并的方式確定最終聚類個(gè)數(shù)。兩者均比較依賴于經(jīng)驗(yàn),或者某些假定的數(shù)據(jù)條件,比如必須滿足高斯正態(tài)分布等。而對(duì)于缺乏先驗(yàn)知識(shí),或者不滿足外在假設(shè)條件的數(shù)據(jù)集則缺少有效的提煉聚類個(gè)數(shù)的方法。并且,還容易受到數(shù)據(jù)中噪聲、數(shù)據(jù)分布等因素的影響,從而給模型前件參數(shù)的確定帶來(lái)較多的不確定性,進(jìn)而導(dǎo)致不準(zhǔn)確的辨識(shí)結(jié)果,影響整個(gè)模型的精度。為此,提出改進(jìn)客觀聚類算法,并與GK聚類相結(jié)合,形成客觀滿意聚類方法,以改善這一狀況。

3.1.2 客觀聚類原理

客觀聚類的基本原理如圖3所示。主要采用相似性數(shù)據(jù)分級(jí)和自組織聚類實(shí)現(xiàn)對(duì)相似數(shù)據(jù)子集的共同聚類和比較,其中相似性數(shù)據(jù)分級(jí)利用兩兩距離最近的數(shù)據(jù)對(duì)排序,以將整個(gè)數(shù)據(jù)集劃分為訓(xùn)練集A、B或者測(cè)試集C、D,即Z={A,B}or{C,D},并分別在這4個(gè)子集上進(jìn)行自組織聚類, 將各自的聚類結(jié)果兩兩比較以決定最終的聚類結(jié)果。

圖3 客觀聚類的基本原理

為克服原有算法的最近鄰聚類效應(yīng),導(dǎo)致難于形成較小聚類,以及原有一致性計(jì)算中出現(xiàn)的多值解問(wèn)題,本文采用改進(jìn)客觀聚類算法[14],即引入相對(duì)不相似性測(cè)度(Relative Dissimilarity Measure,RDM)[17]來(lái)確定待融合的聚類,以降低最近鄰引起聚類過(guò)程的滾雪球問(wèn)題,提高算法的準(zhǔn)確性,并提出改進(jìn)一致性準(zhǔn)則來(lái)克服多值解的收斂問(wèn)題,提高求解的穩(wěn)定性。

與傳統(tǒng)硬聚類相比,改進(jìn)客觀聚類的特點(diǎn)主要為:

1)相似性數(shù)據(jù)分級(jí)

通過(guò)相似性分級(jí),原始的數(shù)據(jù)集Z被重新劃分為2組數(shù)據(jù)子集{A,B}或者{C,D}。相比之下,子集A與B的相似度最高,而C與D亦然。并且,{A,B}的相似度高于{C,D},因此將{A,B}作為內(nèi)部訓(xùn)練集進(jìn)行聚類,來(lái)獲得原始數(shù)據(jù)集Z的一種可能的聚類結(jié)果,而{C,D}作為測(cè)試集來(lái)校驗(yàn){A,B}結(jié)果的準(zhǔn)確性,為最終的聚類結(jié)果的確定提供外部依據(jù),因此,在內(nèi)外2種準(zhǔn)則的共同檢驗(yàn)下,最終聚類結(jié)果的有效性得以保證。

圖4 訓(xùn)練子集A、B的偶極子構(gòu)成

2)啟發(fā)式自組織聚類

不同于傳統(tǒng)的層次聚類,啟發(fā)式自組織聚類利用一種新定義的距離測(cè)度-相對(duì)不相似性測(cè)度(RDM)來(lái)衡量[17]每次聚類中待融合的2個(gè)聚類i和j之間的相似性,并且還考慮了未被合并的聚類k對(duì)于本次聚類合并的影響,對(duì)于數(shù)據(jù)的分布更具有較強(qiáng)魯棒性。

(10)

(11)

改進(jìn)一致性準(zhǔn)則定義如下:

(12)

與原始的一致性準(zhǔn)則相比,改進(jìn)的一致性計(jì)算采用同一位置下不同子集的聚類中心之間的差異來(lái)代替數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的差值,從而降低了數(shù)據(jù)中噪聲點(diǎn)對(duì)一致性計(jì)算的影響,確保了聚類結(jié)果的準(zhǔn)確性。

3.2 基于客觀滿意聚類的T-S模型前提參數(shù)辨識(shí)

4 基于客觀滿意聚類的T-S模糊辨識(shí)

如2.3節(jié)所述,利用所提的客觀滿意聚類算法的聚類結(jié)果可以確定T-S模型的初始結(jié)構(gòu),規(guī)則數(shù)即為聚類個(gè)數(shù),模糊劃分矩陣中的隸屬度元素即為所對(duì)應(yīng)規(guī)則的前提參數(shù),但這一結(jié)果并非模糊模型的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。其主要原因在于聚類算法在使用數(shù)據(jù)建模時(shí),主要利用聚類的相似性原理,以尋找最優(yōu)的聚類為目的,而建模對(duì)象之間的輸入-輸出關(guān)系的某些非線性特性就可能被忽視,造成欠擬合,所以最終的聚類結(jié)果可能并不能滿足建模精度要求。

如圖5所示,在非線性曲線中,曲線l1和l2段的動(dòng)態(tài)特性僅用聚類C1來(lái)表示,l4和l5段僅用聚類C3所覆蓋,顯然建模的擬合精度不足。VS表示非常小,S表示小,M表示中,L表示大,VL表示非常大。為此,在客觀滿意聚類基礎(chǔ)上,引入一種誤差反饋機(jī)制,利用聚類后模型與實(shí)際數(shù)據(jù)輸出之間的最大誤差來(lái)反饋所建模型的擬合效果,并以此為聚類是否繼續(xù)迭代的依據(jù),直至模型與數(shù)據(jù)輸出之間的誤差降低至某一允許的精度范圍內(nèi)終止。在此前提參數(shù)的辨識(shí)基礎(chǔ)上,利用穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波算法[5]估計(jì)規(guī)則的后件參數(shù),完成整個(gè)T-S模糊模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)辨識(shí)。

圖5 模糊聚類劃分的欠擬合

算法步驟歸納如下:

步驟1采用EOCA 算法確定一個(gè)初始聚類結(jié)果{c0,V0},c0為聚類個(gè)數(shù),V0為初始聚類中心集。

5 仿真研究

考慮式(1)～式(3)描述的弱酸強(qiáng)堿中和過(guò)程,給定酸液流量Fa,則系統(tǒng)輸入輸出分別為堿液流量Fb和流出物的pH值。樣本集(Fb,ypH)可通過(guò)機(jī)理模型式(1)～式(3)得到。在Fb中加入[-51.5,+51.5]范圍內(nèi)的變化量,由此產(chǎn)生300組樣本。假設(shè)T-S模型包含2個(gè)輸入量,其表達(dá)式為:

(13)

圖6 一致性準(zhǔn)則與聚類個(gè)數(shù)關(guān)系曲線

給定初始規(guī)則數(shù)n=c=2 ,初始聚類中心Vi,采用GK和穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波法分別辨識(shí)前提參數(shù)和結(jié)論參數(shù)之后,得到第i條規(guī)則Ri為:

(14)

圖7 無(wú)噪聲下實(shí)際系統(tǒng)輸出與模型估計(jì)的誤差曲面

最終產(chǎn)生的5個(gè)聚類中心在整個(gè)數(shù)據(jù)集中的分布如圖8所示。

圖8 無(wú)噪聲下c=5時(shí)的聚類子集與聚類中心分布

由圖8可見(jiàn),整個(gè)數(shù)據(jù)集被均勻劃分為5個(gè)聚類,每個(gè)聚類中心即為模糊規(guī)則的中心,數(shù)據(jù)與聚類中心之間的模糊隸屬度矩陣決定了其前提參數(shù)。以第1個(gè)數(shù)據(jù)為例,其在模糊矩陣中表示為:U_c5(1,:)=[0.03 0.79 0.06 0.09 0.02],以其最大的隸屬度值0.79應(yīng)該歸為第2類,其余數(shù)據(jù)以此類推,形成上述5個(gè)聚類子集{c1,c2,c3,c4,c5},對(duì)應(yīng)聚類中心{v1,v2,v3,v4,v5}。系統(tǒng)輸出與模型輸出的比較曲線如圖9所示。

圖9 無(wú)噪聲下系統(tǒng)實(shí)際輸出與模型輸出的誤差比較曲線

上述結(jié)果為未添加噪聲下的模型,為驗(yàn)證所建模型的魯棒性,對(duì)上述數(shù)據(jù)的輸入和輸出同時(shí)添加信噪比為5 dB的白高斯噪聲,采用同樣方法訓(xùn)練,結(jié)果得到(itaCD=0.003 3)c=2∠(itaAB=1.183 2)c=6,故選取初始聚類個(gè)數(shù)為2。經(jīng)過(guò)GK模糊聚類和迭代,以及穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波后,得到聚類個(gè)數(shù)為4時(shí)MSE為0.64,而聚類個(gè)數(shù)為5時(shí)MSE為0.65,誤差精度變化不大,故確定最終規(guī)則數(shù)為4,MSE為0.64,如圖10所示。

圖10 有噪聲下系統(tǒng)實(shí)際輸出與模型輸出的誤差比較曲線

無(wú)噪聲環(huán)境下,采用上述訓(xùn)練數(shù)據(jù)集,所提方法與其他模糊聚類建模效果比較如表1所示。由表1可見(jiàn),與USOCPN相比,本文方法規(guī)則數(shù)較少,并且訓(xùn)練精度處于同一量綱內(nèi),因此具有更加精簡(jiǎn)的模型結(jié)構(gòu),其結(jié)構(gòu)和參數(shù)辨識(shí)的計(jì)算效率相應(yīng)就得以大大降低。與GK模糊聚類相比,本文方法取規(guī)則數(shù)為5時(shí),其建模精度處于同一量綱范圍內(nèi),但其初始聚類個(gè)數(shù)和初始聚類中心均可由客觀聚類方法直接一次給定,避免了GK模糊聚類中初始聚類參數(shù)難以確定,采用試湊而帶來(lái)的不確定性,更加直接有效。并且,在添加噪聲之后,與GK模糊聚類相比,模型的擬合精度處于同一量級(jí)范圍內(nèi),但卻避免了GK模糊聚類難以確定模糊規(guī)則數(shù)的缺點(diǎn),使得初始結(jié)構(gòu)的確定更加準(zhǔn)確。同時(shí),能夠以較少的規(guī)則數(shù)獲得較為滿意的建模精度。

表1 客觀滿意聚類與其他模糊聚類的建模性能比較

6 結(jié)束語(yǔ)

本文利用客觀模糊聚類辨識(shí)pH中和過(guò)程,提供了一種新型的T-S模糊建模方法。該方法能從系統(tǒng)的實(shí)際輸入輸出數(shù)據(jù)出發(fā),自適應(yīng)地快速確定系統(tǒng)的模糊規(guī)則數(shù)、前提參數(shù)和后件參數(shù)。對(duì)pH過(guò)程的仿真研究驗(yàn)證了所建模型對(duì)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的擬合能力,并且對(duì)于噪聲數(shù)據(jù)的擬合有較強(qiáng)的魯棒性,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn)。

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