廣東省佛山市華英學(xué)校(528000)邱傳林

如何構(gòu)建解題方法,很多學(xué)者給出了自己的見解,如波利亞在文[1]中介紹使用“怎樣解題表”,何小亞在文[2]中強(qiáng)調(diào)“表征問題”的重要性,涂榮豹在文[3]中闡述了解題中的元認(rèn)知思想,等等.這些構(gòu)建方法大多數(shù)是停留在理論上,并舉少數(shù)例子進(jìn)行闡述,沒有針對(duì)數(shù)學(xué)的專題知識(shí),提出具體方法.本文試圖通過剖析“幾何代數(shù)綜合題”這一類專題的元認(rèn)知結(jié)構(gòu),教授學(xué)生如何利用元認(rèn)知知識(shí),根據(jù)題目的設(shè)問,構(gòu)建解題方法,最終解決問題.

元認(rèn)知是“個(gè)人關(guān)于自己的認(rèn)知過程、結(jié)果或與其相關(guān)的知識(shí)”,以及“為完成某一具體的目標(biāo)或任務(wù),對(duì)認(rèn)知過程進(jìn)行主動(dòng)的監(jiān)測(cè)及連續(xù)的調(diào)節(jié)和協(xié)調(diào)”[4].元認(rèn)知包括元認(rèn)知知識(shí),元認(rèn)知體驗(yàn),元認(rèn)知監(jiān)控.在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中,元認(rèn)知知識(shí)包括關(guān)于主體數(shù)學(xué)認(rèn)知特征的知識(shí)和數(shù)學(xué)認(rèn)知材料與認(rèn)知任務(wù)方面的知識(shí).

幾何代數(shù)綜合題經(jīng)常是中考的壓軸題,難度大.學(xué)生在初三的第一輪復(fù)習(xí)后,在知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)上都有良好的基礎(chǔ),而對(duì)幾何代數(shù)綜合題的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理解是模糊的.所以,在進(jìn)行這一個(gè)專題教學(xué)時(shí),首先要解決什么是這類題的元認(rèn)知知識(shí),然后是如何使用這些元認(rèn)知知識(shí),構(gòu)建解題方法.

1 幾何代數(shù)綜合題的元認(rèn)知知識(shí)

幾何代數(shù)綜合題包括幾何知識(shí)和代數(shù)(主要是函數(shù))知識(shí),課本上出現(xiàn)的幾何與代數(shù)的定理和定義,是認(rèn)知特征的知識(shí),屬于這類題的元認(rèn)知知識(shí),包括三角形的相似,全等,直角三角形中的三角函數(shù),平行四邊形相關(guān)知識(shí),一次函數(shù),二次函數(shù)和反比例函數(shù)相關(guān)知識(shí)等等.除此外,下面的結(jié)論是幾何代數(shù)綜合題常用的,是認(rèn)知任務(wù)方面的知識(shí),故作為這類題的元認(rèn)知知識(shí).

結(jié)論1 中點(diǎn)坐標(biāo)公式:在直角坐標(biāo)系中,線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為其中xA,yA分別表示點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),下同.

結(jié)論2 在直角坐標(biāo)系中,線段

特別地,當(dāng)AB//x軸時(shí),AB=|xA?xB|;當(dāng)AB//y軸時(shí),AB=|yA?yB|.

結(jié)論3 在△ABC中,已知邊AB和AC及銳角∠BAC的余弦值,則BC2=AC2+AB2?2AC·AB·cos∠BAC.

結(jié)論4 在直角坐標(biāo)系中,如圖1,點(diǎn)A坐標(biāo)為(xA,yA),點(diǎn)B坐標(biāo)為(xB,yB),直線AB的函數(shù)表達(dá)式為yAB,曲線c的函數(shù)表達(dá)式為yc,點(diǎn)P在曲線c上,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,yc),則△ABP的面積為

圖1

幾何代數(shù)綜合題在解題過程中,經(jīng)常涉及到分類思想,下面總結(jié)一些常用的分類標(biāo)準(zhǔn),作為這一專題的元認(rèn)知知識(shí).

分類1 動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線是折線的,在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處進(jìn)行分類.例如:點(diǎn)P在折線ABC上運(yùn)動(dòng),則可分類為:①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí);②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí).

分類2 已知有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似,根據(jù)相等的角的夾邊不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,分為兩類.例如:在△ABC與△DEF中,∠BAC=∠EDF,且△ABC與△DEF相似,則可分類為:①當(dāng)△ABC∽△DEF時(shí);②當(dāng)△ABC∽△DFE時(shí).

分類3 一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí),按邊的相等關(guān)系分為三類.例如:△ABC是等腰三角形,則可分類為:①當(dāng)AB=BC時(shí);②當(dāng)AB=AC時(shí);③當(dāng)BC=AC時(shí).

分類4 一個(gè)三角形是直角三角形時(shí),按角的大小分為三類.例如:△ABC是直角三角形,則可分類為:①當(dāng)∠ACB=90°時(shí);②當(dāng)∠ABC=90°;③當(dāng)∠BAC=90°時(shí).

分類5 以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,則可分為三類:①存在平行四邊形ABCD時(shí);②存在平行四邊形ABDC時(shí);③存在平行四邊形ACBD時(shí).

2 分析題干元認(rèn)知知識(shí),構(gòu)建解題方法

學(xué)生在學(xué)習(xí)上面的元認(rèn)知知識(shí)是孤立的,片面的,不知道如何使用這些知識(shí),例題示范在教學(xué)中是必要的,也是重點(diǎn).給定一個(gè)幾何代數(shù)綜合題,如何剖析題目,找到相關(guān)的元認(rèn)知知識(shí),并構(gòu)建解題方法,是教學(xué)的難點(diǎn),下面通過例子說明如何構(gòu)建解題方法.

例1(2016·廣東,25(3))如圖2、3,BD是正方形ABCD的對(duì)角線,BC=2,邊BC在其所在的直線上平移,將通過平移得到的線段記為PQ,連接PA、QD,并過點(diǎn)Q作QO⊥BD,垂足為O,連接OA、OP.

(3)在平移變換過程中,設(shè)y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值.

圖2

圖3

分析屬于元認(rèn)知知識(shí)有:正方形ABCD,BP,AP,BQ(根據(jù)圖形,分兩種情形表示),△BOQ是等腰直角三角形,二次函數(shù)的最值;過點(diǎn)O作OE⊥BC,垂足為E.其中PB為已知線段,在△OBQ中,得所以本題的解題思路自然生成.

例2 (2016·青島,24)已知:如圖4,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1 cm/s;同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1 cm/s;當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).連接PO并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF//AC,交BD于點(diǎn)F.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0＜t＜6),解答下列問題:

(1)當(dāng)t為何值時(shí),△AOP是等腰三角形?

(2)設(shè)五邊形OECQF的面積為S(cm2),試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使S五邊形OECQF:S△ACD=9:16?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;

(4)在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使OD平分∠COP?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

圖4

分析屬于題干的元認(rèn)知知識(shí)有:矩形ABCD,AP,PD,DQ,△APO～=△CEO,△PDO～=△EOB,△DFQ∽△DOC等.

(1)在△AOP中,AO與AP是已知的,∠PAO的余弦值也是已知的,由結(jié)論3,可得PO.根據(jù)分類3,△AOP是等腰三角形分三類:①AO=OP;②AO=AP;③OP=AP.根據(jù)線段相等,解方程即可.

(2)屬于元認(rèn)知知識(shí)有△BOE,△BCD,△ODC的面積,通過△DFQ∽△DOC得到△DFQ的面積,用割補(bǔ)法解決問題.

(3)由(2)得到函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)比例列出方程,解方程即可.

(4)OD平分∠POC等價(jià)于點(diǎn)D到∠POC的兩邊OC與OP的距離相等,設(shè)這個(gè)距離為h,則這一個(gè)問題中,屬于元認(rèn)知的有:h,OP表達(dá)式,PD表達(dá)式.根據(jù)等積法,列出方程AB,解方程即可.

例3 (2016·昆明,24(2)(3))如圖5,對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過B(2,0)、C(0,4)兩點(diǎn),拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A.

(2)若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),設(shè)四邊形COBP的面積為S,求S的最大值;

(3)若M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),在x軸是否存在這樣的點(diǎn)Q,使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

圖5

分析屬于題干元認(rèn)知知識(shí)的有:拋物線方程,△OBC,A、B、C點(diǎn)坐標(biāo),直線BC方程等.

(2)S四邊形COBP=S△OBC+S△PBC,△OBC的面積是已知的,根據(jù)結(jié)論4,可求得△PBC的面積,問題解決.

(3)顯然,點(diǎn)Q在射線BO上,∠OBC=∠QBM,根據(jù)分類2,Rt△OBC與Rt△MQB相似且有兩種情況:①△OBC∽△MQB,②△OBC∽△QMB.設(shè)BQ=a,根據(jù)相似性質(zhì),可以得到BM,QM的長(zhǎng),從而進(jìn)一步得到OM,CM的長(zhǎng).由相似的性質(zhì),得到∠CMQ≥90°,故△MQC為等腰三角形等價(jià)于CM=MQ,解這個(gè)方程即可.

3 結(jié)束語

數(shù)學(xué)解題是一個(gè)復(fù)雜的心理過程,元認(rèn)知理論的應(yīng)用,可以在備考教學(xué)時(shí),有助于學(xué)生掌握解題策略,構(gòu)建解題方法,從而避免題海戰(zhàn)術(shù),提高學(xué)生的思維水平和教學(xué)質(zhì)量.

[1]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇譯.北京:科學(xué)出版社,1982.

[2]何小亞.解決數(shù)學(xué)問題的心理過程分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004,13(3):34-36.

[3]涂榮豹.數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2002,11(4):6-11.

[4]Flavell J H.Cognitive Development:Children’s Knowledge about the Mind[J].Annual Review of Psychology,1999,50(1):21?44.