廣東省廣州市東圃中學(510700)彭紅亮

《考試大綱》中認為“推理論證能力是根據(jù)已知的事實和已獲得的正確數(shù)學命題,論證某一數(shù)學命題真實性的初步的推理能力”.解決立體幾何問題有助于培養(yǎng)學生的推理論證能力.學習立體幾何時,教師可設(shè)計系列問題鏈作為“腳手架”,讓學生在循序漸進的過程中培養(yǎng)推理論證能力.

一、運用問題鏈幫助學生理解立體幾何的定理(或公理)的本質(zhì)

立體幾何公理、定理是證明的基本工具.不懂原理,不懂本質(zhì),是不可能靈活應(yīng)用解決立體幾何證明題的.因此,教學時不能直接拋出定理,讓學生死記硬背之后硬套,而是應(yīng)該設(shè)計問題鏈,讓學生在思考、探究的過程中體會定理的產(chǎn)生過程,學會通過觀察、探究、猜想、歸納等過程獲得定理,再理解定理的內(nèi)在涵義,掌握定理的表述方式,并提煉應(yīng)用定理解決問題的具體操作步驟,幫助學生理解和應(yīng)用.

案例1 線面平行的判定定理

學習線面平行的判定定理時,可以拋出幾個生活現(xiàn)象,讓學生依據(jù)表1中的問題鏈思考這些生活現(xiàn)象中的數(shù)學本質(zhì)是什么.然后幫助學生建立圖形、文字、符號之間的關(guān)聯(lián),便于相互轉(zhuǎn)換和表述交流.最后,通過理解,提煉解題模式,便于操作和記憶.具體如下(見表1):

表1“線面平行的判定定理”的學習“問題鏈”

二、運用問題鏈幫助學生掌握立體幾何中的基本圖形

所謂基本圖形,就是指幾何概念、定理、公式、方法等所對應(yīng)的圖形,其他幾何圖形都可以用基本圖形進行構(gòu)造.長方體、正四面體、正三棱柱等都是基本圖形,一些不規(guī)則圖形通常都是由這些基本圖形組合而成的.把不規(guī)則圖形分解成幾個基本圖形的組合,就能新問題簡化、程序化,從而找到解決方案.

案例2 三棱錐

三棱錐是很常見的幾何圖形,一些特殊的三棱錐具有特殊的性質(zhì)值得探究.

問題1 已知三棱錐A?BCD(圖1①),用平行于三棱錐A?BCD的一組對棱AC和BD的平面截此三棱錐,得到一四邊形MNPQ,求證:四邊形MNPQ是平行四邊形.

問題2 若三棱錐A?BCD中AC=BD,能截得菱形嗎?為什么?

問題3 三棱錐A?BCD在什么情況下,可以截得一個矩形?為什么?

問題4 若三棱錐A?BCD中AB=BC,AD=DC,則AC與BD的位置關(guān)系是什么?為什么?

問題5 若三棱錐A?BCD中AB=BC,AD=DC,Q、P、G分別是AD、DC、CA的中點,求證:平面BPQ⊥平面BDG.

圖1

問題1中對任意三棱錐都結(jié)論成立,因為MN平行且等于PQ得證.

問題2中加了條件AC=BD后探究是否能得到菱形,由于從而推出此時截面是菱形.

問題3是在問題1的基礎(chǔ)上探究三棱錐要滿足什么條件才能保證平行四邊形MNPQ鄰邊垂直.探究后發(fā)現(xiàn)當AC⊥BD時,結(jié)合MQ//BD,MN//AC可證明MQ⊥MN,最終判斷可以截得矩形.

問題4中AB=BC,AD=DC,此時在AC上取中點G,連接BG、DG,易證BG⊥AC,DG⊥AC,從而AC⊥面BDG,可得AC⊥BD(圖1②).

問題5在問題4的基礎(chǔ)上,有AC⊥BD,結(jié)合AC//PQ可得PQ⊥BD.又因為等腰三角形ACD中DG⊥AC,從而有DG⊥PQ,于是證明PQ⊥面BDG,最后推出平面BPQ⊥平面BDG(圖1③).

這個問題鏈研究了對棱互相垂直的三棱錐、對棱相等的三棱錐、兩組鄰邊相等的三棱錐等特殊三棱錐的特征,提供了在三棱錐中證明平行、垂直的背景和圖式,同時也讓學生深入認識三棱錐.

三、運用問題鏈幫助學生提煉立體幾何解題模式

我們遇到的問題總是千變?nèi)f化,如果能從中找出一些經(jīng)典高效的解題模式,就能提高解題能力.

案例3 鱉臑

鱉臑就是一個基本圖形,該圖形中互相垂直的線段有:PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC、BC⊥AC、PC⊥BC;互相垂直的線面有:PA⊥面ABC、BC⊥面PAC;互相垂直的平面有:面PAC⊥面ABC、面PAB⊥面ABC、面PAC⊥面PBC.可見,鱉臑?zāi)依丝臻g中所有的垂直關(guān)系.運用這些關(guān)系,就能用三垂線法找到二面角的平面角.因此,在研究垂直問題或求二面角的問題時,教師要引導學生在新圖形中找出鱉臑,從而快速找到解題方向.

問題1 如圖2①,已知AP⊥面ABC,AC⊥BC,求證:面PAC⊥面PBC.

問題2 如圖2②,已知AB為⊙O的直徑,C是⊙O上異于A、B的點,PA⊥面ABC,求證:平面PAC⊥平面PBC.

問題3 如圖2③,線段AB為⊙O的直徑,點C是⊙O上異于A、B的一點,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F,E是線段PB上異于端點的一點.求證:平面AEF⊥平面PBC.

圖2

首先通過問題1讓學生熟悉如何在鱉臑這個圖形中,運用線面垂直和線線垂直推出面面垂直,從而得到基本解題模式.然后通過問題2和問題3讓學生在圖形、條件變化后仍然能找出鱉臑,從而能再次運用基本解題模式.在問題2中,條件“AB為⊙O的直徑,C是⊙O上異于A、B的點”也就是問題1中的“AC⊥BC”,只是Rt△ABC的直角位置變了.還有,條件“PA⊥面ABC”和結(jié)論“平面PAC⊥平面PBC”都一樣,所以這個題目中的三棱錐P?ABC也是鱉臑.可見除了圖形變復(fù)雜之外,條件和結(jié)論基本上一致.因此,推理思路和證明方法一樣.問題3的條件“線段AB為⊙O的直徑,點C是⊙O上異于A、B的一點,PA⊥平面ABC”和變式1一樣,也就是說三棱錐P?ABC是鱉臑.但是這個題目多了條件“AF⊥PC于F,E是線段PB上異于端點的一點”,因此圖形比變式1多了△AEF.根據(jù)條件,再觀察圖形,發(fā)現(xiàn)三棱錐P?AEF也是鱉臑.類似于問題1的方法可以證明該結(jié)論.

這組問題鏈說明:遇到一個復(fù)雜的問題時,要仔細研讀條件,認真觀察圖形,從中找到基本圖形模型和基本解題模式,并運用它們來解決問題.也就是說,立體幾何中有關(guān)垂直問題的定理及其應(yīng)用、二面角的相關(guān)知識可以用鱉臑這個基本圖形來進行編碼,建立了一個關(guān)于此類知識的概念圖式,并作為解題模式幫助學生尋得垂直關(guān)系或二面角的平面角.這個概念圖式包含了極其豐富的信息和非常直觀的幾何表象,有利于學習者進行存儲,而且經(jīng)久難忘.

隨著對“鱉臑”這個空間圖形的敏銳度的提升,學生會更加迅捷地找到證明垂直關(guān)系的思路.因此,在幾何教學中必須充分重視基本圖形的結(jié)構(gòu)分析以及它們的組合和應(yīng)用.這樣就能把一個復(fù)雜的題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會做的解題模型從而得解.

總之,推理論證能力架構(gòu)在豐富的思維方式上,包括歸納、類比、邏輯分析、建模、系統(tǒng)化、最優(yōu)化等,是一個系統(tǒng)的動態(tài)發(fā)展過程.教學中應(yīng)關(guān)注學生的基礎(chǔ)和需求,運用問題鏈引導學生逐步理解基礎(chǔ)知識的本質(zhì),掌握基本圖形中隱含的特征,提煉解題模式并學會靈活運用,提升推理論證能力.