葉梅燕 石志新 羅玉峰 楊廷力

(1.南昌大學(xué)機電工程學(xué)院， 南昌 330031； 2.南昌大學(xué)理學(xué)院， 南昌 330031； 3.中國金陵石化公司， 南京 210037)

0 引言

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析與綜合是機構(gòu)學(xué)的核心問題之一。對于平面機構(gòu)而言，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)自動分析與綜合方法，國內(nèi)外學(xué)者已作了大量研究[1-5]。然而，空間機構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析與綜合方法大多局限于理論研究，主要采用手工枚舉方式，效率較低，而且難以得到完備結(jié)果。為減少相關(guān)技術(shù)人員的工作量，與現(xiàn)代計算機技術(shù)相結(jié)合，研究機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)自動分析與綜合理論和方法，并開發(fā)相應(yīng)的計算機輔助設(shè)計軟件，是一項具有重要理論和應(yīng)用價值的課題。

機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析與綜合主要存在如下3種方法：基于螺旋理論的方法[6-8]、基于位移子群的方法[9-10]、基于方位特征集的方法[11-16]。其中，位移子群方法由于運算規(guī)則過多(達(dá)107種)，不利于編程實現(xiàn)，目前尚無基于該理論的自動分析與綜合方法的文獻(xiàn)報道。曹文熬[17]基于螺旋理論研究了空間多環(huán)耦合機構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)自動分析與綜合方法，但約束螺旋具有瞬時性，因此需要進(jìn)行全周性(非瞬時性)判定[18]。廖明等[19-20]基于方位特征集理論研究了并聯(lián)機構(gòu)的符號化描述，并提出了方位特征集的自動推導(dǎo)方法，但未能給出相應(yīng)的算法流程。

本文擬將機器人機構(gòu)學(xué)理論與現(xiàn)代計算機技術(shù)相結(jié)合，提出機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的數(shù)字建模方法，然后基于該數(shù)字模型，研究方位特征集的有關(guān)運算規(guī)則，進(jìn)而給出相應(yīng)的自動生成算法和流程，最后結(jié)合具體實例對該方法的有效性進(jìn)行驗證。

1 機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的數(shù)字建模方法

對拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征的數(shù)學(xué)描述(數(shù)字建模)是機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)自動分析與綜合程序化實現(xiàn)的前提和關(guān)鍵。理想的數(shù)字模型應(yīng)具有下述優(yōu)點：①能夠準(zhǔn)確、完整表達(dá)機器人機構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。②便于計算機存儲、檢索、計算等操作。

1.1 機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的數(shù)字描述

機器人機構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)包括如下3要素：①運動副類型，如轉(zhuǎn)動副、移動副、圓柱副、球副、胡克鉸等。②尺度約束類型，即構(gòu)件為其所連接的運動副軸線之間的相對位置和方向提供幾何約束類型，按方位關(guān)系可歸納為：平行、垂直、共點、共面以及其他等。③各支鏈在動靜平臺之間的方位配置關(guān)系。

下面給出上述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)3要素的描述方法以及它們在計算機中的數(shù)據(jù)存儲結(jié)構(gòu)。

機器人機構(gòu)的運動副類型較多，可采運動副等效替換的方法將它們簡化為只含轉(zhuǎn)動副和移動副2種。例如，球副等效為3個軸線匯交于1點的轉(zhuǎn)動副，胡克鉸等效為2個軸線垂直正交的轉(zhuǎn)動副，圓柱副等效為共軸的轉(zhuǎn)動副和移動副。因此，運動副類型可采用字符串(由R和P組成)的形式進(jìn)行記錄。

尺度約束類型和各支鏈在動靜平臺之間的方位配置關(guān)系按如下規(guī)則進(jìn)行記錄：若兩運動副軸線保持平行記為1；軸線垂直記為2；軸線相交記為3；軸線共面記為4；其他恒定關(guān)系記為5；若兩運動副軸線方位關(guān)系不恒定則記為6。

各運動副兩兩之間的方位關(guān)系用鄰接矩陣C來表示。各支鏈在靜、動平臺間的裝配關(guān)系分別用矩陣J1和J2表示。若多個(3個以上)運動副軸線保持恒定的關(guān)系，則用字符串做輔助說明。例如，多個運動副的軸線匯交于1點記為(R1, R2,…,Ri)=3; 多個運動副軸線平行于同一平面記為(R1, R2,…,Ri)=4。有關(guān)符號說明詳見例1。

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)3要素采用圖1所示的樹型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示，便于計算機存儲和操作。

圖1 并聯(lián)機構(gòu)的樹模型Fig.1 Tree model of parallel mechanisms

如圖1所示，Pij和Rij表示并聯(lián)機器人的第i條支鏈上第j個運動副的類型；Ci表示第i條支鏈中運動副軸線的方位關(guān)系矩陣；Li中存儲第i條支鏈的方位特征集；J中存儲各支鏈在動靜平臺之間的方位配置關(guān)系；M中存儲動平臺的方位特征集。樹中的葉子作為并聯(lián)機器機構(gòu)方位特征集自動生成算法的輸入，樹的根節(jié)點作為輸出，每一條支鏈?zhǔn)且粋€子樹。

圖2 并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖(例1)Fig.2 Structure diagram of parallel mechanism(example 1)

1.2 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)字模型實例

已知并聯(lián)機構(gòu)(圖2)的4條支鏈結(jié)構(gòu)均相同，各運動副軸線方位關(guān)系為：Ri1‖Ri2‖Ri3⊥Ri4且Ri4與Ri5共點，其中i=1,2,3,4。4條支鏈在靜平臺上的運動副軸線共面，4條支鏈在動平臺上的運動副軸線匯交于1點。

利用上述數(shù)字建模方法，該機構(gòu)可描述為：①每條支鏈運動副類型為Ri1Ri2Ri3Ri4Ri5，且運動副兩兩之間的方位關(guān)系為

Ri1Ri2Ri3Ri4Ri5

②各支鏈在靜平臺裝配關(guān)系為

R11R21R31R41

(1)

且(R11,R21,R31,R41)=4。

③各支鏈在動平臺裝配關(guān)系為

R15R25R35R45

(2)

且(R14,R15,R24,R25,R34,R35,R44,R45)=3。

2 串聯(lián)機構(gòu)的方位特征集

2.1 方位特征集的內(nèi)涵

為了準(zhǔn)確描述機器人執(zhí)行構(gòu)件的運動輸出特性，YANG等[12]首次提出方位特征集的概念，其表達(dá)式為

(3)

式中M——機構(gòu)方位特征集r、t——轉(zhuǎn)動和移動S、T——轉(zhuǎn)動位移空間和移動位移空間p、q——對應(yīng)位移空間的維數(shù)

位移空間為3維實向量空間的子空間,通常用它的一組生成基來表示，具體表示方法為：①由于1維位移空間是由1個向量生成，故其基向量可表示為{l}。②由于2維位移空間是由2個線性無關(guān)的向量生成的平面，故其基可由該平面的法向量n表示為{⊥n}。③由于0維位移空間(記為Φ)不存在有限位移，而3維位移空間的位移方向為任意，故無需記錄它們的基。

由式(3)可發(fā)現(xiàn)：分析方位特征集，本質(zhì)上是確定位移空間的基的問題。

2.2 串聯(lián)機器人方位特征集自動生成算法

由于串聯(lián)機構(gòu)是由若干個運動副依次串聯(lián)而成，因此串聯(lián)機構(gòu)方位特征集是各運動副運動輸出空間的并集，即可表示為

(4)

式中Ms——串聯(lián)機構(gòu)的方位特征集Mi——第i個運動副的輸出位移空間

值得注意的是：①移動副僅產(chǎn)生平移運動，因此它的運動輸出為沿其軸線方向的平移。②轉(zhuǎn)動副不僅能產(chǎn)生繞其軸線的運動，而且可衍生出垂直于軸線方向的平移運動，即其運動輸出具有二重性?？砂慈缦乱?guī)則選?。簝?yōu)先取旋轉(zhuǎn)運動作為運動輸出；若已有運動副產(chǎn)生了該方向旋轉(zhuǎn)，則取其衍生平移作為運動輸出。

現(xiàn)給出串聯(lián)機構(gòu)方位特征集自動分析算法，其主要步驟如下：

(1)輸入。輸入運動副數(shù)目n，運動副類型(字符串)，運動副軸線方向關(guān)系矩陣C，并且將轉(zhuǎn)動空間和移動空間的基賦初值，即S=Φ，T=Φ。

(2)運動副輸出特性的選擇及位移空間的更新。①當(dāng)?shù)趈運動副為移動副Pj時，判斷其滑軌方向向量Pj能否由移動位移空間的基線性表示。若否，則將Pj納入T，即T=T∪t1(‖Pj)，轉(zhuǎn)動位移空間不變，即S=S；若是，則移動副為冗余運動副，此時S和T均不變。②當(dāng)?shù)趈運動副為轉(zhuǎn)動副Rj時，優(yōu)先選擇繞其軸線的旋轉(zhuǎn)運動r1(‖Rj)作為輸出，判斷Rj能否由S的基線性表示。若否，則將Rj納入S，即S=S∪r1(‖Rj)，T保持不變；若是，則考慮衍生平移運動t1(⊥Rj)作為輸出，再判斷該衍生平移運動能否由T的基線性表示。若否，則更新T，即T=T∪t1(⊥Rj)，S保持不變；若是，則轉(zhuǎn)動副冗余，此時S和T均不變。

(3)循環(huán)。從j=1開始，重復(fù)(2)，直到j(luò)=n終止。

(4)結(jié)束。輸出S和T，得到M。

上述步驟中最關(guān)鍵的問題是，如何利用方位關(guān)系矩陣判斷運動副輸出向量能否由位移空間的基線性表示。各種情況下的判斷規(guī)則如表1～3所示，其中cij為關(guān)系矩陣C中第i行第j列對應(yīng)的元素。

2.3 實例分析(例2)

已知串聯(lián)機構(gòu)1(圖3a)的運動副軸線方位關(guān)系為：R1‖P2‖R3‖R4。利用上述算法，分析該機器人機構(gòu)的方位特征集。

表1 轉(zhuǎn)動輸出對應(yīng)的線性表示規(guī)則Tab.1 Rules of linear representation for rotation output

表2 移動輸出對應(yīng)的線性表示規(guī)則Tab.2 Rules of linear representation for translation output

表3 轉(zhuǎn)動副衍生輸出對應(yīng)的線性表示規(guī)則Tab.3 Rules of linear representation for derivative rotation output

圖3 3種串聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖Fig.3 Structure diagrams of three kinds of serial mechanisms

(1)輸入

運動副數(shù)目n=4；運動副類型為R1P2R3R4；方位關(guān)系矩陣C為

R1P2R3R4

且賦初值：S=Φ，T=Φ。

(2)方位特征集的更新

當(dāng)j=1時，R1為轉(zhuǎn)動副，S的基為r0，故R1不能被S的基線性表示(表1)，因此S被更新為r1(‖R1)，T保持不變。

當(dāng)j=2時，P2為移動副，T的基為t0，P2不能被T的基線性表示(表2)，故T被更新為t1(‖P2)，S保持不變。

當(dāng)j=3時，R3為轉(zhuǎn)動副，S的基為{‖R1}，由于c13=1(即R1‖R3)，故R3能被S的基線性表示(表1)，因此S不變。再考慮運動副R3的衍生移動t1(⊥R3)，此時T的基為{‖P2}，該衍生移動必不能被T的基線性表示(表3)，故T被更新為t2(‖P2,⊥R3)，S保持不變。

當(dāng)j=4時，R4為轉(zhuǎn)動副，S的基為{‖R1}，由于c14=1(即R1‖R4)，故R4能被S的基線性表示，因此S不變。再考慮R4的衍生移動t1(⊥R4)，此時T為(‖P2,⊥R3)，c23=1，c34=1，故不滿足表3中線性表示條件c34=1，c23=2，因此該衍生移動不能被T的基線性表示，故T更新為t3，S不變。

(3)結(jié)束

該機構(gòu)方位特征集為

(5)

同理，圖3b和圖3c所示串聯(lián)機構(gòu)的方位特征集分別為

(6)

(7)

3 并聯(lián)機構(gòu)的方位特征集

3.1 并聯(lián)機構(gòu)方位特征集自動生成算法

由于動平臺是在各支鏈共同作用下進(jìn)行運動，因此并聯(lián)機器人機構(gòu)的方位特征集Mpa是各支鏈方位特征集的交集，即可表示為

(8)

式中m——支鏈數(shù)目Mj——第j條支路末端構(gòu)件的方位特征集Sj、Tj——支鏈方位特征集Mj中的轉(zhuǎn)動位移空間和移動位移空間

pj、qj——維數(shù)

由式(8)可發(fā)現(xiàn)：分析并聯(lián)機構(gòu)方位特征集，本質(zhì)上是尋找各支鏈位移空間中公共基的問題。

考慮到求交集運算滿足交換律和結(jié)合律，為了提高計算效率，特將式(8)按位移空間的維數(shù)進(jìn)行分類求交，即

(9)

其中

式中Vi——i維位移空間的交集mi——組成并聯(lián)機構(gòu)的m條支鏈中位移空間維數(shù)為i的支鏈數(shù)目

l——1維位移空間的基向量

n——2維位移空間基向量生成平面法向量

考慮mi的全部可能取值(共5種)，式(9)對應(yīng)的求交集運算規(guī)則和結(jié)果如表4所示。

表4 位移空間求交集運算規(guī)則Tab.4 Operation rules of intersection of displacement spaces

注：①表中◇表示n1,n2,…,nm生成的平面。②表中的幾何條件可根據(jù)支鏈在動靜平臺間的配置關(guān)系查詢得到。③表中僅列出移動空間求交運算規(guī)則，轉(zhuǎn)動空間求交與其類似。

利用以上規(guī)則，根據(jù)支鏈在動靜平臺間的配置關(guān)系，可得并聯(lián)機構(gòu)方位特征集自動生成算法，其主要步驟如下：

(1)輸入。輸入支鏈數(shù)目m，各支鏈方位特征集Mj(已由串聯(lián)機構(gòu)方位特征集自動分析算法獲得)，各支鏈在動靜平臺間的配置關(guān)系矩陣J。

(2)分類。將m條支鏈的位移空間按維數(shù)進(jìn)行分類。

(3)求交運算。根據(jù)mi的取值情況和裝配關(guān)系矩陣，利用求交運算規(guī)則(表4)得到位移空間。

(4)結(jié)束。輸出并聯(lián)機器人機構(gòu)的方位特征集。

3.2 實例分析(例3)

利用上述算法，分析圖2所示并聯(lián)機器人機構(gòu)的方位特征集。

(1)輸入

支鏈數(shù)目m=4，由式(6)可知4條支鏈的方位特征集為

各條支鏈在靜、動平臺間的方位配置關(guān)系分別為：J1(式(1))且(R11,R21,R31,R41)=4和J2(式(2))且(R14,R15,R24,R25,R34,R35,R44,R45)=3。

(2)分類

4條支鏈的轉(zhuǎn)動位移空間均為3維空間，因此m3=m；4條支鏈的移動位移空間均為2維空間，因此m2=m。

(3)求交運算

對于轉(zhuǎn)動空間而言，由于m3=m，由表1可知，轉(zhuǎn)動空間S=r3；對于移動空間而言，由于m2=m且(R11,R21,R31,R41)=4(即R11、R21、R31、R41共面)，由表4可知，移動空間T=t1(⊥◇)。

(4)結(jié)束

輸出并聯(lián)機器人機構(gòu)的方位特征集

值得注意的是，若R11、R21、R31、R41相互平行，則該機構(gòu)為三轉(zhuǎn)動二平移并聯(lián)機構(gòu)；若R11、R21、R31、R41不共面，則該機構(gòu)為三轉(zhuǎn)動零平移并聯(lián)機構(gòu)。

利用上述算法，分析圖4所示并聯(lián)機器人機構(gòu)的方位特征集。

圖4 并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖(例4)Fig.4 Structure diagram of parallel mechanism

(1)輸入

支鏈數(shù)目m=4，由式(5)可知，4條支鏈的方位特征集為

各條支鏈在靜平臺間的方位配置關(guān)系為

R11R21R31R41

各條支鏈在動平臺間的方位配置關(guān)系為

R14R24R34R44

(2)分類

4條支鏈的轉(zhuǎn)動位移空間均為1維空間，因此m1=m；4條支鏈的移動位移空間均為3維空間，因此m3=m。

(3)求交運算

對轉(zhuǎn)動空間而言，由于m1=m且R11、R21、R31、R41相互平行(由J1可知)，由表1可知，轉(zhuǎn)動空間S=r1(‖R11)；對移動空間而言，由于m3=m，由表4可知，移動空間T=t3。

(4)結(jié)束

輸出并聯(lián)機器人機構(gòu)的方位特征集

值得注意的是，若R11、R21、R31、R41不全部相互平行，則該機構(gòu)為零轉(zhuǎn)動三平移并聯(lián)機構(gòu)。

利用上述算法，分析并聯(lián)機器人機構(gòu)(圖5)的方位特征集，可以發(fā)現(xiàn)：

(1)若P11與R21、R31、R41均垂直，則該機構(gòu)為三

轉(zhuǎn)動一平移機構(gòu)，且方位特征集為

(2)若P11與R21、R31、R41不都垂直，則該機構(gòu)為三轉(zhuǎn)動零平移機構(gòu)，且方位特征集為

圖5 并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖(例5)Fig.5 Structure diagram of parallel mechanism

4 應(yīng)用

值得注意的是，機構(gòu)分析與綜合是可以互相滲透和轉(zhuǎn)換的。因此本文提出的數(shù)字建模和自動分析方法可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)類型自動綜合。理論上，將拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)3要素的各種排列組合情況進(jìn)行窮舉，然后利用本文提出的數(shù)字建模方法和自動生成算法對其進(jìn)行逐一分析，即可篩選出滿足預(yù)定功能要求的結(jié)構(gòu)類型集，從而完成機構(gòu)結(jié)構(gòu)類型綜合。

5 結(jié)論

(1)提出的鄰接矩陣與字符串相結(jié)合的描述方法可以準(zhǔn)確、完整地描述機器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，且便于計算機存儲、檢索。

(2)分析串聯(lián)機構(gòu)方位特征集，本質(zhì)上是確定各運動副運動輸出生成的位移空間的基的問題；分析并聯(lián)機構(gòu)方位特征集，本質(zhì)上是尋找各支鏈位移空間中公共基的問題。

(3)在分析并聯(lián)機構(gòu)方位特征集的過程中，將各條支鏈的位移空間按維數(shù)進(jìn)行分類求交集，可大幅提高計算效率。

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19 廖明，劉安心，沈惠平，等. 面向計算機輔助分析的并聯(lián)機構(gòu)符號描述方法[J/OL]. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2015，46(7):310-317.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?flag=1&file_no=20150744&journal_id=jcsam. DOI：10.6041/j.issn.1000-1298.2015.07.044. LIAO Ming，LIU Anxin，SHEN Huiping, et al. Symbolic description of parallel mechanism for automatic derivation[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2015, 46(7): 310-317. (in Chinese)

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