蔣蘭青

( 閩江師范高等?？茖W(xué)校初等教育系，福州 350108)

引 言

隨著對(duì)保險(xiǎn)破產(chǎn)概率研究的成熟和完善，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始關(guān)注再保險(xiǎn)對(duì)破產(chǎn)概率的影響，以及再保險(xiǎn)設(shè)計(jì)如何達(dá)到最優(yōu)，從而為原保險(xiǎn)公司分散風(fēng)險(xiǎn)，擴(kuò)大承保能力。已有不少文獻(xiàn)研究過(guò)單一的成數(shù)或超額賠款再保險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率，或者進(jìn)一步討論模型的最優(yōu)自留額。王旭在文獻(xiàn)［1］中討論了離散時(shí)間比例再保險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率，文獻(xiàn)［2-3］均利用最小化破產(chǎn)概率討論了最優(yōu)的比例再保險(xiǎn)問(wèn)題，文獻(xiàn)［4-7］利用期望效用函數(shù)最大化研究了最優(yōu)化比例或超額損失再保險(xiǎn)策略。而早在2002 年，Centeno M L 就在文獻(xiàn)［8］中研究了成數(shù)超額賠款混合再保險(xiǎn)模型，其中成數(shù)再保險(xiǎn)保費(fèi)按原始條款計(jì)算，而超額賠款再保費(fèi)則依據(jù)期望值原則計(jì)算，并且假設(shè)理賠過(guò)程是一個(gè)復(fù)合Poisson 過(guò)程。李興玉等在文獻(xiàn)［9］中以經(jīng)典破產(chǎn)理論為基礎(chǔ)，將比例再保險(xiǎn)和超額賠款再保險(xiǎn)納入考量，構(gòu)造與風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度有關(guān)的投資函數(shù)，再根據(jù)鞅方法得到與投資謹(jǐn)慎性有關(guān)的破產(chǎn)概率。

受前人的啟發(fā)，本文建立成數(shù)和超額損失混合雙險(xiǎn)種再保險(xiǎn)模型，并考慮兩險(xiǎn)種的理賠之間不是獨(dú)立的，將Centeno M L 在文獻(xiàn)［10］中的某種相依關(guān)系引入到模型中，建立了一類更符合實(shí)際的再保險(xiǎn)模型。其次，考慮到原保險(xiǎn)人利用再保險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁風(fēng)險(xiǎn)必然會(huì)減少其原有的期望收益，但是一個(gè)合理的再保險(xiǎn)又可以通過(guò)增加安全性來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)，綜合這兩方面因素，保險(xiǎn)人必須通過(guò)權(quán)衡收益和風(fēng)險(xiǎn)來(lái)得到最優(yōu)策略。文獻(xiàn)［11-14］均從不同角度研究了均值-方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題。文獻(xiàn)［11］將保險(xiǎn)公司比例再保險(xiǎn)的收益和風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)線性組合的方式，轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的最優(yōu)決策模型，通過(guò)確定分出比例來(lái)使再保險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)效用達(dá)到最大。根據(jù)該思想，最優(yōu)再保險(xiǎn)的決策問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為再保險(xiǎn)中相應(yīng)參數(shù)的選取問(wèn)題。本文運(yùn)用均值-方差原理，即通過(guò)將總體風(fēng)險(xiǎn)最小和期望收益最大的雙目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題，得到了模型的相應(yīng)參數(shù)，從而選取最優(yōu)自留額。

1 預(yù)備知識(shí)與模型建立

定義1［15］計(jì)數(shù)過(guò)程{N( t) ，t ≥0} 稱為參數(shù)為λ( λ ＞0) 的齊次Poisson 過(guò)程，如果:

(1) N(0) = 0;

(2) 過(guò)程有獨(dú)立增量;

(3) 對(duì)任意的s，t ≥0;

定理1［16］關(guān)于齊次Poisson 過(guò)程的可加性。設(shè)M ={Mt，t ≥0} 和N = {Nt，t ≥0} 是強(qiáng)度分別為λ1和λ2的齊次Poisson 過(guò)程，并且兩個(gè)過(guò)程相互獨(dú)立，對(duì)于每一個(gè)ω ∈Ω 和任意的t ≥0，令:

Kt( ω) = Mt( ω) + Nt( ω)

則上式定義的過(guò)程K = {Kt，t ≥0} 稱為過(guò)程M = {Mt，t ≥0} 和N = {Nt，t ≥0} 的疊加，且是服從強(qiáng)度為λ =λ1+ λ2的齊次Poisson 過(guò)程。

定理2［16］設(shè){S( t) ，t ≥0} 是一個(gè)復(fù)合Poisson 過(guò)程，Poisson 過(guò)程{N( t) ，t ≥0} 的強(qiáng)度為λ，則:

(1) S( t) 有獨(dú)立增量;

(2) 若E( Xi) ＜+ ∞，則E( S( t) ) = λtE( X1) ，Var( S( t) ) = λtE() 。

下面進(jìn)行模型的建立。

設(shè)( Ω，F(xiàn)，P) 為一個(gè)完備的概率空間，本文考慮的所有隨機(jī)變量都是定義在該概率空間上的。假設(shè)保險(xiǎn)公司對(duì)兩類險(xiǎn)種采取不同的再保險(xiǎn)策略，具體而言，對(duì)險(xiǎn)種一的理賠選擇自留比例為a 的成數(shù)再保險(xiǎn)，對(duì)險(xiǎn)種二的理賠選擇自留額為M 的超額賠款再保險(xiǎn)，建立如下的相依混合雙險(xiǎn)種再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型，保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程與盈利過(guò)程分別為式(1) 和式(2) :

其中:

(1) u ≥0 為保險(xiǎn)公司的初始資金，P 為單位時(shí)間的保費(fèi)率。

(2) {Xi，i ≥1}，{Yj，j ≥1} 是取值于［0，∞) 上非負(fù)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，分別表示險(xiǎn)種一在第i次的理賠額及險(xiǎn)種二在第j 次的理賠額，設(shè)其分布函數(shù)分別為F( x) ，G( y) ，均值分別為μ1，μ2，且對(duì)x ≤0 有F( x) = 0，對(duì)y ≤0 有G( y) = 0。

(3) N1( t) ，N2( t) 分別表示兩類險(xiǎn)種在t 時(shí)間內(nèi)的理賠次數(shù)，令N1( t) = K1( t) + K( t) ，N2( t) = K2( t) +K( t) ，其中K1( t) ，K2( t) ，K( t) 分別服從參數(shù)為λ1，λ2，λ 的Poisson 分布且相互獨(dú)立，這樣兩險(xiǎn)種的各自理賠總額便通過(guò)K( t) 聯(lián)系起來(lái)。由定理1 易知N1( t) ，N2( t) 是分別服從強(qiáng)度為λ1+λ，λ2+λ 的齊次Poisson 過(guò)程。

(4) h( Yj) = min{Yj，M} 表示險(xiǎn)種二在第j 次的理賠額，Pa，PM分別為成數(shù)再保險(xiǎn)和超額賠款再保險(xiǎn)的單位時(shí)間再保費(fèi)率，假設(shè)原保險(xiǎn)公司與再保險(xiǎn)公司都是按期望值原理收取保費(fèi)，且原保險(xiǎn)、成數(shù)再保險(xiǎn)和超額賠款再保險(xiǎn)的安全負(fù)載分別為θ，θ1，θ2( θ ≤θ1，θ ≤θ2) ，于是P = (1 + θ) ［( λ1+ λ) μ1+ ( λ2+ λ) μ2］，Pa=(1 + θ1) (1 － a) ( λ1+ λ) μ1，PM= (1 + θ2) ( λ2+λ) E［( Yj－ M)+］。

(5) {W( t) ，t ≥0} 為標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程，表示保險(xiǎn)公司不確定的收益和支出，σ ＞0 為干擾因子。且假設(shè){Xi，i ≥1}，{Yj，j ≥1}，{N1( t) ，t ≥0}，{N2( t) ，t ≥0}，{W( t) ，t ≥0} 之間相互獨(dú)立。

定義2記Ta，M= inf{t| U( t，a，M) ＜0} 表示保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)時(shí)刻，若對(duì)所有t，均有U( t，a，M) ＞0，則Ta，M= ∞; 記ψ( u，a，M) = P( Ta，M＜∞| U(0) = u) ，?u ≥0 表示最終破產(chǎn)概率。

2 均值方差下的最優(yōu)再保險(xiǎn)

引言中已指出均值－方差原理的思想，即通過(guò)將總體風(fēng)險(xiǎn)最小和期望收益最大的雙目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題，本節(jié)將利用該方法求解以下模型的最優(yōu)自留額:

這里考慮在某一時(shí)間段內(nèi)的理賠，記兩類總理賠分別為:

由模型中的相關(guān)符號(hào)定義知，保險(xiǎn)公司在該時(shí)間段內(nèi)的期望收益為:

原自留總風(fēng)險(xiǎn)的方差為:

其中:

從而:

原保險(xiǎn)公司是為了得到一個(gè)最優(yōu)的再保險(xiǎn)合同，即選取適當(dāng)?shù)腶，M 后，能使總期望收益盡量的大，而同時(shí)總的風(fēng)險(xiǎn)盡量的小。然而這是一個(gè)非線性的雙目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，兩個(gè)目標(biāo)相互沖突，當(dāng)保險(xiǎn)人厭惡風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，其獲得的收益就小，而當(dāng)保險(xiǎn)人追求收益時(shí)，其面臨的風(fēng)險(xiǎn)就增大，因此無(wú)法得出最優(yōu)解。但可以通過(guò)控制一個(gè)目標(biāo)變量，而使另一個(gè)目標(biāo)變量達(dá)到最優(yōu)。本節(jié)就是在既定的期望收益下，使保險(xiǎn)公司的總風(fēng)險(xiǎn)方差達(dá)到最小。

假設(shè)期望收益為k，可以利用Lagrange 乘數(shù)法來(lái)求上述問(wèn)題的最優(yōu)解，此時(shí)Lagrange 函數(shù)為:

式(8) 分別對(duì)a，M，η 求偏導(dǎo)，并令其為0，得:

由式(9) － 式( 11) 組成的方程組的解即為所要的最優(yōu)解。當(dāng)理賠的分布函數(shù)確定時(shí)，代入上述方程組即可求得最優(yōu)解。

3 應(yīng)用舉例

設(shè)兩險(xiǎn)種理賠額{Xi，i ≥1}，{Yj，j ≥1} 均服從參數(shù)為1 的指數(shù)分布，即F( x) = 1 － e－x，x ＞0; G( y) =1 － e－y，y ＞0，于是μ1= μ2= 1，且:

假設(shè)θ = 0.2，θ1= θ2，= 0.3，λ1= λ2= 1，σ =0.05，k = 0.6，根據(jù)這些數(shù)據(jù)并利用Matlab 計(jì)算得:成數(shù)再保險(xiǎn)的最優(yōu)自留比例a = 0.6075，超額賠款再保險(xiǎn)的最優(yōu)自留額M = 1.2939。