陳 純

(長沙市明德中學,湖南 長沙 410009)

物理教學中總會遇到一些有趣的問題,這些經(jīng)典問題陪伴了我們一代又一代的教師和學生.我們學生能夠獨立解決此類問題固然十分重要,但是如果我們能夠引導學生進一步地設(shè)疑、思考和探索,例如略微變化一個數(shù)值條件,或者稍稍增減一個已知條件,或者嘗試從特殊推向一般規(guī)律,從縱向和橫向多維地思考問題,相信一定能夠體味到探索帶來的樂趣,也能展示物理學科的魅力.從另外一方面看,考慮到有的學生理解問題的能力較強,有的學生探索未知世界的求知欲強,有的學生善于運用數(shù)學去分析解決問題,如果教師也具有一種深入鉆研，絕不輕易放過一個

問題的教研精神,師生一起來共同合作探究,對某個問題也一定會“思而后有所得”.以下試舉幾例說明之.

圖1

1 縱向挖掘

例1(稍變已知條件).一質(zhì)點自傾角為α的斜面的上方O點,沿一光滑斜槽OA下滑,如圖1,如果想使得該質(zhì)點到斜面上所需的時間為最短,則斜槽OA與豎直方向所成的夾角θ應(yīng)該為多少?

探索:此時顯然已經(jīng)不符合等時圓的條件了,但是結(jié)果會有什么樣的變化呢?探究一番發(fā)現(xiàn)還是挺有趣味的.

首先,設(shè)OB=h,OA=s,根據(jù)正弦定理有

質(zhì)點勻加速直線運動的加速度為

a=gcosθ-μgsinθ,

為求分母極大值，令

f(θ)=cos(θ-α)(cosθ-μsinθ)，有

即sin(θ-α)(μsinθ-cosθ)=cos(θ-α)(sinθ+μcosθ),故

圖2

例2(探索一般結(jié)論).甲、乙、丙、丁4個小孩站在邊長為L的正方形的4個頂點處玩一個游戲,如圖2.現(xiàn)4個人均以相同的速率v運動,運動中始終保持甲朝著乙、乙朝著丙、丙朝著丁、丁又朝著甲運動.試求: 從開始運動到4人相遇共需多長時間?

圖3

這是個經(jīng)典的物理競賽題,作圖就可以發(fā)現(xiàn)小孩在經(jīng)過下一個微小時間后仍然處在一個正方形的四個頂點,小孩的運動軌跡就是無窮多個逐漸變小的正方形的某個頂點的移動軌跡,最終他們在正方形的中心處相遇,利用幾何畫板的迭代功能可以很方便地畫出圖形(如圖3).

現(xiàn)在想到如果有n個小孩(n>2)分別站在邊長為L的正n多邊形的頂點處玩該游戲,從開始運動到他們相遇共需多長時間?

圖4

探索:在分析n個小孩互相追逐時,作圖容易發(fā)現(xiàn)仍然與上面的情況類似,例如n=6的情況(如圖4),在任意一個時刻,6個小孩都處在一個逐漸縮小的正六邊形的頂點上,而且每個小孩指向多邊形中心的速度分量不變.

圖5

圖3和圖4中,小孩的軌跡上任意一點的切線與通過該點的一條正多邊形的邊共線,這條切線與切點到正多邊形中心的連線的夾角保持不變(即為正多邊形內(nèi)角的一半),這樣的曲線在數(shù)學中稱為等角螺線(或?qū)?shù)螺線),它與自然界中很多現(xiàn)象有密切的聯(lián)系.例如，昆蟲以這樣一條曲線軌跡接近點光源,蜘蛛依靠這種曲線法則來織網(wǎng),十分有趣!

2 橫向拓展

例3(多維發(fā)散思維).一只野兔被狐貍追趕沿直線跑向兔穴,它的速度大小與到兔穴的距離成反比,當兔子在離穴x1處的A點被狐貍發(fā)現(xiàn)時,速度為v1,試求兔子奔跑到離穴x2的B點需要多長時間?

發(fā)散1:假若題目拓展為兔子的加速度大小與到兔穴的距離成正比,比例系數(shù)為k0(k0>0),兔子從被發(fā)現(xiàn)的地方靜止開始沿直線奔跑到兔穴需要多長時間?

發(fā)散2:假若兔子的加速度與到兔穴的距離的平方成反比,比例系數(shù)為k(k>0),兔子在離兔穴距離L的地方被發(fā)現(xiàn),則兔子立即由靜止開始奔跑到兔穴需要多長時間?

對這道題的以上兩種拓展可以有效地訓練“類比”這一重要的物理思維.

發(fā)散3:在問題的討論中,自然還會遇到如下的疑惑:假若兔子的加速度與到兔穴的距離成反比,比例系數(shù)為k(k>0),兔子從被發(fā)現(xiàn)的地方靜止開始奔跑到兔穴需要多長時間?此時發(fā)現(xiàn)問題居然沒有兔子的加速度與到兔穴的距離的平方成反比好處理，但是似乎又不愿直接回避這個問題.

圖6

當x=L時v=0，代入上式得C=klnx,考慮到速度的方向,有

(1)

x=Le-u2,dx=-2Lue-u2du,

(1)式化為

(2)

考慮積分區(qū)間，并兩邊同時積分得

(3)

當然,問題拓展不是一味地追求難度,這需要針對學生的不同基礎(chǔ)、興趣和層次展開,另外,如果教師對遇到的問題能夠深入鉆研不輕易放棄,對于提升教學能力也是有益的.

1 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程力學篇[M].合肥:中國科學技術(shù)大學出版社,2013:39.

2 黃晶.迷人的等角螺線[J].物理教師,2008(3):31-32.