沈榮燦

(浙江省上虞中學(xué),浙江 上虞 312300)

賽車(chē)在進(jìn)入彎道時(shí),一方面由于地面所提供摩擦力的限制,需要減速以保障安全過(guò)彎;另一方面又為了贏得比賽,希望以盡可能大的速度過(guò)彎以縮短時(shí)間.以這一類(lèi)生活實(shí)際為背景的考題在2017年4月的浙江省選考中已有所體現(xiàn).筆者以此題為例,分析賽車(chē)過(guò)彎情景中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題.

圖1

題1.(浙江省普通高校招生2017年4月選考科目考試物理試題第20題)圖1中給出了一段“S”形單行盤(pán)山公路的示意圖,彎道1、彎道2可看作兩個(gè)不同水平面上的圓弧,圓心分別為O1、O2,彎道中心線半徑分別為r1=10 m,r2=20 m,彎道2比彎道1高h(yuǎn)=12 m,有一直道與兩彎道相切,質(zhì)量m=1200 kg的汽車(chē)通過(guò)彎道時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是車(chē)重的1.25倍,行駛時(shí)要求汽車(chē)不打滑(sin37°=0.6,sin53°=0.8)

(1) 求汽車(chē)沿彎道1中心線行駛的最大速度v1;

(2) 汽車(chē)以v1進(jìn)入直道,以P=30 kW的恒定功率直線行駛了t=8.0 s進(jìn)入彎道2,此時(shí)速度恰為通過(guò)彎道2中心線的最大速度,求直道上除重力外的阻力對(duì)汽車(chē)做的功;

(3) 汽車(chē)從彎道1的A點(diǎn)進(jìn)入,從同一直徑上的B點(diǎn)駛離,有經(jīng)驗(yàn)的司機(jī)會(huì)利用路面寬度,用最短時(shí)間勻速安全通過(guò)彎道.設(shè)路寬d=10 m,求此最短時(shí)間(A、B兩點(diǎn)都在軌道的中心線上,計(jì)算時(shí)視汽車(chē)為質(zhì)點(diǎn)).

圖2

圖3

情景2:汽車(chē)沿中心線內(nèi)側(cè)過(guò)彎，如圖3所示.

綜上所述:汽車(chē)沿著中心線內(nèi)側(cè)且與路面邊緣相切時(shí),過(guò)彎用時(shí)最短.

圖4

如圖4所示,對(duì)直角三角形AO1O′由勾股定理可列式:

至此本題解答完畢,其難點(diǎn)在于第3問(wèn):如何判斷汽車(chē)最快過(guò)彎的正確軌跡,既不是沿中心線,也不是相切于外側(cè)路面,而是結(jié)合題意的要求從A點(diǎn)出發(fā)相切于內(nèi)側(cè)路面.仔細(xì)思考本題,發(fā)現(xiàn)題目還是在一處做了簡(jiǎn)化——汽車(chē)從中心線A點(diǎn)入彎.而在真實(shí)的情況中,車(chē)輛入彎前可能在中心線處,可能在路面內(nèi)側(cè),也可能在路面外側(cè),那么在這一更接近真實(shí)的情況下,如何過(guò)彎才能用時(shí)最短呢?

圖5

圖6

由題設(shè)所給的情景,不妨假設(shè)汽車(chē)從A點(diǎn)的最外側(cè)切入圓軌道，如圖5所示,軌跡與題(3)軌跡類(lèi)似,同理可求得t″=1.74 s.那么是否可以的得出這樣一個(gè)結(jié)論:為取得比賽的勝利,汽車(chē)在進(jìn)彎時(shí)應(yīng)選擇最外側(cè)——最內(nèi)側(cè)——最外側(cè)這一段圓弧以最大速率行駛?

不妨做如下假設(shè):最內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)彎路面的半徑為r,汽車(chē)在最內(nèi)側(cè)路面向外x處以不發(fā)生側(cè)滑的極限速率v′入彎,經(jīng)如圖6所示軌跡后出彎,其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r′,則可列式

r′2=(r′-r)2+(r+x)2，

解得

其中

面對(duì)如此復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式,要判斷其單調(diào)性顯然是很困難的.但可從兩方面來(lái)說(shuō)明簡(jiǎn)單地說(shuō)“為取得比賽的勝利,汽車(chē)在進(jìn)彎時(shí)應(yīng)選擇最外側(cè)——最內(nèi)側(cè)——最外側(cè)這一段圓弧以最大速率行駛”這一結(jié)論是錯(cuò)誤的.

(1) 假設(shè)路面趨向于無(wú)限寬,按上述結(jié)論,汽車(chē)從在外側(cè)處入彎,此時(shí)路程趨向于無(wú)窮大,但汽車(chē)實(shí)際行駛存在一個(gè)最大速度vm,那么過(guò)彎時(shí)間也趨向于無(wú)窮.由此分析還可知:汽車(chē)如何運(yùn)用極限速率選取合理的過(guò)彎路徑與彎道內(nèi)徑、外徑、汽車(chē)輪胎與地面摩擦因數(shù)、汽車(chē)最高速率等因素相關(guān).一句話就是與賽道與賽車(chē)有關(guān),因此即使是同一輛賽車(chē),也應(yīng)根據(jù)不同的賽道選取不同的過(guò)彎策略.

(2) 如圖5所示,當(dāng)汽車(chē)從路面最外側(cè)入彎必將從最外側(cè)處彎,但出彎時(shí)速度方向已指向軌道外,賽車(chē)必將沖出賽道.因此從這一種從最外側(cè)入彎的方式是不安全的.

圖7

題2. 如圖7所示為某一環(huán)形摩托車(chē)賽道(非標(biāo)準(zhǔn))示意圖,ABCD為環(huán)外邊緣,EFGH為環(huán)內(nèi)邊緣.該環(huán)形賽道有兩段直線部分和兩段半圓環(huán)部分組成,直線部分長(zhǎng)為200 m,半圓環(huán)部分的內(nèi)環(huán)半徑為10 m,外環(huán)半徑為40 m.某摩托車(chē)騎手在直線跑到能達(dá)到的最大速度為40 m/s,該摩托車(chē)與地面的靜摩擦系數(shù)為1.0.試問(wèn):

(1) 摩托車(chē)手沿賽道外邊緣轉(zhuǎn)彎時(shí)的最大速度不能超過(guò)多少?

(2) 若他從A從靜止開(kāi)始沿賽道外邊緣逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),要求他能順利進(jìn)入彎道,則從A到B的最短時(shí)間為多少?

(3) 他在起跑線EA上某處由靜止開(kāi)始沿逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),轉(zhuǎn)彎半徑為多少時(shí),行駛一圈的時(shí)間最短.最短時(shí)間為多少?(提示:摩托車(chē)可看成質(zhì)點(diǎn),g取10 m/s2,π取3)

AE至BF段運(yùn)動(dòng)可分為加速、勻速、減速3個(gè)階段.

CG至DH段運(yùn)動(dòng)可分為加速、勻速、減速3個(gè)階段.

綜上各式,摩托車(chē)手在起跑線EA上某處由靜止開(kāi)始沿逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)用時(shí)

其中10 m≤r≤40 m.

分析該函數(shù)定義域上單調(diào)遞增,所以取r=10 m時(shí),tmin=21.125 s.

從本題的分析過(guò)程可以看出,本題與題1是兩種不同過(guò)彎方式(或可說(shuō)是兩種不同的比賽規(guī)則).題1中允許賽車(chē)在過(guò)彎過(guò)程中改變車(chē)道,題2更像是田徑場(chǎng)上的400 m比賽——不允許變道(但400 m比賽因要求路程相同,各道起點(diǎn)不同),此處同一條起跑線、同一條終點(diǎn)線有失公平.