高 芳,熊艷琴
(1.池州學院數(shù)學與計算機學院,安徽池州247100;2.南京信息工程大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,江蘇南京210044)
二階常系數(shù)線性非齊次微分方程y″+py′+qy=f(x)的求解是高等數(shù)學教學中的一個重要內(nèi)容,一般的高等數(shù)學教材[1-2]均會討論當f(x)=Pm(x)eλx時(其中Pm(x)是m次多項式)特解的形式。
當非齊次項f(x)=Pm(x)eλx時,利用待定系數(shù)法,可得特解的一般形式為y*=xkQm(x)eλx
其中k=0,1,2,分別對應當λ不是特征根、單特征根和二重特征根的情形。
一般地,在利用待定系數(shù)法求特解時,計算比較繁瑣,計算量較大,教學中發(fā)現(xiàn)學生經(jīng)常會出現(xiàn)計算錯誤。文獻[3-5]討論了二階常系數(shù)非齊次線性常微分方程的一些簡便求解方法。本文由一道例題求解出發(fā),給出了當Pm(x)為二次多項式時一個容易計算和記憶的特解公式。
先從非齊次項中Pm(x)是最簡單的二次多項式進行分析。
例:求微分方程y″-6y′+9y=x2e3x的一個特解。
解:由于f(x)=x2e3x,而λ=3是對應的齊次微分方程特征方程的二重根,因此可設特解為
y*=x2(l x2+m x+n)e3x,對y*求導得
將y*′,y*′′代入原方程,得
在此例中,通過求解可知m,n均為0,特解形式變得相對簡單,特解的系數(shù)只與f(x)=x2e3x的二次項系數(shù)有關。對于f(x)=(ax2+bx+c)eλx的一般情形,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式又該如何?下面我們進行具體分析。
對于微分方程
當P2(x)=ax2+bx+c(a≠0)時,分三種情形進行討論。
情形一、當λ不是特征方程的根時,即λ2+pλ+q≠0時,可設特解為
對y*求導得:
通過比較系數(shù),得:
此時,由計算結(jié)果可知特解表達式中的未知系數(shù)由a,b,c和p,q,λ的值唯一確定.
情形二、當λ是特征方程的單根時,即λ2+pλ+q=0,2λ+p≠0時,可設特解為
對y*求導得:
將y*′′,y*′,y*代入方程(*)中,整理化簡得:
通過比較系數(shù),可得:
特別地,當Pm(x)=ax2時,
此時特解由a,p,λ的值唯一確定,且特解形式相對簡單.
情形三、當λ是特征方程的二重根時,即當λ2+pλ+q=0,且2λ+p=0時,可設特解為
y*=x2(a1x2+b1x+c1)eλx,對y*求導得:
將y*′′,y*′,y*代入(*)中,化簡整理得:
通過比較系數(shù),可知
在情形三中,特解待定系數(shù)里的a1,b1,c1可分別由a,b,c唯一確定,且形式簡單便于記憶。更一般地若f(x)=ax2eλx,在計算題中,可直接設特解為y*=a1x4eλx,求導代入方程,可簡化計算,通過分析過程可知,當λ是特征方程的二重根時,特解可由較簡單的形式給出。情形三下的結(jié)果可推廣至f(x)=(ax3+bx2+cx+d)eλx的情形,利用待定系數(shù)法,此時特解為:y*=x2(a1x3+b1x2+c1x+d1)eλx,其中.若f(x)=ax3eλx,在計算題中,可直接設特解為y*=a1x5eλx,求導代入方程,可簡化計算,并提高計算的速度和準確性。