宿志強(qiáng)
(會寧二中,甘肅 會寧)
抽象函數(shù)的定義:我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。由于這類問題可以全面考查學(xué)生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解,同時(shí)抽象函數(shù)問題又將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖象集于一身,所以在高考中不斷出現(xiàn).
記函數(shù)v=F(u)的定義域?yàn)閡1,函數(shù)u=f(x)的值域?yàn)閡2,記則以D為定義域,以F[f(x)]為對應(yīng)法則的函數(shù)v=F[f(x)]叫做D上的復(fù)合函數(shù).
為敘述方便,構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的每一次復(fù)合步驟所形成的函數(shù),可形象地稱為該復(fù)合函數(shù)的一“層”函數(shù),上述定義中的F(u)叫做f(x)的外層函數(shù),u=f(x)叫做F(u)的內(nèi)層函數(shù)或中間變量復(fù)合.
其解法是:若f(x)的定義域?yàn)閍≤x≤b,則在f[g(x)]中,a≤g(x)≤b,從中解得x的取值范圍即為f[g(x)]的定義域.
例1:已知y=f(x)的定義域?yàn)椋?1,1],求y=f(2x-1)的定義域.
解:由題意可知-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1,所以次函數(shù)的定義域?yàn)椋?,1].
其解法是:若f[g(x)]的定義域?yàn)閙≤x≤n,則由m≤x≤n確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域.
例2:已知f(2x-1)的定義域?yàn)椋?1,1],求f(x)的定義域.
解:由于-1≤x≤1,解得-3≤x≤1,因此f(x)定義域?yàn)椋?3,1].
求由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域,其解法是:先求出各個(gè)函數(shù)的定義域,然后再求交集.
例3:若f(x)的定義域?yàn)椋?3,5],求φ(x)=f(-x)+f(2x+5)的定義域.
解:可知-3≤-x≤5,因此-5≤x≤3.同時(shí),-3≤2x+5≤5,可得-4≤x≤0.
因此,φ(x)的定義域?yàn)椋?5,3]∩[-4,0]=[-4,0]
其解法是,先由f[g(x)]的定義域,求出函數(shù)f(x)的定義域,再由f(x)的定義域,求出函數(shù)f[g(x)]的值域.
具體模型是,設(shè)函數(shù)f(x)=logm(ax2+bx+c)(a≠0,m>0,且m≠1),二次方程ax2+bx+c=0對應(yīng)的判別式△=b2+4ac.
(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,則a>0,且△<0;
(2)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,則a>0,且△≥0.
例5設(shè)函數(shù)f(x)=log2(ax2+3x+5),其中a≠0
(1)若此函數(shù)的定義域?yàn)镽,求a的取值范圍;(2)若此函數(shù)的值域?yàn)镽,求a的取值范圍.
解:(1)由于此函數(shù)是復(fù)合函數(shù),所以可令f(x)=log2μ,μ=ax2+3x+5.f(x)=log2μ中μ>0,所以二次函數(shù)μ=ax2+3x+5的值域大于零,且x取遍所有實(shí)數(shù),只需保證a>0,且△=9-20a<0.解得
(2)同理,可令f(x)=log2μ,μ=ax2+3x+5.則f(x)=log2μ,由于f(x)取遍所有實(shí)數(shù),所以μ取遍所有大于0的實(shí)數(shù).因此必須保證函數(shù)μ=ax2+3x+5與平面直角坐標(biāo)系中x軸有交點(diǎn).則對應(yīng)的判別式 △≥0.即有a>0,且 △=9-20a≥0.即
練習(xí)
解:依題可知 x+1∈[-1,4],從而 2x-1∈[-1,4],解得此函數(shù)的定義域?yàn)?/p>