劉益寧

（青島西海岸新區(qū)第三高級中學(xué)，山東 青島）

作為高中數(shù)學(xué)知識的重要內(nèi)容之一，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)既是重點也是難點。一方面，由于其概念和定義的高度抽象性以及公式運用的繁雜性，不少同學(xué)在理解和運用上面存在障礙，尤其對于誘導(dǎo)公式運用和轉(zhuǎn)換，記憶不清，時常混淆；另一方面，三角函數(shù)與其他知識板塊聯(lián)系緊密，遷移范圍廣，幾乎有滲透到高中整個數(shù)學(xué)學(xué)科的趨勢，而有不少學(xué)生往往在題目情境中想不到該用三角函數(shù)，一些同學(xué)雖能想到，卻又不知道該用哪種。以下，筆者結(jié)合個人學(xué)習(xí)體會，針對高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)談幾點策略性意見，希望對高中同學(xué)有所助益。

一、明確思維主線，扎實知識基礎(chǔ)

任何知識要想學(xué)好用好，掌握到位，理清思路和打牢基礎(chǔ)都是必不可少的，也是最為關(guān)鍵的，鑒于三角函數(shù)概念抽象、公式繁多、不易全面深入掌握的特點，打基礎(chǔ)的工作就更顯得尤為重要。這方面，筆者曾根據(jù)三角函數(shù)課程特點總結(jié)出“三個知識模塊”“一條思維主線”，以方便理解和記憶?，F(xiàn)淺示如下：

1.三個知識模塊

正弦、余弦、正切是三角函數(shù)的三個基本定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系則主要是sin2α+cos2α=1，在學(xué)習(xí)時只要掌握這兩個基本點并能靈活運用，就可以演化出一些包含基礎(chǔ)知識運用的代表性題型讓學(xué)生牢記和掌握，這樣學(xué)生也就基本全面地掌握了三角函數(shù)的基本知識，為以后的深入掌握奠定了基礎(chǔ)。筆者習(xí)慣于按以下三個模塊來劃分：

①已知sinα或cosα，求其余的三角函數(shù)。注意：確定角的終邊位置對求值是至關(guān)重要的，有時由于角的終邊位置不確定，解的情況不止一種。

②在 sinα+cosα、sinα-cosα、sinα·cosα 三個項中，已知一個求其余兩個。

③已知tanα或cotα，求其余的三角函數(shù)；并計算或化簡分式為關(guān)于正余弦的一次或二次的齊次式。

2.一條思維主線

此處主要講求任意角的基本思路。任意角的三角函數(shù)值可由誘導(dǎo)公式求得，從銳角到任意角，是特殊到一般的過程，那么我們求任意角的三角函數(shù)時就可以先把它轉(zhuǎn)化為銳角，利用特殊來求一般。這是解題的思維線索，剩下的問題就是任意角轉(zhuǎn)化為銳角的方式和過程。方式是：探究任意角的終邊與銳角的終邊的對稱關(guān)系；過程是：由圓周的360°以內(nèi)推廣到360°以外。

以上即為三角函數(shù)的“三個知識模塊”與“一條思維主線”，通過它們可以較好地簡化知識網(wǎng)絡(luò)，從整體上比較清晰地把握基本知識，并在此基礎(chǔ)上強(qiáng)化理解和提高運用能力。當(dāng)然，鑒于各人的學(xué)習(xí)情況和學(xué)習(xí)個性不同，讀者也可以嘗試總結(jié)和構(gòu)建適合于個人的知識主干和知識網(wǎng)絡(luò)。

二、掌握相關(guān)數(shù)學(xué)思想，提高實際解題能力

1.相關(guān)數(shù)學(xué)思想總結(jié)

數(shù)學(xué)思想是對解題思路的總結(jié)和升華，具有通用性和經(jīng)典性。能否在解題過程中靈活運用數(shù)學(xué)思想，往往是順利解題的關(guān)鍵，因為它可以將復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)模型。同時，數(shù)學(xué)思想的運用也是數(shù)學(xué)思維能力的一種反映，我們只有具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力后，才能形成成熟的數(shù)學(xué)思想并靈活運用之。在高中階段，常用的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想、極限思想、方程思想、換元思想等。大體而言，鑒于三角函數(shù)與其他知識板塊聯(lián)系緊密，遷移范圍廣，這些思想均可與之有機(jī)結(jié)合，形成一些綜合性的題目。下面我們就以比較典型的數(shù)學(xué)結(jié)合思想和分類討論思想為例來進(jìn)行較為深入的探討。

2.例談數(shù)學(xué)思想的具體運用

我們知道，三角函數(shù)的大小隨著角度參數(shù)的變化而呈現(xiàn)周期性的變化，在熟練掌握六種基本三角函數(shù)在其定義域內(nèi)的對應(yīng)圖像的情況下，通過圖像就可以明確判定出各個函數(shù)在不同定義域內(nèi)的奇偶性、單調(diào)性，在此基礎(chǔ)上，遇到判定弧度值對應(yīng)的函數(shù)值大小這一類型的題目時往往可以一目了然地得到答案。此外，在遇到較為復(fù)雜的三角函數(shù)問題時，我們可以通過分析由基本三角函數(shù) y=sinx拉伸、平移、壓縮而得到的函數(shù) y=Asinx（ωx+φ）（A＞0）的具體圖像來解決，這也是數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的典型應(yīng)用。至于分類討論思想，其在三角函數(shù)中的應(yīng)用也是頻率很高的，最常見的情況就是：由于三角函數(shù)的正負(fù)和大小在一個周期內(nèi)具有特定的規(guī)律性，因此在采用換元法解題時，得出最后結(jié)論后往往需要根據(jù)定義域情況進(jìn)行分類討論，即依據(jù)不同的定義域情況進(jìn)行對應(yīng)的分析。這一過程充分體現(xiàn)出分類討論思想的重要性，在具體解題時我們應(yīng)當(dāng)充分意識到這一點。

綜上所述，筆者結(jié)合自身的一些學(xué)習(xí)體會，針對高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)提出了一些個人看法，即首先需要扎實知識基礎(chǔ)，理解“三個知識模塊”和“一條思維主線”，在此基礎(chǔ)上再掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等相關(guān)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，以提高實際解題能力。鑒于三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)的重要地位，我們在學(xué)習(xí)中不僅不可以掉以輕心，更要時常進(jìn)行總結(jié)和反思，以便不斷地增進(jìn)理解和提高認(rèn)識，在遇到該類題目中做到游刃有余。在此，愿與讀者共勉之。