林郁松

（廣西平南縣中學，廣西 貴港）

導數(shù)是高中數(shù)學的基礎知識，他是聯(lián)系數(shù)學知識的橋梁和紐帶。導數(shù)的運用能夠有效解決數(shù)學問題，是證明不等式、研究函數(shù)性質(zhì)、研究函數(shù)極值最值問題、求曲線斜率和解決物理問題的有力工具?？梢越柚鷮?shù)建立恰當?shù)臄?shù)學模型，解決函數(shù)應用中的恒成立問題。

導數(shù)教學大綱主要是運用導數(shù)性質(zhì)，研究函數(shù)的單調(diào)性，對極值最值問題進行研究，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并且知道可導函數(shù)在某點取得導數(shù)的充分必要條件，會解決數(shù)學中的實際問題。導數(shù)學習目標主要是充分利用導數(shù)這一工具解決恒成立問題，讓學生能夠學會轉化，分類討論的數(shù)學思想，提高學生解題能力。

下面我們可以通過一些熱身練習和典型例題了解導數(shù)在解決不等式恒成立中求參數(shù)取值范圍的問題以及含參數(shù)導數(shù)問題的分類討論思想。

一、熱身練習

設函數(shù)f（x）=ax^3-3x+1（x屬于R），對于任意x屬于［-1，1］，都有f（x）＞=0成立，則實數(shù)a的取值范圍？

解：這里的函數(shù)是f（m），m是變量，t^2和t代表兩個常數(shù)，這是關于m的一元一次函數(shù)，m的定義域是［-1，1］。

（1）由f（-1）＞0，所以有t^2+2t＞0，t（t+2）＞0，①t＞0②t＜-2。

（2）由f（1）＞0，得t^2-2t＞0，t（t-2）＞0，①t＞2，②t＜0求（1）（2）的交集：得出 t＞2 和 t＜-2（這里寫“和”，不能寫“或”）。

二、典型例題

已知函數(shù)f（x）=-x^3+bx（b為常數(shù)）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，且方程f（x）=0的根都在［-2，2］內(nèi)，則b的取值范圍是？

第一個條件：求導之后，容易分析出導數(shù)值在（0，1）上大于等于0恒成立，利用根的分布，作出二次函數(shù)圖像列出關于不等式，再求解，求其交集。

第二個條件：講f（x）因式分解知道一個根為0（明顯在所規(guī)定的區(qū)間內(nèi)），另外兩個為正負根號b（當B大于等于0時成立），結合第一個條件所得不等式討論：當b大于等于0時和B小于0時，再分別與第一條件所得的含B的不等式求交集。

在數(shù)學學習過程中遇到恒成立問題時，學生往往有很好的技巧去解決此類問題。恒成立問題，包括換元、化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程思想方法及導數(shù)的應用和性質(zhì)，恒成立問題解決能夠培養(yǎng)學生的靈活性創(chuàng)造性思維，有利于提高學生的綜合解題能力。探討導數(shù)在解決恒成立問題中的應用，通過恒等變形如果不能直接解除參數(shù)，那么可以將參數(shù)分離出來，構造新函數(shù)，再用導數(shù)求解。

當0＜y＜1時；F′（Y）＞0；當y＞1時，F(xiàn)′（y）＜0；所以F（y）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù) F（y）在 y=1處取得極大值。

因為y≥1，所以h′（y）≥0，

所以 h（y）在［1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以［h（y）］min=h（1）=2＞0，從而g′（y）＞0。

解題規(guī)律:要使得 F（y）≥c（或 F（y）≤c）（c 為常數(shù)）在某個區(qū)間［a，b］恒成立，先求出 F（y）在該區(qū)間上的最小值 F（y）min（或最大值 F（y）may）并且 F（y）min≥c（或 F（y）may≤c）即可解決問題。

例2.已知函數(shù)f（x）=-x+alnx。

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明

當a≤2則f′（x）≤0當且僅當a=2，x=1時f′（x）=0所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

（2）由（1）知，f（x）存在兩個極值點當且僅當a＞2。

由于f（x）的兩個極值點x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨設 x1＜x2，

則x2＞1。由于

在高中數(shù)學學習過程中以及高考試題中，運用導數(shù)可以解決函數(shù)的最值、極值、不等式問題，導數(shù)還可以在知識的網(wǎng)絡交叉處設計問題，在學生高考中占有重要地位。因此，我們必須重視導數(shù)在恒成立問題中的重要作用，作為教師要突出對于導數(shù)恒成立問題應用中的探討，探索能夠有效解決數(shù)學問題的解題規(guī)律和技巧，向學生講授導數(shù)的獨特運用方法，引導學生獨立自主的解決恒成立問題。