安徽省樅陽縣宏實中學

江保兵 (郵編：246700)

1 試題和它的解法

圖1

解法1如圖1所示，建立平面直角坐標系.設

A(0,0),B(0,-1),C(-2,-1),D(-2,0),P(x,y).

故λ+μ的最大值為3.

圖2

評析由于向量同時具有幾何與代數(shù)的特性，如果在方便建立坐標系的情況下用坐標的方法處理問題，具有構(gòu)思簡單，操作方便的優(yōu)點.但是用代數(shù)方法去處理幾何問題，用運算代替思維，忽略幾何圖形的特性，總覺得有一些缺憾.

2 解法2的來龍去脈

解法2使我們既驚嘆，又困惑，既驚嘆于方法的簡潔，又困惑于解法的來龍去脈.數(shù)學教育家波利亞說過：“有些題目的解答就像魔術(shù)師帽子里的兔子，不知道從哪里冒出來的，這些想法是如何想到的？揭示了這類問題的本質(zhì)，我們就能站在更高位置來看待這個問題，問題就迎刃而解.”事實上在解法2中，運用了我們非常熟悉的平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2.但在平時的考查，更多的時候以考查它的推論為主，我們把它稱之為平面向量共線定理.

圖3

在圖3中，如果點C擺脫直線AB的束縛，轉(zhuǎn)而在平面PAB上運動，則有下列結(jié)論，我們把它稱之為平面向量等高線定理.

圖4

推論(1)當點C與點P在直線AB異側(cè)時，λ+μ=k>1；(2) 當點C與點P在直線AB同側(cè)時，λ+μ=k<1.

3 等高線在解題中的應用

圖5

圖6

1 江保兵.平面向量的共線定理及其推論[J].中學數(shù)學研究(上半月)，2014(2)

2 江保兵.一類含絕對值函數(shù)最值問題解法探究[J].中學數(shù)學研究(上半月)，2017(4)

3 江保兵.一道向量試題的探究和思考[J].中學數(shù)學教學，2015(5)

4 波利亞.怎樣解題[M].上海：上海教育出版社，2001