宋曉飛，肖偉，何其健，劉均，程遠勝

1華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

2中國艦船研究設(shè)計中心，湖北武漢430064

0 引 言

出于人員進出等原因，在耐壓圓柱殼上必須設(shè)置開孔圍欄，而開孔圍欄的出現(xiàn)打斷了環(huán)向肋骨的連續(xù)性，因而在開孔圍欄與肋骨的連接處易出現(xiàn)應力集中。因此，需對開孔圍欄與環(huán)向肋骨連接肘板進行優(yōu)化設(shè)計，以降低連接處的局部應力集中程度。

張會新等［1］以船底板架和上層建筑板架為研究對象，探討了結(jié)構(gòu)拓撲與形狀優(yōu)化設(shè)計方法在船舶設(shè)計中的應用，對船底板架結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)重量減少了15.82%。王波等［2］針對船體的梁連接節(jié)點，在ANSYS中建立連接節(jié)點的殼單元模型，探討了肘板尺寸變化對節(jié)點承載能力的影響規(guī)律，并對比了幾種常見節(jié)點的強度和屈曲性能。程遠勝等［3］對船舶構(gòu)件間的三角形連接肘板進行拓撲優(yōu)化分析，提出了一種新的肘板結(jié)構(gòu)型式，相對于傳統(tǒng)的三角形肘板，新型肘板結(jié)構(gòu)有效降低了節(jié)點應力集中程度。經(jīng)過多年的研究，針對局部結(jié)構(gòu)（如艙口形狀、剖面結(jié)構(gòu)等）的尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化已相當成功，而結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的進展則相對緩慢。目前，連續(xù)體拓撲優(yōu)化理論已較為成熟，在汽車工業(yè)、航天工程等領(lǐng)域有著較廣泛的應用［4］，在船舶行業(yè)亦有所應用。但有關(guān)實用化的船舶構(gòu)件拓撲與形狀優(yōu)化設(shè)計案例還較少。本文將以開孔圍欄和環(huán)向肋骨連接肘板結(jié)構(gòu)為研究對象進行拓撲優(yōu)化研究，分別研究開孔圍欄位置以及連接肘板和開孔圍欄中心偏置時對肘板拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響，用以為類似的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供參考。

1 耐壓圓柱殼開孔圍欄與環(huán)向肋骨連接節(jié)點應力分析

1.1 整體模型應力計算

選取含正交開孔圍欄的耐壓加筋圓柱殼為研究對象，開孔圍欄位于耐壓圓柱殼正中，環(huán)向肋骨通過圍欄中心，結(jié)構(gòu)如圖1所示。耐壓圓柱殼全長L=8 m，直徑?=6 m，肋距l(xiāng)=0.4 m，殼板厚24 mm；環(huán)向肋骨尺寸為；開孔圍欄直徑為660 mm，圍欄高500 mm，圍欄厚56 mm。結(jié)構(gòu)材料彈性模量E=196 GPa，泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7 800 kg/m3。

整體結(jié)構(gòu)有限元模型全局坐標系為圓柱坐標系，坐標原點位于耐壓圓柱殼左端圓心處，耐壓圓柱殼的徑向為X軸，周向角度為Y軸，軸向為Z軸。整體結(jié)構(gòu)的有限元模型全部采用Shell 181單元模擬，共劃分有114 483個單元。為模擬耐壓圓柱殼的水下受力情況，在耐壓圓柱殼左端約束其X，Y，Z方向的自由度，在其右端約束X，Y方向的自由度，然后在耐壓圓柱殼（含圍欄）外表面施加5 MPa的均布壓力，并將軸向壓力轉(zhuǎn)化為相應的節(jié)點力施加在耐壓圓柱殼右端的所有節(jié)點上。

1.2 子模型應力計算

1.2.1 有限元子模型

本文采用子模型的方法對肘板節(jié)點應力進行精細化分析。子模型法基于圣維南原理，以等效載荷代替實際分布載荷，并保證子模型切割邊界避開載荷集中及應力集中位置，在子模型內(nèi)部就可以得到較精確的應力解［5-6］。本文以圍欄開孔為中心沿Z軸正負方向各3檔肋距、沿Y軸正負方向各45°范圍內(nèi)的結(jié)構(gòu)為子模型（圖2），子模型的網(wǎng)格尺寸為15 mm。在進行邊界切割、插值后，在子模型上施加相應的約束及載荷。經(jīng)靜力計算后，對比子模型邊界的von Mises應力和整體模型在切割位置的von Mises應力，確認兩者的應力趨勢一致，若應力值比較接近，則認為子模型的邊界選取較為合理。

1.2.2 有限元子模型強度計算結(jié)果分析

將有限元子模型導入商業(yè)軟件Optistruct中進行強度計算，子模型的von Mises應力云圖如圖3所示。由應力云圖可以發(fā)現(xiàn)，最大應力出現(xiàn)在環(huán)向肋骨與圍欄連接處，為1 114 MPa。為了降低該處的應力集中程度，加寬了連接處肋骨的面板。根據(jù)艦船通用規(guī)范中對骨材尺寸的要求，肋骨面板寬度不超過板厚的8倍，同時為了保證自然過渡，長度不宜過小。本文肋骨面板加寬后的寬度取上限值160 mm，加寬區(qū)域的長度為寬度區(qū)域變化值的4倍，為424 mm。按照上述方法截取含加寬面板的子模型后，同樣計算了其強度，整體von Mises應力云圖如圖4所示。因兩側(cè)加寬面板相同，取一側(cè)加寬面板的von Mises應力云圖如圖5所示。

由圖5可見，面板區(qū)域共有3個高應力節(jié)點：第1個位于加寬面板遠離圍欄一端，稱為高應力節(jié)點1，應力值為962 MPa；第2個位于加寬面板與圍欄連接處的側(cè)邊端點，稱為高應力節(jié)點2，應力值為670 MPa；第3個位于加寬面板與圍欄連接處的中點，稱為高應力節(jié)點3，應力值為760 MPa。在之后的分析中，將以高應力節(jié)點1，2和3來區(qū)分各應力的位置。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，在加寬連接處的面板后，面板最大von Mises應力降低了152 MPa，約13.6%；且最大應力位置由連接處轉(zhuǎn)移到了高應力節(jié)點1處，加寬面板起到了肘板的作用。下一步，將通過對加寬面板（即肘板）的拓撲優(yōu)化進一步降低面板區(qū)域應力。

2 耐壓圓柱殼開孔圍欄與環(huán)向肋骨連接節(jié)點結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化

2.1 拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

本文基于有限元軟件Optistruct進行連接節(jié)點拓撲優(yōu)化，Optistruct拓撲優(yōu)化的材料模式采用密度法（SIMP方法），即將有限元模型設(shè)計空間每個單元的“單元密度”作為設(shè)計變量。該“單元密度”同結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)有關(guān)（單元密度與材料彈性模量E之間具有某種函數(shù)關(guān)系），在0～1之間連續(xù)取值，優(yōu)化求解后單元密度為1（或接近1）表示該單元位置處的材料很重要，需保留；優(yōu)化求解后單元密度為0（或接近0）則表示該單元位置處的材料不重要，可以刪除。通過控制單元的密度向0或者1兩端收斂，得到了拓撲優(yōu)化結(jié)果，經(jīng)進一步工程化處理，可成為實用的結(jié)構(gòu)。

本文的優(yōu)化對象為圖5所示的加寬的面板（即肘板），設(shè)計變量為肘板結(jié)構(gòu)的單元密度。目標函數(shù)為面板及肘板區(qū)域最大應力的極小化；同時，約束肋骨腹板應力不超過600 MPa，圍欄應力不超過750 MPa，肘板的體積分數(shù)不超過70%。

2.2 拓撲優(yōu)化結(jié)果及工程化處理

求解上述數(shù)學模型，至優(yōu)化迭代27步時停止計算。目標函數(shù)隨迭代步數(shù)的變化歷程曲線如圖6所示。圖中，橫坐標為迭代步數(shù)，縱坐標為目標函數(shù)的數(shù)值。由圖6可以看出，最后的目標函數(shù)已經(jīng)收斂，說明肘板的優(yōu)化在該數(shù)學模型下已經(jīng)達到最優(yōu)。為便于觀察，截取了肘板（設(shè)計區(qū)域）單元和部分面板單元，收斂時的結(jié)構(gòu)單元密度圖如圖7所示。

由圖7可以發(fā)現(xiàn)，肘板長度并非為加寬區(qū)域的最大值，即肘板并非是沿肋骨越長越好。根據(jù)圖7，取單元密度大于0.6的部分作為保留區(qū)域，其余部分刪除；對保留區(qū)域進行工程化處理后得到與單元密度圖中紅色區(qū)域形狀類似的肘板，肘板的總長度為317 mm，其中變寬度區(qū)域的長度為158 mm，并且兩側(cè)肘板相似，工程化處理后的肘板形狀如圖8所示。對工程化處理后的結(jié)構(gòu)模型重新劃分網(wǎng)格，并保持與優(yōu)化前肘板相同的單元尺度。

對優(yōu)化結(jié)構(gòu)進行強度計算，得到結(jié)構(gòu)的von Mises應力云圖如圖8所示，肘板及面板區(qū)域的von Mises應力云圖如圖9所示。與未優(yōu)化時高應力節(jié)點的位置相似，優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)的高應力節(jié)點1位于肘板遠離圍欄一端與面板連接處；高應力節(jié)點2位于加寬面板與圍欄連接處的側(cè)邊端點；高應力節(jié)點3位于加寬面板與圍欄連接處的中點。優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)高應力節(jié)點1～3的應力值分別為887，617和703 MPa。進行肘板優(yōu)化后，3個高應力節(jié)點的應力值均有所降低，其中高應力節(jié)點1下降最多，降低了75 MPa，約7.8%。加肘板前、后，優(yōu)化前、后高應力節(jié)點的應力值如表1所示。由表中數(shù)值及應力云圖可知，優(yōu)化后的肘板及面板應力分布更加均衡，并且最大應力較無肘板方案降低了20.4%，而肘板未優(yōu)化方案較無肘板方案僅降低了13.6%。

表1 耐壓圓柱殼正交開孔圍欄子模型各連接形式von Mises應力對比Table 1 Comparison of von Mises stress about different types of connective area of orthogonal opening fence sub-model

3 開孔圍欄偏置對連接節(jié)點結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的影響

3.1 開孔圍欄橫向偏置拓撲優(yōu)化

基于艙內(nèi)設(shè)備布置的需要，常常需要對開孔圍欄進行必要的橫向/縱向偏置。本文根據(jù)設(shè)備布置情況選取了開孔圍欄橫向偏置距離800 mm，此時，兩側(cè)肋骨與圍欄的連接位置不對稱。按照上文所述方法截取子模型、添加切割邊界并進行強度計算。橫向偏置子模型強度計算的von Mises應力云圖如圖10所示。在肋骨與圍欄連接處添加與上文相同尺寸的加寬面板（長424 mm，寬160 mm），對含加寬面板（即肘板）的子模型進行強度計算，肘板及面板的von Mises應力云圖如圖11所示。

不含肘板的橫向偏置圍欄結(jié)構(gòu)的最大應力為998 MPa，出現(xiàn)在肋骨與圍欄的連接處。添加矩形肘板后，3個高應力節(jié)點的應力值分別為894，670和696 MPa。與圍欄不偏置的情況類似，添加肘板后，最大應力轉(zhuǎn)移到肘板遠離圍欄一端、與面板連接處。

針對含肘板的結(jié)構(gòu)，采用和上文相同的數(shù)學模型進行肘板區(qū)域拓撲優(yōu)化。經(jīng)過27步迭代后，優(yōu)化計算收斂，最后一步迭代的肘板、面板單元密度圖如圖12所示。由圖可知，當圍欄橫向偏置時，遠離耐壓圓柱殼中心一側(cè)的肘板面積更大，而靠近耐壓圓柱殼中心的肘板相對較小。

對拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)進行工程化處理，并對得到的新結(jié)構(gòu)進行強度計算。工程化處理后的肘板及肘板面板上的von Mises應力分布如圖13所示。

拓撲優(yōu)化后，高應力節(jié)點1，2，3的von Mises應力分別為914，608和640 MPa。無肘板、加肘板及肘板優(yōu)化后的高應力節(jié)點的應力匯總?cè)绫?所示。對于開孔圍欄橫向偏置的結(jié)構(gòu)，在面板處添加肘板可以有效降低肘板面板區(qū)域的應力。拓撲優(yōu)化后的肘板，在工程化處理時，因刪除了部分密度不為0的單元，導致優(yōu)化后高應力節(jié)點1的應力略微上升（2.2%）；但其余高應力節(jié)點的應力值分別下降了62 MPa（9.2%）和235 MPa（33.7%）。

表2 耐壓圓柱殼橫向偏置開孔圍欄各連接形式von Mises應力對比Table 2 Comparison of von Mises stress about different types of connective area of transverse offset fence

3.2 開孔圍欄橫向、縱向偏置拓撲優(yōu)化

為了分析開孔圍欄縱向偏置對拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響，在開孔圍欄橫向偏置的基礎(chǔ)上，將開孔圍欄進行了縱向偏置。在不切斷相鄰肋骨的前提下，參考文獻［7］中取開孔圍欄的縱向偏置距離為40 mm，此時兩側(cè)肋骨與圍欄的連接位置不對稱，并且環(huán)向肋骨不再通過圍欄圓筒的中心。按照上文所述方法，肘板尺寸分別截取無肘板子模型、含肘板子模型并進行強度計算，不含肘板子模型的von Mises應力云圖如圖14所示，含肘板子模型的肘板和面板的von Mises應力云圖如圖15所示。

不含肘板的橫向、縱向偏置圍欄結(jié)構(gòu)的最大von Mises應力為1 040 MPa，出現(xiàn)在肋骨與圍欄的連接處。添加矩形肘板后，3個高應力節(jié)點的von Mises應力值分別為903，715和722 MPa。與圍欄不偏置的情況類似，添加肘板后最大應力轉(zhuǎn)移到了肘板遠離圍欄一端、與面板連接處。橫向、縱向偏置圍欄結(jié)構(gòu)的耐壓殼板的應力較高，因本文著重討論肋骨面板及肘板的應力，故耐壓殼的應力云圖不再給出。

針對含肘板的結(jié)構(gòu)，采用和上文相同的數(shù)學模型進行肘板區(qū)域拓撲優(yōu)化。經(jīng)過12步迭代后，優(yōu)化計算收斂，最后一個迭代步的肘板、面板單元密度圖如圖16所示。肘板面積在圍欄兩側(cè)的分布規(guī)律與僅橫向偏置的情況類似，在遠離圍欄一側(cè)較多，而肘板面積沿縱向關(guān)于面板中心線近似對稱，并未出現(xiàn)明顯的沿縱向的不對稱，這可能與圍欄沿縱向偏置距離較小有關(guān)。

對拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)進行工程化處理，并對得到的新結(jié)構(gòu)進行強度計算。工程化處理后的肘板及肘板面板上的von Mises應力分布如圖17所示。

拓撲優(yōu)化后，高應力節(jié)點1，2，3的von Mises應力分別為907，564和648 MPa。無肘板、加肘板及肘板優(yōu)化后的高應力節(jié)點的應力匯總?cè)绫?所示。與開孔圍欄橫向偏置的結(jié)構(gòu)類似，在面板處添加肘板可以有效降低肘板面板區(qū)域的應力，拓撲優(yōu)化后的肘板在保證高應力節(jié)點1處的應力相當?shù)那闆r下，明顯改善了高應力節(jié)點2，3處的應力值，分別下降了151 MPa（21.1%）和74 MPa（10.2%）。

表3 耐壓圓柱殼雙向偏置開孔圍欄各連接形式von Mises應力對比Table 3 Comparison of von Mises stress about different types of connective area of bi-offset fence

4 結(jié) 論

本文通過對開孔圍欄與環(huán)向肋骨連接肘板進行拓撲優(yōu)化，以及計算分析開孔圍欄橫向、縱向偏置對拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響，得出以下幾點結(jié)論：

1）在正交開孔圍欄圓柱殼結(jié)構(gòu)中，開孔圍欄與環(huán)向肋骨連接肘板經(jīng)過優(yōu)化可以有效降低連接處的應力集中程度，對于本文的案例，應力降低了約20%；肘板優(yōu)化后應力值降低了7.7%。

2）在正交開孔圍欄圓柱殼結(jié)構(gòu)中，開孔圍欄與環(huán)向肋骨連接肘板并非沿肋骨越長越好，其存在著一個對應應力最小的最優(yōu)參數(shù)，該參數(shù)可通過求解連接肘板優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型獲得。

3）在本文的橫向偏置開孔圍欄圓柱殼結(jié)構(gòu)中，開孔圍欄與環(huán)向肋骨連接肘板較優(yōu)的設(shè)計方案為在圍欄兩側(cè)不對稱，并且在遠離耐壓殼中心一側(cè)面積較大。

4）當開孔圍欄沿縱向偏置距離較小時，將開孔圍欄與環(huán)向肋骨連接肘板設(shè)計成關(guān)于面板中心對稱即可。

5）對于圍欄偏置情況，進行了開孔圍欄與環(huán)向肋骨連接肘板優(yōu)化，在保證高應力節(jié)點最大值相當?shù)那闆r下，進一步降低了其他高應力節(jié)點的應力水平。

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