劉東，王春旭，劉均，張攀，程遠(yuǎn)勝

1華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

2中國艦船研究設(shè)計中心，湖北武漢430064

0 引 言

加筋圓錐殼是水下結(jié)構(gòu)物軸系系統(tǒng)的支撐結(jié)構(gòu)，其振動特性對于結(jié)構(gòu)整體的振動以及聲學(xué)性能有著重要影響。如何降低加筋圓錐殼結(jié)構(gòu)在軸系轉(zhuǎn)動激勵下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，成為水下結(jié)構(gòu)物聲學(xué)設(shè)計需要解決的關(guān)鍵問題。為了優(yōu)化外部激勵下加筋圓錐殼的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，國內(nèi)外學(xué)者開展了許多研究。Liu等［1］提出了一種浸水變厚度圓錐殼在低頻下的自由振動分析方法。Liu等［2］采用Flügge經(jīng)典薄殼理論和環(huán)形加筋等效法，導(dǎo)出了流體載荷下環(huán)肋階梯錐殼的運(yùn)動微分方程。Wang等［3］提出了一種精確的傳遞矩陣，用來計算圓錐殼的結(jié)構(gòu)及聲學(xué)響應(yīng)。周云澤等［4］采用冪級數(shù)法計算了圓錐殼固有頻率的收斂性和準(zhǔn)確性。陳美霞等［5］采用波動法建立了帶框架肋骨加筋圓柱殼數(shù)學(xué)模型，并對其自由振動特性和頻響特性進(jìn)行了研究。瞿葉高等［6］提出了一種分區(qū)廣義變分和最小二乘加權(quán)殘值區(qū)域分解法，用來分析圓錐殼—圓柱殼—圓錐殼組合結(jié)構(gòu)的自由振動。肖偉等［7］以容積重量比為目標(biāo)，采用多目標(biāo)分層序列優(yōu)化法和遺傳算法對縱橫加筋圓柱殼進(jìn)行了優(yōu)化分析。李學(xué)斌等［8］針對環(huán)肋圓柱殼在靜水壓力作用下的多目標(biāo)離散優(yōu)化問題進(jìn)行了研究，并給出了不同目標(biāo)之間的Pareto前沿。葉文榮等［9］應(yīng)用有限元軟件對單層圓柱殼進(jìn)行了基于離散變量的動態(tài)性能優(yōu)化設(shè)計。但目前針對圓錐殼的聲學(xué)特性多目標(biāo)優(yōu)化的研究還較少。

本文將以縱橫加筋圓錐殼為研究對象，以殼板厚度和縱橫筋尺寸為設(shè)計變量，以結(jié)構(gòu)第1階總體彎曲模態(tài)頻率和低頻范圍加筋圓錐殼尾端載荷處加速度總級為優(yōu)化目標(biāo)，考慮結(jié)構(gòu)重量約束條件，建立其多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并采用寬容排序法與遺傳算法進(jìn)行求解。最后，研究重量約束與寬容度對優(yōu)化結(jié)果的影響。

1 加筋圓錐殼有限元模型

1.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)化表征

根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點，選取如表1所示的參數(shù)作為有限元參數(shù)化建模的基本參數(shù)。變厚度圓錐殼如圖1所示。

1.2 有限元模型及結(jié)構(gòu)分析

加筋圓錐殼有限元模型通過有限元軟件ANSYS建立，殼體及殼體以上的縱筋和環(huán)筋的腹板均采用殼單元（Shell 181）模擬，縱筋和環(huán)筋的面板均采用梁單元（Beam 188）模擬。

表1 基本參數(shù)Table 1 Basic parameters

殼體與縱筋、環(huán)筋均為鋼質(zhì)，材料密度為7 850 kg/m3，楊氏模量為 210 GPa，泊松比為 0.3。

邊界條件為在艏端殼體上施加簡支約束，激勵為在殼體艉端中縱剖面上施加垂直向下的單位力，如圖2所示。

網(wǎng)格收斂性計算分析表明，在縱筋和環(huán)筋腹板高度方向上劃分3個單元，沿環(huán)向0～4號肋位在殼體上劃分72個單元，沿5～10號肋位在殼體上劃分48個單元，其余部分結(jié)構(gòu)均采用200 mm的網(wǎng)格尺寸計算，結(jié)果即收斂。整個模型共有殼單元5 832個，梁單元1 128個（圖3）。

以一結(jié)構(gòu)方案為例，通過ANSYS諧響應(yīng)計算，得到加載點在載荷方向（10～200 Hz）間隔1 Hz的加速度頻響曲線（圖4）。由圖可見，首個峰值點處頻率為166 Hz，而在模態(tài)計算中，此結(jié)構(gòu)的一階彎曲模態(tài)頻率也是166 Hz。在優(yōu)化參數(shù)取值范圍內(nèi)，隨機(jī)選取多組不同參數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算，其頻響曲線與圖4的形式類似，都有一個較大的峰值，峰值頻率與結(jié)構(gòu)一階彎曲模態(tài)頻率對應(yīng)。優(yōu)化中，提取ANSYS迭代計算的加速度頻響曲線峰值處頻率作為結(jié)構(gòu)一階彎曲模態(tài)頻率。

2 加筋圓錐殼振動優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及求解方法

2.1 設(shè)計變量

對于1.1節(jié)確定的基本參數(shù)，在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時，為了減少設(shè)計變量的個數(shù)，將編號9～12的參數(shù)取固定值，即圓錐殼長度L=6 000 mm，艏端半徑R=2 000 mm，艉端半徑r=500 mm，肋距l(xiāng)=600 mm。對部分變量進(jìn)行關(guān)聯(lián)處理：環(huán)筋與縱筋面板寬度取腹板高度的1/3，面板厚度比腹板厚度大4 mm。最終，將表1中編號1～8的參數(shù)作為設(shè)計變量，如表2所示，共可得到4 608種結(jié)構(gòu)方案。

表2 設(shè)計變量取值空間Table 2 The value space of the design variable

表2中的x6為錐殼板厚組合方案。將殼板厚度分為3段，分別為t1（0～3號肋位）、t2（3～6號肋位）和t3（6～10號肋位），每段板厚可以在［14 16 18］范圍內(nèi)取不同的值。將所有板厚進(jìn)行全排列組合，共得到27組板厚方案，考慮到工程實際情況：1）相鄰兩段板厚差小于3 mm；2）艉部段的板厚小于等于艏部段的板厚，即t3≤t2≤t1，最終的錐殼板厚組合方案為8種，如表3所示。

表3 板厚組合Table 3 The combination of shell thickness

2.2 約束條件

將加筋圓錐殼結(jié)構(gòu)重量作為約束條件，約束方程為

式中：W為重量；Wtarget為目標(biāo)重量。在2.1節(jié)的設(shè)計變量范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)的重量范圍為8.38～14.53 t。

2.3 目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)有2個：一是加筋圓錐殼結(jié)構(gòu)第1階總體彎曲模態(tài)頻率極大化；二是載荷施加位置處垂向加速度響應(yīng)總級極小化。

2.4 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

為了將問題研究得更加透徹，將優(yōu)化分為2個層次：一是單目標(biāo)優(yōu)化，分別以第1個目標(biāo)和第2個目標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化；二是多目標(biāo)優(yōu)化，采用寬容排序法［10］進(jìn)行優(yōu)化。

1）單目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

第1次單目標(biāo)優(yōu)化：

第2次單目標(biāo)優(yōu)化：

式中，f1(X)和f2(X)分別為加筋圓錐殼結(jié)構(gòu)的第1階總體彎曲模態(tài)頻率和載荷施加位置處的垂向加速度響應(yīng)總級。

2）多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

采用寬容排序法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，將各分目標(biāo)按重要程度進(jìn)行順序。

首先，對第1個優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行有重量約束的優(yōu)化：

在找到第1個優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)值后，根據(jù)寬容排序法的寬容準(zhǔn)則設(shè)置寬容度，即將第1個優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)值酌情適當(dāng)放寬，以作為下一輪優(yōu)化的約束條件，然后繼續(xù)對第2個優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：

式中：δ為寬容度，0＜δ＜1；fW為諧響應(yīng)分析中的掃頻間隔，取fW=1 Hz；ai為加速度；a0為基準(zhǔn)加速度，a0=10-6m/s2。

2.5 優(yōu)化求解方法

基于Matlab平臺，編寫采用遺傳算法與寬容排序法的優(yōu)化主控程序，其中遺傳算法中的選擇概率取0.9，交叉概率取0.8，變異概率取0.01，設(shè)置種群數(shù)為50，代數(shù)為10（參數(shù)設(shè)置已經(jīng)過收斂性分析）。

程序的運(yùn)行過程如下：要優(yōu)化主控程序，首先需根據(jù)設(shè)計變量的取值范圍，采用遺傳算法生成初始種群，并將相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)傳遞給有限元程序ANSYS進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析；完成有限元分析后，將結(jié)果傳遞給優(yōu)化主控程序，優(yōu)化主控程序根據(jù)收斂條件判斷程序是否終止，收斂條件為連續(xù)5代優(yōu)化結(jié)果相同；若不終止，則優(yōu)化主控程序根據(jù)遺傳算法通過選擇、交叉和變異操作生成新的種群，然后繼續(xù)將新的結(jié)構(gòu)參數(shù)傳遞給有限元程序，如此反復(fù)，直到優(yōu)化程序終止。程序運(yùn)行的流程圖如圖5所示。

3 加筋圓錐殼結(jié)構(gòu)振動優(yōu)化結(jié)果分析

3.1 彎曲模態(tài)頻率單目標(biāo)優(yōu)化

對結(jié)構(gòu)第1階總體彎曲模態(tài)頻率極大化進(jìn)行無約束單目標(biāo)優(yōu)化。共計算了156個個體，占總方案數(shù)的3.4%，達(dá)到了收斂要求，優(yōu)化方案的部分結(jié)果如表4所示。

分析優(yōu)化結(jié)果，可知結(jié)構(gòu)的第1階總體彎曲模態(tài)頻率最大值為185 Hz，對應(yīng)有2種不同的方案，即方案1-1和方案1-2，這2種方案只是殼板厚度有差異，方案1-1的殼板厚度為［18 16 14］，方案1-2的殼板厚度為［18 16 16］。方案2-1，2-2和2-3以不同的設(shè)計參數(shù)達(dá)到了相同的第1階總體彎曲頻率。上述結(jié)果可為工程方案選擇提供較大的余地。

3.2 加速度總級單目標(biāo)優(yōu)化

在結(jié)構(gòu)第1階總體彎曲模態(tài)附近頻段內(nèi)，對施加垂向載荷處的垂向加速度總級極小化進(jìn)行無約束單目標(biāo)優(yōu)化。共計算了169個個體，占總方案數(shù)的3.7%，達(dá)到了收斂要求，優(yōu)化方案的部分結(jié)果如表5所示。

表4 第1階總體彎曲模態(tài)頻率單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Table 4 Results of overall bending mode frequency optimization

表5 加速度總級單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Table 5 Results of acceleration level optimization

通過分析表5的優(yōu)化結(jié)果可知，最優(yōu)解即方案3的縱、環(huán)筋高度以及縱、環(huán)筋厚度和殼板厚度均取得最大值，也即結(jié)構(gòu)重量最大的方案。方案4-1，4-2，4-3和4-4以不同的設(shè)計參數(shù)達(dá)到了相同的加速度總級，為工程方案的選擇提供了很大的設(shè)計空間。

3.3 多目標(biāo)優(yōu)化

在結(jié)構(gòu)彎曲模態(tài)頻率單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果中，設(shè)計變量的取值均接近于設(shè)計空間中的最小值，而在載荷處加速度總級單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果中，設(shè)計變量的取值均接近于設(shè)計空間中的最大值，即極大化結(jié)構(gòu)第1階彎曲模態(tài)頻率與極小化載荷處，加速度響應(yīng)總級這2種優(yōu)化方案中的參數(shù)取值趨勢相異，這為多目標(biāo)優(yōu)化提供了優(yōu)化基礎(chǔ)。

由單目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果可知，結(jié)構(gòu)第1階總體彎曲模態(tài)的頻率最大值為185 Hz。在此基礎(chǔ)上，設(shè)置0.05的寬容度，設(shè)置目標(biāo)重量Wtarget=12 t，進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。共計算了152個個體，占總方案數(shù)的3.3%，達(dá)到了收斂要求，優(yōu)化方案的部分結(jié)果如表6所示。表中，方案5～7為滿足約束條件的優(yōu)化方案中加速度總級最小的3個方案，其中方案5為最優(yōu)解。

將多目標(biāo)優(yōu)化最優(yōu)方案與前面所述的2種單目標(biāo)優(yōu)化最優(yōu)方案進(jìn)行對比，結(jié)果如表7所示。

分析表7的優(yōu)化結(jié)果可知，與2種單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果相比，多目標(biāo)優(yōu)化方案滿足了寬容度的限制，在各個參數(shù)的取值上沒有像單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果中那樣較多地取上限或者是下限，并且其同時存在幾組結(jié)構(gòu)第1階總體彎曲頻率、結(jié)構(gòu)重量和加速度總級都比較接近的設(shè)計方案，便于工程應(yīng)用上綜合考慮后選用。

表6 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Table 6 Results of muti-object optimization

表7 單目標(biāo)與多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果對比Table 7 Comparison of single-object and multi-object optimization results

4 重量約束與寬容度對優(yōu)化結(jié)果的影響

為了進(jìn)一步研究寬容度以及重量約束條件對結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果的影響，分別設(shè)置目標(biāo)重量Wtarget=12，11和 10 t，設(shè)置寬容度分別為 0.025，0.05，0.1，0.15和0.2，群體規(guī)模仍為50×10。取優(yōu)化結(jié)果中的最優(yōu)方案進(jìn)行對比，結(jié)果分別如表8～表10所示。

表8 12 t重量約束下不同寬容度優(yōu)化結(jié)果Table 8 Optimization results under different tolerances at 12 t weight constraint

表9 11 t重量約束下不同寬容度優(yōu)化結(jié)果Table 9 Optimization results under different tolerances at 11 t weight constraint

表10 10 t重量約束下不同寬容度優(yōu)化結(jié)果Table 10 Optimization results under different tolerances at 10 t weight constraint

分析表8～表10中數(shù)據(jù)可知：

1）在相同的重量約束條件下，當(dāng)結(jié)構(gòu)的第1階總體彎曲頻率較大，即寬容度較小時，最優(yōu)方案載荷處的加速度總級較大；當(dāng)結(jié)構(gòu)的第1階總體彎曲頻率較小，即寬容度較大時，最優(yōu)方案載荷處的加速度總級較小。

2）在相同的寬容度下，載荷處的加速度總級基本呈隨目標(biāo)重量的增大而減小的趨勢。

為了更直觀、清晰地表示變化趨勢，以寬容度、目標(biāo)重量和載荷處加速度總級為x，y，z軸，繪制三維圖（圖6）。

5 結(jié) 論

本文采用遺傳算法和寬容排序法，對縱橫加筋圓錐殼的振動特性進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化求解，主要結(jié)論如下：

1）在結(jié)構(gòu)第1階總體彎曲頻率單目標(biāo)優(yōu)化的最優(yōu)與次優(yōu)方案中，結(jié)構(gòu)縱、環(huán)筋設(shè)計變量的取值均為設(shè)計空間中的較小值；在載荷處加速度響應(yīng)總級單目標(biāo)優(yōu)化的最優(yōu)與次優(yōu)方案中，結(jié)構(gòu)設(shè)計變量的取值均為設(shè)計空間中的較大值。在2個單目標(biāo)優(yōu)化的優(yōu)化方案中，設(shè)計參數(shù)的取值趨勢相異，為多目標(biāo)優(yōu)化提供了優(yōu)化基礎(chǔ)。在本文的算例中，單目標(biāo)優(yōu)化同一個目標(biāo)值，可以有多個方案與之對應(yīng)，這為工程設(shè)計提供了多種選擇。

2）隨著寬容度以及目標(biāo)重量的增大，最優(yōu)方案結(jié)構(gòu)載荷處的加速度總級減小；隨著寬容度以及目標(biāo)重量的減小，最優(yōu)方案結(jié)構(gòu)載荷處的加速度總級增大。目標(biāo)重量和寬容度的設(shè)置在工程上具有明確的意義。

3）獲得本文算例優(yōu)化解的計算方案數(shù)占總方案數(shù)的3.3%～4.8%，說明提出的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型具有較高的效率。

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