付堉家 張津豪

摘要 CT （Computed Tomography）是一種可以在不破壞樣品的情況下獲取樣品的內部結構信息的一種技術，目前在醫(yī)學、考古學等領域有廣泛應用。我們根據(jù)已知的吸收率反推幾何模型時，利用MATLAB和radon變換繪制出圖像，然后建立直角坐標系，將這兩個圖像相結合進行幾何分析，建立模型I——幾何分析模型。在射線垂直橢圓長軸入射、垂直短軸入射和射線穿過小球這三種情況下，分別計算探測器單元的間距，并對這些值取平均值得出探測器單元的間距為。利用托盤的中心和旋轉中心在X軸和Y軸方向的偏差求出旋轉中心的位置為。隨后尋找出圖像最寬和最窄處的角度為-90度和0度，進行逐步類推得出射線的轉動范圍。在已知未知介質的吸收信息的情況下，我們采用“濾波反投影法”建立模型Ⅱ

濾波反投影模型，并對濾波后的投影值進行內插，進行介質幾何形狀的確定。通過畫出一個100*100的方框（正方形托盤）進行介質位置的確定。最后利用反投影得出十個位置處的吸收率。根據(jù)結果，由于物體內部含有大量孔洞，會產生大量吸收率過低的薄層。薄層的存在會使得投影圖上少部分像素點缺失，從而導致反投影重建得到的原圖產生丟失微小結構等后果。對于模型的改進問題，本文著重考慮影響CT系統(tǒng)參數(shù)標定的精度和穩(wěn)定性的兩個因素：橢圓長短軸測量次數(shù)少影響精度;噪聲和射束硬化效應影響穩(wěn)定性。因此，本文設計了一個由四個等大等間距橢圓和一個小圓組成的全新的標定模板以提高系統(tǒng)標定的精度和穩(wěn)定性。

[關鍵詞]CT系統(tǒng) 濾波反投影 靈敏度分析radon變換 圖像處理

1 CT系統(tǒng)工作原理

X射線垂直于探測器平面平行入射，每個探測器單元看成一個接收點，且等距排列。X射線的發(fā)射器和探測器相對位置固定不變，整個發(fā)射.接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉中心旋轉若干次。探測器上的等距單元測量經位置固定不動的二維待檢測介質吸收衰減后的射線能量，并經過增益等處理后得到若干組接收信息并對物體進行分析。

2 模型的假設

（1）射線在空氣中傳播過程中不會衰減;

（2）在傳播過程中不考慮干涉和衍射等光學問題;

（3）探測器旋轉中心在旋轉過程中不會發(fā)生偏移;

（4）光源不具有時間非均勻性和空間非均勻性。

3 模型的建立與求解

3.1 問題一的分析與求解

3.1.1 對問題的分析

我們利用MATLAB將附件一中的相關數(shù)據(jù)繪圖，對數(shù)據(jù)利用MATLAB進行random變換處理，實現(xiàn)圖像的重建和復原。

3.1.2 模型1：幾何分析模型

模型的準備：

（1） CT成像原理的進一步分析。

有光學性質可知，當X射線穿過均勻材料的物質時，其強度的衰減率與強度本身成正比，即有：

射線穿過某物體時，（1）式中的μ并非常數(shù)，而是一個關于坐標平面（x，y）的函數(shù)μ（x，y），當射線沿平面內某直線L穿行時，當射線沿平面內某直線L穿行時，（2）式變?yōu)椋?/p>

（2）利用Radon變換進行投影重建。

一個己知平面內沿不同直線對f（x，y）進行線積分，得到的像F（d，a）就是函數(shù)f的Radon變換。

一個己知平面內沿不同直線對f（x，y）進行線積分，得到的像F（d，a）就是函數(shù)f的Radon變換。

即：

平行束重建采用的是平移加旋轉的掃描方式，如圖1所示，射線源在某一角度下水平移動，將物體全部照射后旋轉一角度，如此重復，在這個過程中探測器相應地運動以接收X射線。

平面中某一點密度可以看作是這一平面里所有經過該點射線的投影值之和。整幅重建圖像可以看成是所有方向下的投影疊加而成。

因此有：

該式可當做反投影重建算法的計算。其中Xk表示像素k的值，Pk，表示經過像素k的第i條射線投影，np表示圖像內的射線條數(shù)。

3.2 問題一的求解

以標定模板中的橢圓中心作原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸建系。

3.2.1 探測器單元之間的距離求解

（1）顯然，光源和探測器繞著旋轉中心旋轉，當射線正好垂直標定模板的長軸入射時，此時被介質吸收的光源寬度最大，即圖像的高度最大。

利用MATLAB對180個角度中不為O的個數(shù)N（吸收系數(shù)不為O，即穿過介質）進行計數(shù)，發(fā)現(xiàn)個數(shù)N最多為298或288（由系統(tǒng)誤差引起），而橢圓實際長軸為L=80，所以探測器相鄰單元之間的間距為：

（2）同理，當射線垂直于橢圓的短軸入射時，此時被介質吸收的光線的寬度最小，反映在圖1中為180個角度中不為O的個數(shù)N（吸收系數(shù)不為O，即穿過介質）最小。

（3）小圓球在投影圖中的體現(xiàn)為一條等距窄帶，求出其對應的接收點個數(shù)N。

上述三種情況可得探測器單元間距。

3.2.2 CT系統(tǒng)旋轉中心在托盤中的位置

我們知道CT旋轉系統(tǒng)有其固定的旋轉中心，以下稱之為COR（Center of rotation）。理想狀態(tài)是COR與托盤幾何中心重合，在此情況下掃描可達最佳狀態(tài)。而實際安裝情況下往往因為種種外部因素，不能做到完全重合，因而存在一定的偏差。此偏差是影響成像質量的重要參數(shù)。

（1）首先我們考慮oo的情況。因為探測器有512個探測單元，因此該系統(tǒng)的旋轉中心位于第256和257個探測器單元中間的位置。

（2） 900的情況。同理旋轉中心縱坐標Y1與托盤中心縱坐標Yo的差值即為圖中所示YC。

點（xc，YC）即為所求CT系統(tǒng)旋轉中心與托盤中心的偏差。

由于探測器單元共有512個，其中間單元為256和257?，F(xiàn)分別根據(jù)這兩個進行計算：

3.2.3 X射線的180個方向

己知投影最窄出為0°方向，最寬處為-90°方向。其余的列數(shù)方案參照這兩個度數(shù)一次類推。

值得注意的是，這里-90°和0°之間的間隔并非剛好90，而是92個，這也是因為系統(tǒng)存在一定的誤差所致，詳細的分析將在第4問的解答中體現(xiàn)。

3.3 問題二的分析與求解

3.3.1 模型的準備

（1）反投影重建。平面中某一點的密度可看作這一平面內所有經過該點的射線投影之和的均值。

即“反投影重建”計算式為：

Xk表示像素k的值，pk，i表示經過像素k的第j條射線投影，np表示圖像內的射線條數(shù)。

（2）偽跡出現(xiàn)的原因。反投影的本質即取自有限物體空間的投影均勻地反投影到射線到達無限空間各點上，包括原先像素為零的點。

（3）濾波器作用。減弱或消除傅里葉變換的高頻分量，從而減小噪聲。經過查閱文獻，為較完整保留目標圖像的邊緣，我們選用中值濾波進行去噪，可以用來減弱隨機干擾和脈沖干擾。

3.3.2 模型的求解

因此在本題中，為了去除“偽跡”，我們采用“濾波反投影法（FBP）”進行本題的求解。

根據(jù)上問，我們己標定該CT系統(tǒng)參數(shù)，可以為具體測量做準備。在本問中，我們根據(jù)標定好的CT系統(tǒng)來求得物體的位置信息。

對每次測得的投影數(shù)據(jù)先進行一維傅立葉變換。據(jù)中心切片定理，將此變換結果看成二維頻域中同樣角度下過原點的直線上的值：

步驟5重復180次，完成全部反投影。

由于實際中物體是連續(xù)的，但是采樣的投影數(shù)據(jù)是離散的，不一定能夠正好落在采樣點位置上，為了得到任意一點的值，需要對濾波后的投影值進行內插。

再根據(jù)matlab中自帶濾波反投影函數(shù)iradon對投影數(shù)據(jù)進行反投影重建，再以旋轉中心為正方形幾何中心，畫出一個100*100的方框。

3.4 問題四的求解與分析

3.4.1 問題的分析

如果計算每一次探測所得到的吸收率之和，在理想情況下吸收率總和應該為一個定值，但在問題（1）標定摸板中，吸收率總和是隨探測次數(shù)而不斷波動的，其中波動最大的位置在第130次-170次之間，除了噪聲影響之外，這主要是射柬硬化效應造成的。CT中的x射線是具有頻譜寬度的x線源，即x射線光子能量不同。在x射線穿過物體后，低能量部分易被吸收，高能部分較易穿過，因此在傳播過程中，射線的平均能量會變高，即射線會“變硬”，稱其為射束硬化效應。本題中，在第130～170次測量中，射線所需要透過的物體厚度最大，則此范圍射線束較硬，導致所得吸收率誤差較大，精度和穩(wěn)定度降低。

3.4.2 問題的求解

為解決上述問題，我們設計了如圖1所示的標定模板。

該模板采用四個大小相等的橢圓，如圖所示等距擺放在正方形托盤上，留足間距，保證X射線可以完整的照射到每個橢圓的長短軸。在左下角放置一個小圓形，用于確投影方向。相比于題目原來給定的一個橢圓和一個小圓的模板，該模板可以測量多次橢圓長短軸取均值，從而避免了單次測量的誤差和損失，是標定更精確、更穩(wěn)定。

4模型的評價和改進

4.1模型的優(yōu)點

（1）在解決問題時，利用計算機軟件進行計算較為方便，求解速度很快，工作效率高。

（2）在模型的推導中沒有十分艱深的數(shù)學概念。理解方便，應用簡單。

（3）模型可廣泛應用于醫(yī)學，考古等現(xiàn)實問題中，與實際問題緊密聯(lián)系，通用性，推廣性較強。

4.2 模型的缺點

在反Radon變換過程中，對濾波器選取，規(guī)避信號損失及其造成的尾影過程優(yōu)化討論不足。

4.3 模型的推廣

系統(tǒng)優(yōu)化和參數(shù)的標定在當前具有廣泛的應用，因而本文所用的模型建立方法不僅適用于CT系統(tǒng)，還適用于其他在醫(yī)療、考古行業(yè)應用的大型設備。我國是一個大國，對于各種高檔大型設備均具有很大的需求，所以從這個角度出發(fā)，本文提出的模型具有廣闊的應用的前景。