陸燕鳳

（上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)，上海）

最近，在某中學(xué)聽(tīng)A老師上了一節(jié)別開(kāi)生面的數(shù)學(xué)概念課“反正弦函數(shù)”，我被深深觸動(dòng)了。A老師整節(jié)課引領(lǐng)學(xué)生一起探討反正弦函數(shù)的來(lái)源，讓學(xué)生在課堂活動(dòng)中自行獲得反正弦函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般、從具體到抽象的過(guò)程，逐步理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。與其他老師相比，A老師完成的教學(xué)內(nèi)容很少，但是，他在概念生成的環(huán)節(jié)上不惜時(shí)不惜力，給學(xué)生創(chuàng)造了充分的思考空間。三角函數(shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是高中階段的一個(gè)難點(diǎn)，全新的數(shù)學(xué)概念和抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，同時(shí)反正弦函數(shù)又涉及反函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，A教師把教學(xué)重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)概念生成過(guò)程，不僅可使學(xué)生加深對(duì)反函數(shù)概念的理解，而且能為其他反三角函數(shù)的學(xué)習(xí)做充分準(zhǔn)備，起到承上啟下的重要作用。

以下是筆者結(jié)合A老師的“反正弦函數(shù)”一課，對(duì)數(shù)學(xué)概念生成教學(xué)的思考，筆者認(rèn)為開(kāi)展概念生成教學(xué)需做到以下幾個(gè)步驟。

一、了解背景，聯(lián)系實(shí)際

“反正弦函數(shù)”這節(jié)課中，教師是這樣引入的：三角學(xué)起源于測(cè)量，天文測(cè)量、航海測(cè)量等都是利用三角形之間的邊角關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)的。教師介紹三角學(xué)起源的背景，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于實(shí)際應(yīng)用，那么數(shù)學(xué)在學(xué)生的頭腦中便鮮活起來(lái)。這樣的引入簡(jiǎn)單直接，更貼近學(xué)生的生活實(shí)際，更能激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。數(shù)學(xué)概念一般來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題的解決或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。在概念生成過(guò)程中，介紹概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，介紹概念的來(lái)龍去脈，能幫助學(xué)生更精準(zhǔn)地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

二、設(shè)計(jì)問(wèn)題，引發(fā)沖突

“反正弦函數(shù)”這節(jié)課中，教師是這樣拋出問(wèn)題的：在解決測(cè)量問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程中，我們總是會(huì)遇到這樣兩大類問(wèn)題：一類是已知角的值，求三角比的值。然后教師以問(wèn)題串的形式提出兩個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題（1）已知那么角x如何表示呢？問(wèn)題（2）已知那么角x如何表示呢？對(duì)于問(wèn)題（2），無(wú)法用特殊角表示，但從問(wèn)題（1）的解決過(guò)程中知道，可以利用三角函數(shù)圖象或者三角函數(shù)的周期性來(lái)理解方程的解，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從特殊到一般的過(guò)程。概念教學(xué)中，將概念生成過(guò)程問(wèn)題化，以問(wèn)題串的形式層層遞進(jìn)，激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中設(shè)計(jì)一些能引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的問(wèn)題，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去思考，才能有新的發(fā)現(xiàn)。

三、自主探究，合作交流

在“反正弦函數(shù)”一課中，教師讓學(xué)生討論以下問(wèn)題：正弦函數(shù)是否存在反函數(shù)？選取怎樣的區(qū)間，正弦函數(shù)才能存在反函數(shù)？如果請(qǐng)你定義反正弦函數(shù)，你會(huì)選取哪個(gè)區(qū)間？學(xué)生在探究的過(guò)程中體會(huì)到雖然正弦函數(shù)不存在反函數(shù)，但只要選取某一區(qū)間使得y=sinx在該區(qū)間上存在反函數(shù)，那么用正弦值表示相應(yīng)角的問(wèn)題就迎刃而解了，而反正弦函數(shù)研究的意義就在于此。數(shù)學(xué)概念呼之欲出了，而教師卻并不急于給出反正弦函數(shù)的定義，而是讓學(xué)生交流為什么選取這樣的區(qū)間的理由，讓學(xué)生在問(wèn)答過(guò)程中慢慢靠近反正弦函數(shù)的定義，讓學(xué)生真正參與數(shù)學(xué)概念生成的過(guò)程。概念教學(xué)中，教師要尊重學(xué)生的主體性，提供充分的思考空間，讓學(xué)生在探究問(wèn)題中表達(dá)自己的想法，修正自己的發(fā)現(xiàn)，完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

四、歸納總結(jié)，形成概念

在“反正弦函數(shù)”一課中，學(xué)生在給反正弦函數(shù)下定義的過(guò)程中，由于沒(méi)有現(xiàn)成的符號(hào)，學(xué)生難以表達(dá)時(shí)，教師幫助學(xué)生一起回顧：反函數(shù)與原函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的寫(xiě)法和在研究指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)如何引進(jìn)新的對(duì)數(shù)符號(hào)。于是，學(xué)生在教師的點(diǎn)撥和鼓勵(lì)下，根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，大膽給出反正弦符號(hào)x=sin-1y。教師及時(shí)肯定學(xué)生的表述，讓學(xué)生真正體會(huì)到知識(shí)收獲的快樂(lè)。最后，教師修正符號(hào)，引入新的符號(hào)arcsin，并且解釋arcsin的意義。從概念形成過(guò)程來(lái)看，學(xué)生進(jìn)行了充分的自主活動(dòng)，經(jīng)歷了概念發(fā)生的全部過(guò)程，這對(duì)學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)具有重要的意義。

五、吸收精華，感悟思想

“反正弦函數(shù)”一課，教師把教學(xué)重點(diǎn)放在概念生成的過(guò)程中。教師從具體實(shí)例著手，讓學(xué)生經(jīng)歷“從簡(jiǎn)單到復(fù)雜”“從特殊到一般”“從局部到整體”的思維過(guò)程，幫助學(xué)生逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生通過(guò)智力參與、主體體驗(yàn)、合作交流等方式，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)的過(guò)程，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義所在。利用本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想和研究方法，同樣也可以研究其余的反三角函數(shù)，于是后續(xù)的學(xué)習(xí)將更加自然順利。波利亞指出：“與其給人以死板的知識(shí)，不如給人以生動(dòng)活潑的方法，點(diǎn)石成金的策略和手段?！苯處煈?yīng)引導(dǎo)學(xué)生感悟隱含于概念形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的基石，是學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)理論和方法的關(guān)鍵，因此，教師在概念教學(xué)過(guò)程中必須注重概念生成的過(guò)程，幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。