王 歡

（安徽省合肥市第十中學(xué)，安徽 合肥）

一、“疑探并舉”內(nèi)涵

“三疑三探”教學(xué)模式包括“設(shè)疑自探”“解疑各探”“質(zhì)疑再探”三個(gè)環(huán)節(jié)，通過(guò)疑問(wèn)與探究相結(jié)合的教學(xué)手段，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)提出問(wèn)題，獨(dú)立思考問(wèn)題，合作探究問(wèn)題，同時(shí)養(yǎng)成敢于質(zhì)疑、善于表達(dá)、認(rèn)真傾聽(tīng)、勇于評(píng)價(jià)和不斷反思的良好品質(zhì)和習(xí)慣.

二、課堂實(shí)錄一則

（一）給出例題，解疑合探

例題 已知曾＞0，贈(zèng)＞0 且 2曾+8贈(zèng)-曾贈(zèng)=0，求曾+贈(zèng)的最值.

T：思考，盡可能想出更多的解法.

S1：（解法一）由 2曾+8贈(zèng)-曾贈(zèng)=0 知

故曾+贈(zèng)≥10.

T：利用基本不等式求出了最小值，是一種常見(jiàn)的解法，還有疑問(wèn)嗎？

S2：沒(méi)有驗(yàn)證等號(hào)成立條件，當(dāng)曾=2贈(zèng)時(shí)取等號(hào).

T：S2同學(xué)很細(xì)心，等號(hào)成立條件很重要，這是個(gè)容易忽略的地方，需要特別注意.

S3：用基本不等式只能求出最小值，怎么來(lái)證明沒(méi)有最大值呢？

S4：由知，如果令曾=8，為了滿足等式成立條件，須贈(zèng)∞+∞，此時(shí)（曾+贈(zèng)）∞+∞，故沒(méi)有最大值.

S5：我還想到了另外一種解釋，基本不等式其實(shí)就是對(duì)勾函數(shù)的一種特例，令，可知，此時(shí)化成一個(gè)關(guān)于t的對(duì)勾函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象可知，值域?yàn)椋?8，+∞），即無(wú)最大值.

T：這兩位同學(xué)分別從兩個(gè)角度來(lái)說(shuō)明問(wèn)題，第一位同學(xué)使用了數(shù)學(xué)中極限的思想，第二位同學(xué)對(duì)基本不等式的本質(zhì)，即對(duì)勾函數(shù)，有很深刻的理解.

S6：我也利用基本不等式解出了這道題目，由 2曾+8贈(zèng)-曾贈(zèng)=0 知，進(jìn)而故求出最小值為16.

T：這位同學(xué)用了兩次基本不等式，進(jìn)而求出最值.

S7：為什么兩種做法得到的答案不同呢？

S8：（馬上回答）他的做法不對(duì)，在第一次使用基本不等式等號(hào)時(shí)成立的條件是2曾=8贈(zèng)，而第二次是曾=贈(zèng)，顯然兩者不可能同時(shí)滿足，故等號(hào)條件無(wú)法成立.

T：不錯(cuò)，利用基本不等式求最值，一定要注意三個(gè)基本條件，特別是在多次使用基本不等式的時(shí)候，一定要注意等號(hào)成立條件是否相同.

S9：（解法二）由 2曾+8贈(zèng)-曾贈(zèng)=0 知，（曾-2）（贈(zèng)-8）=曾贈(zèng)-2曾-8贈(zèng)+16=16，故

T：S9同學(xué)非常聰明，巧妙地運(yùn)用了配湊的方法進(jìn)行求解.配湊法是一種較為高級(jí)的方法，需要平時(shí)的積累加上一定的靈感.

S10：（解法三）由 2曾+8贈(zèng)-曾贈(zèng)=0 知，此時(shí)，由曾＞0知曾-8＞-8，故f（曾）∈（-∞，2］∩［18，+∞），無(wú)最值.

T：用含有曾的代數(shù)式表示贈(zèng)，進(jìn)行替換，再利用基本不等式求最值，這也很常用的一種解法，可是得到的答案與前面不妥，他的解法有什么不妥的地方嗎？

S11：我認(rèn)為他做得不對(duì)，當(dāng)?shù)玫綍r(shí)，因?yàn)橘?zèng)＞0，故＞0，從而曾＞8，此時(shí)，曾+贈(zèng)的范圍是［18，+∞），與前兩種解法的答案就一致了.

T：很好，S10同學(xué)只看到了題目中曾＞0的條件，而S11同學(xué)能看到隱含的條件這也提醒我們?cè)谧鲱}的時(shí)候要注意挖掘隱含條件.

（二）教師引導(dǎo)，質(zhì)疑再探

T：以上的第一、第三種解法都是解決此類題目的常用方法，現(xiàn)在請(qǐng)大家回過(guò)頭來(lái)再看解題方法、過(guò)程，勇于提出你的疑問(wèn)，進(jìn)而探尋解法背后更加深刻的數(shù)學(xué)本質(zhì).

S12：第一種解法使用的是基本不等式，但是只有一個(gè)最值，而且這個(gè)最值還需要在等號(hào)成立的條件下才能求出，這就為解題帶來(lái)了不便，在第一種解法中，可以明顯感覺(jué)到這一點(diǎn)，我認(rèn)為，基本不等式既然源于對(duì)勾函數(shù)，那么它的數(shù)學(xué)本質(zhì)就應(yīng)該是函數(shù)，求此類最值問(wèn)題，也就轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)在所給區(qū)間上的最大值和最小值.

S13：我同意上一位同學(xué)的觀點(diǎn)，運(yùn)用基本不等式求解還有另外一個(gè)難點(diǎn)，就是如何配湊成標(biāo)準(zhǔn)形式，這需要一定的技巧，往往不容易想到.

T：以上兩位同學(xué)對(duì)第一種解法的本質(zhì)把握得非常到位，需要提醒的一點(diǎn)是S12同學(xué)在表述上有點(diǎn)問(wèn)題，“最值”是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)特定名稱，這也提醒我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候一定要注意語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性.函數(shù)思想是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，通過(guò)基本不等式這一章的學(xué)習(xí)，大家需要進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)對(duì)勾函數(shù)的掌握.

S14：老師，可不可以把所求的代數(shù)式曾+贈(zèng)看作是一個(gè)關(guān)于兩個(gè)變量曾和贈(zèng)的函數(shù)解析式，進(jìn)而把求曾+贈(zèng)的范圍轉(zhuǎn)化為求一個(gè)關(guān)于兩個(gè)變量的函數(shù)在定義域上的值域？

T：這位同學(xué)提出了一個(gè)很大膽的想法，把所求看出函數(shù)，也就是f（曾，贈(zèng)）=曾+贈(zèng)，這是函數(shù)嗎？如果是函數(shù)，它又是什么函數(shù)呢？

S15：我認(rèn)為f（曾，贈(zèng)）=曾+贈(zèng)是一個(gè)關(guān)于兩個(gè)變量的函數(shù)，之前我們學(xué)習(xí)的都是關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)，叫做一元函數(shù)，那么這個(gè)就應(yīng)該是二元函數(shù).

T：很好，有同學(xué)已經(jīng)給出了這種函數(shù)的名字，同學(xué)們準(zhǔn)備如何來(lái)研究二元函數(shù)呢？

S16：根據(jù)以前學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我認(rèn)為可以先作出函數(shù)的圖象，然后直接找出在給定定義域內(nèi)函數(shù)的值域即可.

T：這是一種很好的思路，只可惜以我們現(xiàn)在的知識(shí)還不能直接作出二元函數(shù)的圖象，還有同學(xué)有其他思路嗎？

S17：學(xué)完一元方程，學(xué)習(xí)二元方程的時(shí)候，使用的方法是“消元法”，這種消元的思想可以用來(lái)求解二元函數(shù)的值域，例如，例題中的第三種做法使用的是代換的方法，將代入f（曾，贈(zèng)）=曾+贈(zèng)得到，即轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)f（曾）在［8，+∞）的值域.其數(shù)學(xué)本質(zhì)就是消元的思想.

T：很好，這位同學(xué)用類比的方法，找到了求解二元函數(shù)的一種方法——“消元法”，消元的目的是將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為所熟悉的一元函數(shù)來(lái)求解.今天，我們首次給出二元函數(shù)這個(gè)概念，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下，在不等式這一章，還遇到過(guò)哪些二元函數(shù)的題目呢，又是如何求解的呢？

S18：題目：已知葬≥0，遭≥0，葬+遭=1，求的范圍.解法：通過(guò)基本不等式或消元法求解.

S19：題目：已知曾，贈(zèng)滿足條件的取值范圍.解法：運(yùn)用幾何意義求解.

T：通過(guò)解答同學(xué)們給出的題目，我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了二元函數(shù)，同時(shí)也總結(jié)出了求解二元函數(shù)給定條件求最值問(wèn)題的三種常用解法，即消元法、基本不等式法和幾何意義法.同學(xué)們今后見(jiàn)到有關(guān)二元函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意總結(jié)做法.在這個(gè)題目的三種不同解法中，函數(shù)思想作為連接其中的紐帶，使得各種做法之間又相互聯(lián)系，使得數(shù)學(xué)這門課程更加縝密！這也要求同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中在注重一題多解的同時(shí)，也要思考如何多解歸一，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

三、小節(jié)

認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，創(chuàng)新來(lái)自基本的認(rèn)知過(guò)程，就本質(zhì)而言，創(chuàng)新是廣義的認(rèn)知，當(dāng)原認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)化（推理）時(shí)出現(xiàn)斷線（疑問(wèn)），二者都必須借助質(zhì)疑、解疑才能重新建構(gòu)，進(jìn)而融會(huì)貫通，建立新認(rèn)知結(jié)構(gòu).

在自由質(zhì)疑、解疑合探的過(guò)程中，一方面，教師更容易發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的斷鏈處，從而進(jìn)行有效的彌補(bǔ)（例如S5同學(xué)在使用兩次基本不等式時(shí)沒(méi)有考慮等號(hào)成立條件，暴露出他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“未能理解基本不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)”的問(wèn)題）；另一方面，學(xué)生對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中內(nèi)容、關(guān)系重新審視反思，可能有所發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新，從而進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)、結(jié)構(gòu)的重新建構(gòu).（例如同學(xué)創(chuàng)新性地提出二元函數(shù)這個(gè)概念，在眾人合力探索之下，總結(jié)歸納出求解二元函數(shù)條件極值的幾種常見(jiàn)方法）.由此可見(jiàn)，創(chuàng)新始于質(zhì)疑，終于探索，要想創(chuàng)新必先敢于質(zhì)疑，想要?jiǎng)?chuàng)新必先勇于探索.“三疑三探”教學(xué)模式之所以能夠培養(yǎng)出創(chuàng)新性人才，其本質(zhì)盡在“疑探并舉”中.