鄧?yán)^華，涂文強(qiáng)，黃學(xué)文，彭 暉

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114； 2.廣州大學(xué) 工程抗震研究中心 廣東 廣州 510405；3.安徽省交通控股集團(tuán)有限公司，安徽 合肥 230088)

體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)具有預(yù)應(yīng)力筋套管布置簡(jiǎn)單、調(diào)整方便、施工快捷及可更換的優(yōu)勢(shì)，不僅被新建橋梁和結(jié)構(gòu)所采用，而且在已有結(jié)構(gòu)的加固中得到廣泛的使用[1]。在體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，體外預(yù)應(yīng)力筋在外荷載作用下的內(nèi)力(應(yīng)力)增量計(jì)算是一個(gè)很重要的課題，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究[2-11]，采用的方法有簡(jiǎn)化計(jì)算法和有限元法等。目前，采用有限元方法進(jìn)行體外預(yù)應(yīng)力筋內(nèi)力增量分析的模型有3種：① 常規(guī)帶剛臂桿單元模型(將體外預(yù)應(yīng)力筋與梁體在錨固塊和轉(zhuǎn)向塊或2個(gè)轉(zhuǎn)向塊之間視為固結(jié))；② 多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型(體外預(yù)應(yīng)力筋與梁體只在錨固塊處固結(jié)，在轉(zhuǎn)向塊處可自由滑移)；③ 等效節(jié)點(diǎn)荷載模型(不計(jì)體外預(yù)應(yīng)力筋剛度)，其只考慮將體外預(yù)應(yīng)力筋初張力轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載，不計(jì)其對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的貢獻(xiàn)。這3種有限元模型各有其優(yōu)、缺點(diǎn)：常規(guī)帶剛臂桿單元模型在橋梁通用程序中均有考慮，無(wú)需特殊處理，但其缺點(diǎn)是忽視了體外預(yù)應(yīng)力梁中體外預(yù)應(yīng)力筋與轉(zhuǎn)向塊之間可自由滑移而導(dǎo)致體外預(yù)應(yīng)力筋為常應(yīng)變構(gòu)件的受力特點(diǎn)，計(jì)算出的體外預(yù)應(yīng)力筋各段桿件內(nèi)力各不相同；多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型考慮了體外預(yù)應(yīng)力筋為常應(yīng)變構(gòu)件的受力特點(diǎn)，其計(jì)算結(jié)果較為合理，但是該模型較難與現(xiàn)有橋梁線彈性分析程序相融合(因轉(zhuǎn)向塊數(shù)量不同，涉及梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)數(shù)也不同，難以形成統(tǒng)一的單元?jiǎng)偠染仃?，結(jié)構(gòu)總剛矩陣也不再具有稀疏特征，難以一維壓縮存儲(chǔ))；等效節(jié)點(diǎn)荷載模型則無(wú)法計(jì)算體外預(yù)應(yīng)力筋在外荷載作用下的內(nèi)力(應(yīng)力)增量?，F(xiàn)有的研究成果在分析體外預(yù)應(yīng)力筋時(shí)均采用常規(guī)帶剛臂桿單元模型、多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型及等效節(jié)點(diǎn)荷載模型中的一種。因此，本研究在這3種模型基礎(chǔ)上，根據(jù)體外預(yù)應(yīng)力梁中體外預(yù)應(yīng)力筋與轉(zhuǎn)向塊之間可自由滑移而導(dǎo)致體外預(yù)應(yīng)力筋的受力特點(diǎn)，結(jié)合已有的橋梁線彈性分析程序[12]，擬提出適用于大跨徑節(jié)段施工體外預(yù)應(yīng)力橋梁計(jì)算的基于迭代的帶剛臂桿單元分析模型，并對(duì)一簡(jiǎn)支體外預(yù)應(yīng)力混凝土梁進(jìn)行計(jì)算，分析比較了4種模型的計(jì)算結(jié)果。

1 體外預(yù)應(yīng)力筋有限元模型

1.1 常規(guī)帶剛臂桿單元模型

常規(guī)帶剛臂桿單元模型如圖1所示。a，b均為帶剛臂平面桿單元節(jié)點(diǎn)號(hào)；i，j均為剛臂與直桿的連接點(diǎn)；XOY為固定不變的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系。

圖1 帶剛臂平面桿單元Fig.1 Plane truss element with rigid arm

設(shè)直桿ij在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)力Fij=[XiYiXjYj]T，節(jié)點(diǎn)位移為δij=[uiviujvj]T，兩者之間存在的關(guān)系：

Fij=Kij·δij。

(1)

式中：Kij為常規(guī)的平面桿單元在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的剛度矩陣，其所含元素的值除與桿單元截面面積、長(zhǎng)度及材料彈性模量有關(guān)外，還與單元方向及結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中軸的夾角有關(guān)。

(2)

(3)

剛臂兩端i和j與桿單元節(jié)點(diǎn)a和b之間的位移關(guān)系為：

δij=A·δab。

(4)

設(shè)節(jié)點(diǎn)a和b在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)力Fab=[XaYaMaXbMb]T，由虛功原理得到Fab與Fij之間的關(guān)系為：

Fab=AT·Fij。

(5)

聯(lián)立式(5)，(4)和(1)，可得到：

Fab=Kab·δab。

(6)

式中：Kab=AT·Kij·A就是所求的帶剛臂桿單元ab在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的剛度矩陣。

設(shè)體外預(yù)應(yīng)力筋的初張拉力為N0，它所引起的帶剛臂桿單元的等效節(jié)點(diǎn)力為：

(7)

式中：A0和T的計(jì)算式見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

1.2 多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型

該模型的主要特點(diǎn)[4]是認(rèn)為體外預(yù)應(yīng)力筋與轉(zhuǎn)向塊之間可自由滑移，因而體外預(yù)應(yīng)力筋在通常范圍內(nèi)為常應(yīng)變構(gòu)件。以三段四節(jié)點(diǎn)桿單元模型為例，求解其在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃嚕鐖D2所示。

圖2 多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型Fig.2 An element model for multi segment-node truss

圖2中，i,j,…,n為平面梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)，i′，k′，l′及n′分別為與i，k，l和n對(duì)應(yīng)的錨固塊和轉(zhuǎn)向塊處位置點(diǎn)。在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XOY下，對(duì)于平面梁?jiǎn)卧?，設(shè)各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(xm,ym)，m=i,j,…,n,發(fā)生的節(jié)點(diǎn)位移為[umvmθm]T,m=i,j,…,n；對(duì)于體外預(yù)應(yīng)力筋，設(shè)各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(xm,ym),m=i′，k′，l′，n′，對(duì)于體外預(yù)應(yīng)力筋上任意一節(jié)點(diǎn)(如：i′)。設(shè)其節(jié)點(diǎn)位移為[ui′vi′θi′]T，在小位移假定下，它與平面梁上對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為：

(8)

式(8)為體外預(yù)應(yīng)力筋各節(jié)點(diǎn)位移用平面梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移計(jì)算的表達(dá)式，其體外預(yù)應(yīng)力筋i′k′l′n′的總伸長(zhǎng)量ΔLi′k′l′n′則可用δikln=[uiviθiukvkθkulvlθlumvmθm]T表示為：

ΔLi′k′l′n′=F·G·S·δikln。

(9)

在體外預(yù)應(yīng)力筋為常應(yīng)變構(gòu)件的基礎(chǔ)上，體外預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)變?chǔ)舏′k′l′n′的計(jì)算式為：

εi′k′l′n′=ΔLi′k′l′n′/Li′k′l′n′=B·δikln。

(10)

式(9)中F，G和S以及式(10)中B的具體表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[4]，且式(10)中Li′k′l′n′為體外預(yù)應(yīng)力筋i′k′l′n′的初始長(zhǎng)度。

運(yùn)用虛功原理，可得到體外預(yù)應(yīng)力筋三段四節(jié)點(diǎn)桿單元在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的剛度矩陣為：

Ki′k′l′n′=EABTB/Li′k′l′n′。

(11)

式中：E和A分別為體外預(yù)應(yīng)力筋的彈性模量和截面面積。

當(dāng)體外預(yù)應(yīng)力筋的初張拉力為N0時(shí)，它所引起的等效節(jié)點(diǎn)力為：

(12)

1.3 等效節(jié)點(diǎn)荷載模型

等效節(jié)點(diǎn)荷載模型基于式(7)得到體外預(yù)應(yīng)力筋初張力的等效節(jié)點(diǎn)力，再將其施加于結(jié)構(gòu)上，該等效節(jié)點(diǎn)力在后續(xù)計(jì)算中始終保持不變。該模型忽略了體外預(yù)應(yīng)力筋對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的貢獻(xiàn)，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不夠精確。又因無(wú)法計(jì)算體外預(yù)應(yīng)力筋在活載作用下的應(yīng)變(應(yīng)力)增量，極大地限制了該模型的使用范圍。

1.4 基于迭代的帶剛臂桿單元模型

為避免常規(guī)帶剛臂桿單元模型和多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型的缺點(diǎn)，同時(shí)，又利用2種模型的優(yōu)點(diǎn)，作者提出基于迭代的帶剛臂桿單元分析模型。

對(duì)于如圖2所示的三段四節(jié)點(diǎn)體外預(yù)應(yīng)力筋i′k′l′n′，基于常規(guī)帶剛臂桿單元模型將其劃分成3個(gè)帶剛臂桿單元ik(兩端剛臂分別為ii′和kk′)，kl(兩端剛臂分別為kk′和ll′)及l(fā)n(兩端剛臂分別為ll′和nn′)。根據(jù)常規(guī)的線彈性結(jié)構(gòu)分析，可分別得到直桿i′k′，k′l′及l(fā)′n′的軸力。根據(jù)體外預(yù)應(yīng)力筋與轉(zhuǎn)向塊之間可自由滑移而導(dǎo)致體外預(yù)應(yīng)力筋為常應(yīng)變(應(yīng)力)構(gòu)件的受力特點(diǎn)，取3個(gè)軸力的平均值為假定的常數(shù)，分別求出3個(gè)軸力與其平均值的差，再將每根桿件在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換為3個(gè)帶剛臂桿單元ik，kl及l(fā)n的等效節(jié)點(diǎn)荷載(實(shí)際上就是采用式(7))，第2次進(jìn)行線彈性結(jié)構(gòu)分析(此次分析所施加的節(jié)點(diǎn)荷載僅為其平均值的差形成的等效節(jié)點(diǎn)荷載)，求出位移增量后與第1次結(jié)構(gòu)分析得到的位移相加得到位移總量，再次求解得到直桿i′k′，k′l′和l′n′的軸力，由此步驟重復(fù)下去，直至計(jì)算得到的3個(gè)軸力與其平均值之差均小于規(guī)定的容許值為止。

2 算例分析

某體外預(yù)應(yīng)力簡(jiǎn)支梁橋如圖3所示?；炷翉椥阅Ａ縀c為30 GPa，混凝土梁截面面積Ac為0.5 m2，截面慣性矩Ic為1/24 m4，體外預(yù)應(yīng)力筋彈性模量Es=200 GPa，截面面積As=0.030 8 m2，荷載P=30 kN對(duì)稱作用于節(jié)點(diǎn)2，3處。

本研究以平面桿系靜力分析通用程序FR2為基礎(chǔ)[10]，將多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型和基于迭代的帶剛臂桿單元模型嵌入其中，對(duì)本算例進(jìn)行了分析，4種模型及文獻(xiàn)[4]的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1(因多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型與文獻(xiàn)[4]的計(jì)算結(jié)果完全相同，故列于同一列中)。以多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，其他3種模型的誤差見(jiàn)表2。

圖3 集中力作用的體外預(yù)應(yīng)力梁(單位：cm)Fig.3 External prestressing beam under concentrated force(unit：cm)

從表1和表2中可以看出，以多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型的計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，無(wú)論是位移還是體外筋軸力，基于迭代的帶剛臂桿單元模型精度最高；并且該模型在迭代時(shí)僅需重新計(jì)算不平衡力，無(wú)需重新形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣，因而該方法較適用于按節(jié)段施工的大跨度橋梁分析。

表1 位移和內(nèi)力計(jì)算結(jié)果Table 1 Results for the displacement and the internal force

表2 模型和誤差Table 2 Models and errors

3 結(jié)論

1)介紹了體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)常用的3種分析模型，即常規(guī)帶剛臂桿單元模型、等效節(jié)點(diǎn)荷載模型及多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型。在3種模型的基礎(chǔ)上，提出了基于迭代的帶剛臂桿單元模型。

2)基于4種模型，對(duì)一體外預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支梁進(jìn)行了計(jì)算分析。以多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型得到的計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，基于迭代的帶剛臂桿單元模型得到的位移最大誤差為7.2%，體外筋軸力的最大誤差為12.5%，與其他2種模型相比精度大為提高；相對(duì)于多段多節(jié)點(diǎn)桿單元模型，基于迭代的帶剛臂桿單元模型在程序設(shè)計(jì)及與現(xiàn)有程序連接更為便捷。

此外，體外預(yù)應(yīng)力筋在轉(zhuǎn)向塊處存在的滑移和接觸及可能的梁體大位移使得體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)本質(zhì)上是個(gè)幾何非線性(極限狀態(tài)下還涉及材料非線性)問(wèn)題，這也是筆者正在研究擬解決的問(wèn)題。