楊 靖,毛 瑞,杜鳳懷,白風(fēng)科,黃若超

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所,西安 710065)

0 引言

制導(dǎo)火箭武器系統(tǒng)因其反應(yīng)迅速、火力猛、威力大、成本適中,火力密度高等特點(diǎn),近年來受到很多國家重視[1]。制導(dǎo)火箭彈作為一個系統(tǒng),其總體性能的優(yōu)劣依賴于各子系統(tǒng)的性能以及各子系統(tǒng)之間的協(xié)調(diào)配合。為提高毀傷效果,殺傷爆破型或侵徹型等戰(zhàn)斗部往往要求制導(dǎo)火箭彈以大落角命中目標(biāo)并具有一定的末速。由于飛行過程中,只有發(fā)動機(jī)推力和阻力做功,全彈道速度方案主要依賴于發(fā)動機(jī)推力方案設(shè)計(jì)和彈道方案設(shè)計(jì)。兼顧戰(zhàn)斗部要求和發(fā)動機(jī)推力方案,尋找合適的飛行彈道,優(yōu)化發(fā)動機(jī)技術(shù)指標(biāo),對火箭彈總體設(shè)計(jì)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

制導(dǎo)火箭彈飛行彈道的優(yōu)化問題實(shí)質(zhì)是最優(yōu)控制問題。由于描述制導(dǎo)火箭彈運(yùn)動的非線性常微分方程組較為復(fù)雜,大空域飛行過程中空氣動力非線性特性突出,且控制變量和狀態(tài)變量往往具有約束,一般難以解析求解彈道優(yōu)化問題,只能尋求數(shù)值解。高斯偽譜法與傳統(tǒng)直接法等數(shù)值方法相比,因其參數(shù)化得到的非線性規(guī)劃問題的karush-kuhn-tucker(KKT)條件與離散的哈密頓邊值問題的一階最優(yōu)性條件具有一致性[2],近年來受到國內(nèi)外廣泛關(guān)注。一個典型和顯著的應(yīng)用是用于完成被稱為“零推進(jìn)劑機(jī)動”的國際空間站大規(guī)模姿態(tài)調(diào)整任務(wù),通過基于偽譜法的軌跡優(yōu)化,為NASA節(jié)省了100萬美元的推進(jìn)劑經(jīng)費(fèi)[3-4]。國內(nèi)學(xué)者也開展了大量的相關(guān)研究。楊博[5]等人基于高斯偽譜法研究了化電混合推進(jìn)劑系統(tǒng)轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。張佩俊等人針對復(fù)雜多約束條件下空天飛機(jī)上升段燃料最優(yōu)控制問題,提出了一種基于高斯偽譜法的空天飛機(jī)上升段軌跡優(yōu)化策略[6]。

文中針對制導(dǎo)火箭彈總體優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,提出了一種基于高斯偽譜法的總體優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。為優(yōu)化發(fā)動機(jī)技術(shù)要求,確保戰(zhàn)斗部對飛行彈道的大落角和末速要求,將落角作為終端約束,取目標(biāo)函數(shù)為最大化末速,進(jìn)行了方案彈道優(yōu)化,為發(fā)動機(jī)技術(shù)要求的優(yōu)化提供參考。

1 總體優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

1.1 制導(dǎo)火箭彈運(yùn)動方程

假設(shè)地面坐標(biāo)系為慣性系,制導(dǎo)火箭彈視為可控質(zhì)點(diǎn),僅考慮縱向平面內(nèi)的運(yùn)動,攻角響應(yīng)近似為一階慣性環(huán)節(jié),則制導(dǎo)火箭彈的運(yùn)動模型可簡化表述為:

(1)

式中:V為質(zhì)心速度;θ為彈道傾角;x與y分別為縱向平面內(nèi)的質(zhì)心位置;m為質(zhì)量;P為發(fā)動機(jī)推力;q為動壓;S為特征面積;阻力系數(shù)cx和升力系數(shù)cy是馬赫數(shù)和攻角α的函數(shù);重力加速度g隨高度變化;mc為質(zhì)量流量;Tα為攻角響應(yīng)時間常數(shù);αc為攻角指令。

1.2 優(yōu)化問題描述

1)性能指標(biāo)

為保證戰(zhàn)斗部的毀傷效果,將性能指標(biāo)取為末端速度最大,即:

J=maxVf

(2)

2)初始狀態(tài)約束

初始狀態(tài)為制導(dǎo)火箭彈發(fā)射點(diǎn)狀態(tài):

(3)

3)終端狀態(tài)約束

針對固定目標(biāo),對彈著點(diǎn)狀態(tài)進(jìn)行約束:

(4)

4)控制變量約束

由資歷高、經(jīng)驗(yàn)豐富的高級職稱人員組成專家組，參照有關(guān)管理規(guī)定、處方管理?xiàng)l例、單位及科室具體情況等，制定系統(tǒng)的用藥規(guī)范和細(xì)則，印刷后發(fā)放給各個科室。同時專家組制定藥物處方評估標(biāo)準(zhǔn)，內(nèi)容應(yīng)包括藥物的使用頻率、藥物利用指數(shù)、藥物的耐藥性情況、處方的合理性等方面[3] 。

考慮制導(dǎo)火箭彈的穩(wěn)定性能與控制性能,對攻角指令進(jìn)行限制:

(5)

2 高斯偽譜法

高斯偽譜法是一種將連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題的參數(shù)化方法。高斯偽譜法的基本原理為:將狀態(tài)變量和控制變量在一系列高斯點(diǎn)上離散,并以所選高斯點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造全局拉格朗日插值多項(xiàng)式來逼近狀態(tài)變量和控制變量,以全局插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)近似系統(tǒng)的動力學(xué)方程,從而將微分方程組約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組約束。性能指標(biāo)中的積分項(xiàng)由高斯積分計(jì)算。終端狀態(tài)由初始狀態(tài)和對右函數(shù)的積分獲得。經(jīng)上述變換,可將連續(xù)最優(yōu)控制問題參數(shù)化為非線性規(guī)劃問題。

2.1 系統(tǒng)微分方程的離散

考慮一般形式的非線性系統(tǒng)動力學(xué)方程:

(6)

式中:x∈n為狀態(tài)向量;u∈m為控制向量;f:n×n×→n為連續(xù)向量函數(shù)。為應(yīng)用正交多項(xiàng)式的性質(zhì),采用高斯偽譜法需要將時間區(qū)域[t0,tf]轉(zhuǎn)換到[-1,1]上,為此引入變量τ對時間t進(jìn)行變換,即:

(7)

從而,系統(tǒng)動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為:

(8)

選取N個Lagrange插值基函數(shù)Lk近似逼近狀態(tài)向量,可得:

(9)

(10)

其中,τk(k=0,…,N)為如下N次Legendre正交多項(xiàng)式的零點(diǎn):

(11)

對式(9)求導(dǎo),可得以插值多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)為近似的狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù):

(12)

其中,微分矩陣D∈N×(N+1)通過下式計(jì)算:

(13)

將式(12)代入式(8),得到狀態(tài)向量在配點(diǎn)上應(yīng)滿足的代數(shù)約束:

(14)

綜上所述,將系統(tǒng)動力學(xué)微分方程參數(shù)化為了代數(shù)方程約束。

2.2 終端約束的離散

積分動力學(xué)方程(8)可得終端狀態(tài):

(15)

采用高斯積分公式近似上式中的積分項(xiàng),可得離散化終端狀態(tài):

(16)

通過上述離散過程,將方案彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為了非線性規(guī)劃問題,其設(shè)計(jì)變量包括離散點(diǎn)的狀態(tài)向量(X1,X2,…,XN)和控制向量(U1,U2,…,UN)及終端時刻tf,其約束條件為動力學(xué)方程約束及邊界條件約束。目前對于非線性規(guī)劃問題的數(shù)值求解方法有很多,貫序二次規(guī)劃算法因其穩(wěn)定性和精度優(yōu)勢應(yīng)用最為廣泛。因此,文中采用貫序二次規(guī)劃法對經(jīng)高斯偽譜法離散化的方案彈道優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

3 數(shù)值仿真分析

以某制導(dǎo)火箭彈的總體論證為例,進(jìn)行數(shù)值仿真分析。為保證某型戰(zhàn)斗部的毀傷效果,需要約束落角和末速。在方案彈道優(yōu)化中,將落角作為終端約束條件,目標(biāo)函數(shù)為最大化末速,射程依次取為25 km、35 km、45 km、55 km、65 km、75 km、85 km、110 km、130 km,來驗(yàn)證發(fā)動機(jī)方案能否在全射程范圍內(nèi)滿足戰(zhàn)斗部的技術(shù)要求。

制導(dǎo)火箭彈初始狀態(tài)約束為:x0=0,y0=0,α0=0,20°≤θ0≤55°,V0=25 m/s,m0=342 kg。終端彈道傾角約束取為θf∈[-90°,-80°]。氣象條件采用空軍標(biāo)準(zhǔn)氣象條件。

圖1給出了不同射程制導(dǎo)火箭彈速度隨時間的變化曲線。圖2展示了不同射程彈道傾角隨時間的變化曲線。表1列出了不同射程對應(yīng)的落角和末速。可以看出,在保證落角約束的條件下,隨著射程的增加,末速最大值先減小后增大再減小。這是由于火箭彈飛行過程中只有發(fā)動機(jī)推力和阻力做功。仿真中,不同射程發(fā)動機(jī)參數(shù)一致,發(fā)動機(jī)工作過程階段,火箭彈飛行軌跡差異不大,所以發(fā)動機(jī)推力做功對于不同射程差別不大。阻力系數(shù)與飛行高度和馬赫數(shù)相關(guān),25 km到130 km的射程對應(yīng)的彈道高變化范圍較大,高空飛行占總飛行過程的比重較大時,阻力做功相對較小,末速較大;另外,總飛行路徑較短,阻力做功相對較小,末速較大。

圖1 不同射程速度隨時間的變化曲線

圖2 不同射程彈道傾角隨時間的變化曲線

射程/km落角/(°)末速/(m/s)2580.65448.43580.83434.74581.12434.35580.44449.56580.31465.77580.28480.68580.17493.211080.10591.913080.06520.1

4 結(jié)束語

文中針對制導(dǎo)火箭彈總體優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,提出了一種基于高斯偽譜法的總體優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。為優(yōu)化發(fā)動機(jī)技術(shù)要求,確保戰(zhàn)斗部對飛行彈道的大落角和末速要求,將落角作為終端約束,取目標(biāo)函數(shù)為最大化末速,進(jìn)行了方案彈道優(yōu)化。通過數(shù)值仿真,給出了在滿足落角約束條件下最大末速隨射程的變化規(guī)律。仿真實(shí)例中,射程跨度較大時,制導(dǎo)火箭彈彈道式飛行高度變化范圍較廣,在保證落角約束的條件下,隨著射程的增加,末速最大值先減小后增大再減小。因此,在工程實(shí)踐中,對于大射程跨度大空域飛行制導(dǎo)火箭彈的總體方案技術(shù)指標(biāo)分解,不能僅選取最近射程和最遠(yuǎn)射程進(jìn)行驗(yàn)證,要充分驗(yàn)證全射程范圍的可行性。