張永強(qiáng)，荊建平，李亞偉，牛超陽，楊廣振

（1.中國航發(fā)商用航空發(fā)動機(jī)有限責(zé)任公司，上海 200240；2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240）

轉(zhuǎn)子在航空發(fā)動機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械中屬于核心部件，工作在高溫、高壓和高負(fù)荷的惡劣環(huán)境中，極其容易發(fā)生不對中、碰摩、裂紋等典型故障，造成嚴(yán)重的損失。因此對轉(zhuǎn)子進(jìn)行有效故障診斷對旋轉(zhuǎn)機(jī)械安全運(yùn)轉(zhuǎn)有著重大的意義。

目前對于旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子的故障診斷一般針對轉(zhuǎn)子振動信號，常見的轉(zhuǎn)子振動信號診斷方法大都通過時域分析或譜分析，提取振動信號時域或頻域特征量，建立判別函數(shù)來識別轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的工作狀態(tài)[1-6]，這類方法對軸承、齒輪等系統(tǒng)較為簡單、故障較為突出的情況是有效的，但是由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及工作狀態(tài)的復(fù)雜性，有時很難準(zhǔn)確提取時域或頻域的特征量。近年來，出現(xiàn)了一些基于模式識別的方法，基于AR模型的故障診斷方法得到了廣泛的應(yīng)用[7-10]。

AR模型的模型參數(shù)凝聚了系統(tǒng)狀態(tài)的重要信息，對系統(tǒng)狀態(tài)變化規(guī)律極其敏感，準(zhǔn)確的AR模型能夠深刻、集中地表達(dá)動態(tài)系統(tǒng)的客觀規(guī)律。因此建立精確的模型是進(jìn)行故障診斷的第一步，本文以此為出發(fā)點，充分考慮了AR模型殘差和信號時變性的特點，對比討論了不同的模型，提出了Env-ARARX模型，能提高模型的匹配度。最后通過單因素方差分析的方法分析Env-AR-ARX模型的殘差判斷轉(zhuǎn)子的故障類型。通過對本特利轉(zhuǎn)子典型故障（碰摩、單裂紋、雙裂紋）振動信號的分析，驗證了該方法能有效應(yīng)用于轉(zhuǎn)子的故障診斷。

1 AR模型故障診斷理論

1.1 AR模型的概念

一個時不變的穩(wěn)定時間序列yn可以表示為之前序列yn-i(i=1,2,3,…,m)和高斯白噪聲vn的線性疊加的形式，見式(1)。

式中：m和ai分別表示AR模型的階數(shù)和系數(shù)。通常情況下，假設(shè)vn是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲，并且與yn-i保持相互獨(dú)立。

1.2 AR模型的參數(shù)估計

建立AR模型的主要任務(wù)是把模型的階數(shù)m和模型系數(shù)ai全部估計出來[11]。

AR模型階數(shù)的確定是建模中最重要的一步。階數(shù)過大，會產(chǎn)生偽波譜峰值以及引起統(tǒng)計值的不穩(wěn)定性，同時降低計算效率，階數(shù)過小，則會引起波譜峰值過于平滑，降低模型的精度。本文采用AIC準(zhǔn)則來確定模型階數(shù)，見式(2)。

AIC取得最小值時對應(yīng)該模型的最合適階數(shù)。

求解AR模型系數(shù)最常用的方法是利用信號的自相關(guān)系數(shù)來獲得。AR模型應(yīng)滿足Yule-Walker方程。

矩陣形式為

本文用Levinson迭代算法求解Yule-Walker方程估計出AR模型的階數(shù)、系數(shù)以及方差。

1.3 AR模型的檢驗

為了評價AR模型匹配程度，引入匹配度，匹配度fit的定義為

式中：y是驗證數(shù)據(jù)，是模型輸出數(shù)據(jù)。

模型確定之后，需要對模型輸出殘差進(jìn)行正態(tài)性檢驗，本文使用Jarque-Bera檢驗（簡稱JB檢驗）。檢驗統(tǒng)計量J可以表示為

式中：KJ、SJ分別表示樣本的峭度和偏斜度，nJ表示樣本大小，一般要求nJ＞100，J服從2自由度的卡方分布。J=0表示檢驗樣本服從高斯分布，J=1表示檢驗樣本不服從高斯分布。

1.4 單因素方差分析

本文用單因素方差分析的方法分析殘差，通過模型匹配來診斷故障。輸入AR模型得到了輸入信號的殘差，分析殘差，確定殘差屬于哪種故障狀態(tài)，即可判斷輸入信號對應(yīng)的故障及故障類型。

單因素方差分析的本質(zhì)是確定殘差的某個樣本是否屬于殘差的某個狀態(tài)的總體。如果該樣本與該總體的均值和方差都無差異，由于殘差是高斯分布的，那么可以確定該殘差樣本屬于該總體。如果該樣本與該總體的均值和方差存在顯著差異，那么可以確定該殘差不屬于該總體。

問題可以轉(zhuǎn)化為假設(shè)檢驗，設(shè)H0：待檢驗樣本與總體之間無顯著差異。檢驗結(jié)果如果拒絕原假設(shè)，則認(rèn)為各組之間存在顯著差異，待檢驗因素對指標(biāo)有顯著影響。Pr反映概率，α表示顯著因子。

Pr＞α，則接受H0，待檢驗因素對指標(biāo)無顯著影響。

Pr＜α，則拒絕H0，待檢驗因素對指標(biāo)有顯著影響。

2 AR模型的建立

本文利用文獻(xiàn)[12]的方法得到航空發(fā)動機(jī)低壓振動源信號，見圖1。

2.1 AR模型建模

以該信號為例，討論AR模型的建模方法。根據(jù)AIC準(zhǔn)則確定AR模型最優(yōu)階，AIC值隨著模型階數(shù)變化趨勢見圖2。從圖2可以看出，AIC值隨著模型階數(shù)的增大而降低，但是當(dāng)模型階數(shù)大于200后，趨于穩(wěn)定。階數(shù)的增加會降低計算效率，為了兼顧模型精度和計算效率，選取模型階數(shù)為200。確定模型的階數(shù)后，通過1.2小節(jié)中的參數(shù)估計方法得到AR模型系數(shù)，建模結(jié)果見圖3。

該模型的匹配度僅為67.41%，圖4給出了該模型殘差的時序圖和分布圖。圖4（a）所示殘差的范圍為[-5，5]，幅值偏大。圖4(b)給出了殘差分布圖，使用JB檢驗殘差的高斯性，由式(6)得檢驗統(tǒng)計量J=1，說明殘差不滿足高斯分布。

圖1 低壓軸振動信號的時頻圖

圖2 AIC值隨著模型階數(shù)的變化趨勢圖

圖3 AR模型建模結(jié)果

2.2 AR-ARX模型建模

由上節(jié)知，直接由信號得到AR模型的殘差幅值偏大，說明殘差中存在著一定的信息，通常情況下，可以假設(shè)AR模型的輸入和輸出的殘差主要是由外部的一些未知激勵導(dǎo)致的?；谶@一假設(shè)，可以用AR模型的殘差作為輸入信號，建立帶外部輸入激勵的AR模型（AR-ARX模型），見圖5，模型的階數(shù)和系數(shù)確定方法同上。

圖4 AR模型殘差的時序圖及分布圖

圖5 AR-ARX模型建模結(jié)果

該模型的階數(shù)為[200，80]，由于引入殘差的因素，模型的匹配度由之前的67.41%上升到93.18%。圖6給出了該模型殘差的時序圖和分布圖。殘差的幅值范圍為[-1，1]，使用JB檢驗殘差的高斯性得J=0，說明殘差滿足高斯分布。以上結(jié)果表明，殘差的引入能夠極大地優(yōu)化模型，提高模型的匹配度。

圖6 AR-ARX模型殘差的時序圖及分布圖

2.3 Env-AR-ARX模型建模

在觀察航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子信號時，發(fā)現(xiàn)即使轉(zhuǎn)速穩(wěn)定的情況下，振動信號的幅值依然是不穩(wěn)定的，這可能是由于負(fù)載變化導(dǎo)致的，通常情況下時域信號的包絡(luò)線中包含了信號幅值變換的信息。

信號包絡(luò)線的信息（負(fù)載變化的信息）可以通過式(7)提取。

式中：lu(t)是觀測信號的上包絡(luò)線，ld(t)是觀測信號的下包絡(luò)線，(t)表示負(fù)載變化信息。首先獲取信號的上下包絡(luò)線，0～0.2 s的包絡(luò)線見圖7。

圖7 信號包絡(luò)線

因此建立AR模型時，在上文的基礎(chǔ)上，建立信號的多輸入的ARX模型，把AR模型的殘差和負(fù)載變化2個輸入信號作為ARX模型的兩個輸入激勵，建立自回歸模型，簡稱為Env-AR-ARX模型，見圖8。

圖8 Env-AR-ARX模型建模結(jié)果

該模型的階數(shù)為[200，500，80]，匹配度提高到了95.95%。圖9給出了該模型殘差的時序圖和分布圖。殘差的幅值范圍為[-1，1]，使用JB檢驗殘差的高斯性得J=0，說明殘差滿足高斯分布。以上結(jié)果表明負(fù)載變化信息的引入能夠提高模型的匹配度。

2.4 建模總結(jié)

前文中，我們分別使用AR模型、AR-ARX模型和Env-AR-ARX模型對信號建模，各個模型的階數(shù)、匹配度(fit)、殘差范圍、殘差JB檢驗統(tǒng)計量J見表1。表1中Env-AR-ARX模型的匹配度、殘差范圍以及殘差的高斯性都比較突出，證明所提出的Env-ARARX建模方法的有效性和正確性。

圖9 Env-AR-ARX模型殘差的時序圖及分布圖

表1 各模型的建模效果指標(biāo)

對于時間序列x(t)，Env-AR-ARX建模方法的總體過程分為以下幾步：

（1）確定時間序列x(t)的AR模型的最優(yōu)階p，建立x(t)的p階AR模型，見式(8)。

式中：φxj表示AR模型的系數(shù)，ex表示模型的殘差。根據(jù)上式可以確定AR模型的殘差。

（2）求取時間序列x(t)的上包絡(luò)線lu(t)和下包絡(luò)線ld(t)，根據(jù)上下包絡(luò)線獲取時間序列的負(fù)載變化的信息，見式(7)。

（3）將時間序列x(t)的AR模型殘差ex、包含負(fù)載變化的信號作為模型的輸入，建立時間序列x(t)的Env-AR-ARX模型，見式(9)。

式中：[na，nb，nc]表示模型的階數(shù)。

3 故障診斷方法的實驗驗證

在本特利轉(zhuǎn)子實驗臺上模擬多種故障。通過電火花加工裂紋軸來模擬裂紋故障，通過螺釘?shù)哪Σ聊M碰摩故障。得到不同故障形式下圓盤處振動位移信號,試驗臺的基本結(jié)構(gòu)見圖10。

圖10 本特利試驗臺

選擇正常狀態(tài)下的數(shù)據(jù)、單裂紋狀態(tài)下的數(shù)據(jù)、雙裂紋狀態(tài)下的數(shù)據(jù)、碰磨狀態(tài)下的數(shù)據(jù)，建立4種狀態(tài)的Env-AR-ARX模型，模型階數(shù)及模型的匹配度見表2。正常狀態(tài)下的Env-AR-ARX模型簡記為NOR模型，單裂紋狀態(tài)下的Env-AR-ARX模型簡記為LW模型，雙裂紋狀態(tài)下的Env-AR-ARX模型簡記為LWL模型，碰磨狀態(tài)下的Env-AR-ARX模型簡記為PM模型。

表2 4種狀態(tài)下模型階數(shù)及模型匹配度

為了驗證轉(zhuǎn)子信號的具體狀態(tài)，下面用單因素方差分析的方法進(jìn)行判斷。將觀測數(shù)據(jù)導(dǎo)入到4種模型中，檢驗各組殘差之間是否存在顯著差異，對輸出殘差進(jìn)行單因素方差分析，取顯著水平α=0.05。若概率值Pro＞α，說明接受H0假設(shè)，組間無差異。若Pro＜α，說明拒絕H0假設(shè)，組間存在差異。

選取單裂紋故障數(shù)據(jù)12秒、雙裂紋故障數(shù)據(jù)12秒、碰磨故障數(shù)據(jù)12秒，每個狀態(tài)下的數(shù)據(jù)均分為12組，每組1秒。將單裂紋故障數(shù)據(jù)12組導(dǎo)入到模型LW中，模型LW輸出12組殘差信號，將這12組殘差信號作為單裂紋故障的樣本，記為YB_LW。同理，得到雙裂紋12組殘差信號作為雙裂紋故障的樣本，記為YB_LWL，12組碰摩殘差信號作為碰磨故障的樣本，記為YB_PM。至此，建立了轉(zhuǎn)子在不同狀態(tài)下的樣本庫。

接下來對觀測信號進(jìn)行故障診斷。設(shè)某組觀測信號wz(t)來自于轉(zhuǎn)子正常狀態(tài)、單裂紋狀態(tài)、雙裂紋狀態(tài)、碰磨狀態(tài)這4種狀態(tài)中的一種。對其診斷的流程圖見圖11。

圖11 基于Env-AR-ARX模型的故障診斷流程圖

圖12 待檢測信號對YB_NOR的匹配結(jié)果

下面以碰摩狀態(tài)下的觀測數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析，將其分為12組（這12組信號稱為待檢測信號），將這12組數(shù)據(jù)分別導(dǎo)入到模型NOR中，輸出12組殘差數(shù)據(jù)。將這12組殘差數(shù)據(jù)與樣本YB_NOR進(jìn)行匹配，Pro=0.0011＜α，結(jié)果見圖12。圖12表明，后12組數(shù)據(jù)的離散程度較前12組數(shù)據(jù)大，說明待檢測的12組數(shù)據(jù)與YB_NOR存在顯著差異。說明這12組數(shù)據(jù)來自于故障狀態(tài)。

為了進(jìn)一步說明這12組信號來自于哪種故障狀態(tài)，分別將這12組信號輸入模型LW、模型LWL、模型PM，輸出殘差分別用CC_LW、CC_LWL、CC_PM表示。用CC_LW與YB_LW匹配，用CC_LWL與YB_LWL匹配，用CC_PM與YB_PM匹配，結(jié)果見圖13。圖13（a）表明，CC_LW與YB_LW不匹配，說明觀測信號不存在單裂紋故障，同時Pro=0.0024＜α；圖 13（b）表 明 ，CC_LWL 與YB_LWL不匹配，說明觀測信號不存在雙裂紋故障，同時 Pro=0.0035＜α；圖 13（c）表明 ，CC_PM 與YB_PM匹配，同時Pro=0.796 6＞α，說明觀測信號來自于轉(zhuǎn)子碰磨故障，和實際相符，從而實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的故障診斷。

本小節(jié)通過在本特利轉(zhuǎn)子上采集不同故障的振動信號，采用基于Env-AR-ARX模型的故障診斷方法進(jìn)行診斷，診斷結(jié)果說明了該方法的正確性與實用性。

圖13 待檢測信號對不同樣本匹配結(jié)果

4 結(jié)語

本文研究了AR模型的基本原理、參數(shù)估計方法以及基于單因素方差分析的模型匹配，充分考慮信號的殘差與時變性，對比分析了不同AR模型建模時的匹配度、殘差范圍及高斯性，提出了Env-ARARX模型。在本特利試驗臺模擬轉(zhuǎn)子的單裂紋、雙裂紋、碰摩等常見故障，得到不同故障對應(yīng)的振動數(shù)據(jù)，采用基于Env-AR-ARX模型的故障診斷方法能夠?qū)τ^測信號的故障類型進(jìn)行準(zhǔn)確診斷，驗證了本文所提方法在轉(zhuǎn)子典型故障診斷中的可行性。