李宇飛，宋萬清，陳劍雪

（上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620）

滾動(dòng)軸承的故障很多時(shí)候不是突然出現(xiàn)的，存在一個(gè)從磨損到故障的緩變過程[1]。故障趨勢(shì)預(yù)測(cè)對(duì)于實(shí)現(xiàn)機(jī)械設(shè)備的故障預(yù)警和預(yù)報(bào)、保障長(zhǎng)期安全運(yùn)行、減低維修費(fèi)用和提高使用率具有重大的意義。故障預(yù)測(cè)的2個(gè)基本問題是：機(jī)械運(yùn)行狀態(tài)和故障趨勢(shì)特征量的提取方法；根據(jù)故障特征序列特性進(jìn)行的趨勢(shì)預(yù)測(cè)方法。

目前故障趨勢(shì)特征量主要有：基于數(shù)學(xué)形態(tài)譜的趨勢(shì)預(yù)測(cè)特征提取[2]、基于循環(huán)平穩(wěn)度的趨勢(shì)預(yù)測(cè)特征提取[3]、基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的趨勢(shì)預(yù)測(cè)特征提取[4]和基于無量綱參數(shù)的趨勢(shì)特征提取[5]。形態(tài)譜的理論基礎(chǔ)為數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)，其從物體形態(tài)的角度出發(fā)，發(fā)現(xiàn)信號(hào)的變化情況，能明顯反映信號(hào)較小的變化，但計(jì)算速度跟不上，不適用于實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)；循環(huán)平穩(wěn)度是利用剛開始出現(xiàn)故障時(shí)時(shí)域波形出現(xiàn)周期趨勢(shì)這一特征被提出的，但隨著故障程度的加重和復(fù)雜性的變強(qiáng)，循環(huán)平穩(wěn)性變差且分析過于耗時(shí)；經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解自身存在端點(diǎn)效應(yīng)，需進(jìn)行優(yōu)化提高精度，復(fù)雜性較高。因此，本文提取穩(wěn)定性強(qiáng)、精度高的無量綱參數(shù)作為振動(dòng)趨勢(shì)預(yù)測(cè)的特征值。故障特征序列的預(yù)測(cè)有：基于模型的故障趨勢(shì)預(yù)測(cè)方法、基于人工智能的趨勢(shì)預(yù)測(cè)[6]方法、基于支持向量機(jī)的趨勢(shì)預(yù)測(cè)[7]方法。模型預(yù)測(cè)沒有陷入局部極小值而帶來的精度問題；也不用擔(dān)心樣本的選擇質(zhì)量問題。

近年來無量綱幅域參數(shù)越來越受到關(guān)注，如波形指標(biāo)、峰值指標(biāo)、裕度指標(biāo)、峭度指標(biāo)[8-9]。它們對(duì)幅值能力變化不是很敏感，與機(jī)器工作條件關(guān)系不大，但是對(duì)設(shè)備故障足夠敏感[10]，并且計(jì)算簡(jiǎn)單，便于在線應(yīng)用。由于軸承的故障類型和程度不同，這些無量綱參數(shù)對(duì)故障的敏感程度各不相同，一般都會(huì)將多種無量綱參數(shù)及有量綱參數(shù)相結(jié)合使用，才能更準(zhǔn)確地判斷故障有無及故障的發(fā)展趨勢(shì)。

但是，傳統(tǒng)的無量綱幅域參數(shù)仍是與能量有關(guān)的指標(biāo)。與能量有關(guān)的指標(biāo)會(huì)受到劇烈的工況負(fù)荷變化的干擾，或者因?yàn)樾盘?hào)能量變化不明顯而失去故障特征量的意義。為了克服傳統(tǒng)的信號(hào)波形無量綱參數(shù)仍與能量有關(guān)或者與能量無關(guān)但只能定性分析的缺點(diǎn)，基于時(shí)域波形統(tǒng)計(jì)分析，構(gòu)建了幾個(gè)新的對(duì)能量不敏感的無量綱幅域參數(shù)：重復(fù)性描述因子、相似性描述因子和跳躍性描述因子[11]。它們能定量分析與故障有關(guān)的波形形狀信息，能更好地反映變負(fù)荷下的軸承故障發(fā)展趨勢(shì)。

1 軸承振動(dòng)的跳躍性描述因子

基于整周期采樣，軸承的振動(dòng)波形常呈現(xiàn)跳躍性，隨著故障的惡化，波形跳躍性也發(fā)生改變，波形跳躍性的本質(zhì)是波形的幅值調(diào)制。為了能定量描述跳躍性，分別對(duì)平均重復(fù)波形和分段波形數(shù)據(jù){x11,x12,…,x1m;…;xn1,xn2,…,xnm}取x11、x12、…、x1m中的極小值xmin=x1p,1＜p＜m，均值方差則跳躍性描述因子Jf=Dx。

以實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中ZA-2115雙列球軸承為研究對(duì)象，進(jìn)行為期7天的全壽命周期振動(dòng)信號(hào)采集。提取振動(dòng)烈度[12]、相似性因子和敏感性因子，通過分析與比較選擇合適預(yù)測(cè)的量綱參數(shù)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)包括了一個(gè)電機(jī)、加速度計(jì)和熱電偶。軸承中經(jīng)為2.825英寸，滾珠數(shù)為16，同一軸上安裝4個(gè)軸承。主軸轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，帶有恒定負(fù)載，通過DAQ-6062數(shù)據(jù)采集卡每隔10分鐘采集一次數(shù)據(jù)，采樣頻率為20 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為20 480，以此獲得全壽命周期7天從軸承完好到發(fā)生故障的振動(dòng)數(shù)據(jù)，提取軸承全壽命周期振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行無量綱參數(shù)構(gòu)建。實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示[13]。

圖1 滾動(dòng)軸承故障診斷實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

2 不同無量綱參數(shù)緩變故障序列

實(shí)現(xiàn)故障預(yù)警的量綱參數(shù)需滿足兩個(gè)條件：

（1）在無故障的情況下，量綱參數(shù)不因滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的非線性、非平穩(wěn)特性而產(chǎn)生較大的波動(dòng)，具有相對(duì)穩(wěn)定性。

（2）量綱參數(shù)需對(duì)軸承早期故障具有一定的敏感性，且有跡可循，能夠進(jìn)行故障早期預(yù)警與預(yù)測(cè)。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)2以及參考文獻(xiàn)［13］里的數(shù)據(jù)可得，振動(dòng)烈度值、相似因子值和跳躍性因子值在7 000 min左右均發(fā)生較為明顯的變化，滿足故障預(yù)警條件。

圖2中紅線左側(cè)7 000 min前，振動(dòng)烈度值在1.8左右，7 000 min后出現(xiàn)微弱波動(dòng)，但不夠明顯。僅在故障后期才出現(xiàn)烈度值大于1.8的較大波動(dòng)，由此說明振動(dòng)烈度對(duì)早期故障存在不敏感性或者對(duì)故障信息存在滯后性，不適合作為故障預(yù)警信息。

新無量綱參數(shù)即圖3所示的相似性因子和圖4所示的跳躍性因子均在故障早期開始了較為明顯的變化，但隨著故障程度的加深，相似性因子由正常狀態(tài)下的1.73左右變化為故障出現(xiàn)后展現(xiàn)出一種隨機(jī)性與無規(guī)律性，同樣不適合作為預(yù)測(cè)對(duì)象。而跳躍性因子在正常狀態(tài)下的趨近于0，到故障出現(xiàn)后開始逐步增大，反映出滾動(dòng)軸承具有故障惡化的趨勢(shì)，說明跳躍性因子同時(shí)具有無故障時(shí)的相對(duì)穩(wěn)定性和對(duì)故障的敏感性，可以作為故障預(yù)測(cè)的實(shí)施依據(jù)。

3 趨勢(shì)預(yù)測(cè)長(zhǎng)相關(guān)模型

為了更好地對(duì)軸承故障趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，所建模型應(yīng)考慮軸承故障信號(hào)特性。一方面，軸承振動(dòng)信號(hào)時(shí)間序列呈現(xiàn)非線性、非平穩(wěn)特性，導(dǎo)致從中提取的無量綱特征量序列也呈非線性發(fā)展的趨勢(shì)；另一方面，軸承振動(dòng)特征量因其目前狀態(tài)與過去狀態(tài)的相關(guān)度，還會(huì)具有短相關(guān)性或長(zhǎng)相關(guān)性?；诖?，我們將采用非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型：自回歸積分滑動(dòng)平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA）和分?jǐn)?shù)差分自回歸求和移動(dòng)平均模型（Fractionally Autoregressive Integrated Moving Average Model，F(xiàn)ARIMA），其中，ARIMA能通過整數(shù)階差分提取時(shí)間序列的發(fā)展趨勢(shì)，較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)具有短相關(guān)性的特征量發(fā)展趨勢(shì)，F(xiàn)ARIMA則是在ARIMA的基礎(chǔ)上，針對(duì)長(zhǎng)相關(guān)序列進(jìn)行分?jǐn)?shù)階的差分，防止過差分去除長(zhǎng)記憶低頻成分。最后，文中將利用MIX-ARMA把ARIMA和FARIMA相融合，使MIX-ARMA模型既適用于短相關(guān)時(shí)間序列，又適用于長(zhǎng)相關(guān)時(shí)間序列。

圖2 振動(dòng)烈度趨勢(shì)圖

圖3 相似性因子趨勢(shì)圖

圖4 跳躍性因子趨勢(shì)圖

3.1 FARIMA長(zhǎng)相關(guān)預(yù)測(cè)模型

FARIMA(p,d,q)是ARIMA(p,d,q)的一種擴(kuò)展形式，其可被分離為分?jǐn)?shù)差分噪聲FARIMA(0,d,0)和ARMA(p,d)2部分[14]，可表示為

針對(duì)具有長(zhǎng)相關(guān)特性的數(shù)據(jù)，為了防止利用ARIMA(p,d,q)過度差分消除長(zhǎng)相關(guān)趨勢(shì)，F(xiàn)ARIMA(p,d,q)中的差分階數(shù)d∈(-0.5,0.5)。FARIMA(p,d,q)的預(yù)測(cè)過程與ARIMA(p,d,q)相似，首先利用分?jǐn)?shù)階對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行差分，然后用傳統(tǒng)的ARMA模型進(jìn)行分析和模型結(jié)構(gòu)識(shí)別，使用最小二乘法確定模型參數(shù)，最后進(jìn)行預(yù)測(cè)結(jié)果的分析，因此，重點(diǎn)是判斷目標(biāo)數(shù)據(jù)是否具有長(zhǎng)相關(guān)特性和差分階數(shù)d的計(jì)算。

對(duì)于一平穩(wěn)時(shí)間序列x(t),-∞＜t＜+∞，利用rxx(τ)=E[x(t)x(t+τ)]定義其自相關(guān)函數(shù)，當(dāng)rxx(τ)可積時(shí)，x(t)被稱為短相關(guān)時(shí)間序列[15]，且

而當(dāng)rxx(τ)不可積時(shí)，x(t)滿足長(zhǎng)相關(guān)特性[16]，且

自相關(guān)函數(shù)的漸進(jìn)式還可表示為

其中：c＞0為常數(shù)，0＜β＜1。

檢驗(yàn)時(shí)間序列的長(zhǎng)相關(guān)性一般采用Hurst參數(shù)估計(jì)方法[17]，當(dāng)Hurst指數(shù)取值為0.5＜H＜1時(shí)，就可表明此時(shí)間序列具有長(zhǎng)相關(guān)特性，且H越接近于1，序列的相似程度越大。除此之外，Hurst指數(shù)H與FARIMA(p,d,q)中d存在H=d+0.5的關(guān)系，因此，還可通過H來計(jì)算差分階數(shù)的值。目前，重標(biāo)極差法（R/S分析）[18]是計(jì)算Hurst指數(shù)最常用的方法，其在具有較快運(yùn)算速度的同時(shí)還保持了計(jì)算的精度。

3.2 MIX-ARMA自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型

由ARIMA和FARIMA分析可知，二者的基礎(chǔ)模型都為ARMA，僅在數(shù)據(jù)預(yù)處理差分階段存在區(qū)別，這樣就可以將二者合并為MIX-ARMA（p,d,q）自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型，定義其模型為

式(7)所定義的模型與FARIMA模型相似，只是差分階數(shù)d∈(-0.5,0.5)?{0,1,2,…,n}，也就是差分系數(shù)d既可以取到分?jǐn)?shù)，又可以取到整數(shù)，說明此模型既適用于短相關(guān)時(shí)間序列，也適用于長(zhǎng)相關(guān)時(shí)間序列。由式（8）可發(fā)現(xiàn)，MIX-FARIMA的建模過程需確定3個(gè)模型參數(shù)：差分階數(shù)d、自回歸階數(shù)p、移動(dòng)平均階數(shù)q。差分階數(shù)d的取值同樣適用Hurst指數(shù)的計(jì)算過程，總平均預(yù)測(cè)誤差A(yù)PEZ則使用改進(jìn)交叉核實(shí)準(zhǔn)則

其中：Q=5,m=0.1N。改進(jìn)的交叉核實(shí)準(zhǔn)則是將時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)根據(jù)預(yù)測(cè)需求分成兩部分，前一部分用于建立模型，后一部分用于檢測(cè)模型的預(yù)測(cè)誤差。其中后一部分?jǐn)?shù)據(jù)又被分為Q段，每段長(zhǎng)m。用每一段數(shù)據(jù)檢測(cè)模型的預(yù)測(cè)誤差，并且在一段數(shù)據(jù)被檢測(cè)完之后，該段數(shù)據(jù)被加入前一段部分?jǐn)?shù)據(jù)中，作為建立模型的新數(shù)據(jù)。最終取每一段預(yù)測(cè)誤差的平均值A(chǔ)PEZ作為模型的預(yù)測(cè)誤差。使得預(yù)測(cè)誤差A(yù)PEZ最小的參數(shù)即為最優(yōu)模型參數(shù)。

4 不同無量綱參數(shù)緩變故障序列

為了選取更適合的預(yù)測(cè)模型，利用上述介紹的Hurst指數(shù)法先對(duì)將要預(yù)測(cè)的時(shí)間序列進(jìn)行分析。圖5和圖6代表利用R/S法分別對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)和跳躍性因子序列所做的自相似曲線，其中，軸承振動(dòng)信號(hào)的Hurst指數(shù)為0.647 7，同時(shí)由振動(dòng)信號(hào)提取的跳躍性因子的Hurst指數(shù)為0.894 1，兩者的H值都大于判斷標(biāo)準(zhǔn)0.5?？梢?，一般的軸承振動(dòng)信號(hào)除了具有非線性、非平穩(wěn)性外，還具有長(zhǎng)相關(guān)性。我們發(fā)現(xiàn)軸承振動(dòng)信號(hào)具有自相似特性。自相似序列的典型特征是具有長(zhǎng)相關(guān)性，即軸承振動(dòng)信號(hào)在較長(zhǎng)的時(shí)間范圍內(nèi)都具有相似性，且這特性不能被忽略[19]，通過對(duì)H值的計(jì)算，更是定量確定了研究對(duì)象的長(zhǎng)相關(guān)性。

圖5 軸承振動(dòng)信號(hào)的R/S

圖6 跳躍性因子的R/S

在進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，選取跳躍性因子前700個(gè)數(shù)據(jù)用于建模，后280個(gè)數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)的比較值，利用ARIMA和FARIMA模型。ARIMA對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行1階差分，F(xiàn)ARIMA對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行d=0.394 1階差分，圖7則顯示了原始數(shù)據(jù)和差分后數(shù)據(jù)對(duì)比圖。

從圖中可以明顯看出，當(dāng)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行1階差分時(shí)，軸承發(fā)生故障之后的抖動(dòng)數(shù)據(jù)被過度平滑化，大部分特性被抹滅，其Hurst指數(shù)也被降到0.5以下，不再具備長(zhǎng)相關(guān)特性。而被分?jǐn)?shù)差分后的數(shù)據(jù)，相比較1階差分，保留了大部分的數(shù)據(jù)抖動(dòng)內(nèi)容，其Hurst指數(shù)同樣保持在0.5以上，此數(shù)據(jù)仍具備長(zhǎng)相關(guān)性。

針對(duì)跳躍性因子，利用ARIMA和FARIMA模型所得預(yù)測(cè)結(jié)果已顯示在圖8和圖9中，當(dāng)此時(shí)間序列具有長(zhǎng)相關(guān)性時(shí)，F(xiàn)ARIMA模型和MIX-ARIMA模型是相同的。

針對(duì)具有長(zhǎng)相關(guān)性的跳躍性因子進(jìn)行建模預(yù)測(cè)分析，從第700個(gè)數(shù)據(jù)開始進(jìn)行預(yù)測(cè)，每次預(yù)測(cè)10個(gè)數(shù)據(jù)后，將實(shí)際的這10個(gè)數(shù)加入到前一部分序列中，作為新的模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，最終將所有的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比，從圖形上看，F(xiàn)ARIMA模型的預(yù)測(cè)值非線性趨勢(shì)更強(qiáng)，更貼近真實(shí)數(shù)據(jù)，由表1的對(duì)比結(jié)果發(fā)現(xiàn)，無論是平均絕對(duì)誤差還是平均相對(duì)誤差，F(xiàn)ARIMA模型的預(yù)測(cè)精度都比ARIMA模型高，可見，當(dāng)跳躍性因子呈現(xiàn)長(zhǎng)相關(guān)特性時(shí)，F(xiàn)ARIMA模型更適合。

圖7 差分結(jié)果圖

圖8 ARIMA模型預(yù)測(cè)對(duì)比

圖9 FARIMA模型預(yù)測(cè)對(duì)比

表1 ARIMA與FARIMA預(yù)測(cè)對(duì)比

5 結(jié)語

針對(duì)軸承故障時(shí)間序列的預(yù)測(cè)問題，尋求解決這一問題的方法：選擇量綱參數(shù)指標(biāo)作為軸承振動(dòng)信號(hào)趨勢(shì)預(yù)測(cè)特征值，在傳統(tǒng)有量綱的振動(dòng)烈度值無法滿足量綱預(yù)警條件下，提出使用新的無量綱參數(shù)——重復(fù)性因子、相似性因子和跳躍性因子，最終選擇最符合預(yù)警條件的跳躍性因子作為趨勢(shì)預(yù)測(cè)特征值；通過研究發(fā)現(xiàn)，預(yù)測(cè)模型ARIMA和FARIMA兩者都基于ARMA模型，因此將短相關(guān)時(shí)間序列模型ARIMA和長(zhǎng)相關(guān)時(shí)間序列模型FARIMA相結(jié)合，提出MIX-ARMA自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型，其可以基于時(shí)間序列的相關(guān)性自動(dòng)選擇合適的模型；基于軸承跳躍性因子序列的長(zhǎng)相關(guān)性，對(duì)其進(jìn)行FARIMA模型的預(yù)測(cè)建立，與ARIMA模型相比，其具有精度更高和自適應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)。