劉一萱

摘 要：微分中值定理是高等數學中微分學的核心內容，它是研究函數性質的重要工具。本文首先介紹了微分中值定理的歷史發(fā)展過程，然后給出了費馬引理、羅爾定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理的具體內容和證明方法，并描述了它們的幾何意義和三者之間的關系，最后舉例說明了微分中值定理在具體的解題過程中的應用。

關鍵詞：費馬引理；羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

中圖分類號：O172.1 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）21-0216-02

微分中值定理是一系列中值定理的總稱，通常包括羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。它們將函數與其導數聯系起來，從而可以利用導數的局部性來研究函數的整體性質，是研究函數的有力工具。因此，微分中值定理在微分學中占有很重要的地位。

1 微分中值定理歷史發(fā)展

人們對微分中值定理的認識始于古希臘時代。當時的數學家們發(fā)現，過拋物線頂點的切線必平行于拋物線底端的連線，阿基米德還利用該結論求出了拋物線弓形的面積。這其實就是拉格朗日中值定理的特殊情形。1635年，意大利數學家卡瓦列里在《不可分量幾何學》中描述：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦，即卡瓦列里定理。它反映了微分中值定理的幾何形式。

1637年法國數學家費馬在《求最大值和最小值的方法》中給出了費馬定理，即函數在極值點處的導數為零。1691年法國數學家羅爾在《方程的解法》中給出了多項式形式的羅爾定理，后來發(fā)展成一般函數的羅爾定理，并且正是由費馬定理推導而出。后來，法國數學家拉格朗日于1797年在《解析函數論》中首先給出了拉格朗日中值定理，并予以證明。它也是微分中值定理中最為主要的定理。同樣是來自法國的著名數學家柯西，這位近代微分學的奠基者，對微分中值定理進行了更加深入的研究。他的三部巨著《分析教程》、《無窮小計算教程概論》和《微分計算教程》，在分析上進行了嚴格的敘述和論證，使得微積分擺脫了對幾何、運動的直觀理解和物理解釋，對微積分理論進行了重構，從而極大地推動了數學分析嚴格化的進程[1-2]。他在《無窮小計算教程概論》中嚴格地證明了拉格朗日中值定理，后來又在《微分計算教程》中將拉格朗日中值定理推廣為廣義中值定理—柯西中值定理?？挛髡J為中值定理是微分學中最核心的定理，比如可以利用該定理嚴格證明洛必達法則，并研究泰勒公式的余項等。從柯西起，微分中值定理成為了研究函數非常重要的工具，也是微分學的重要組成部分。

2 微分中值定理及其證明

2.1 費馬引理

設x0是f（x）的一個極值點，且f（x）在x0處導數存在，則f'（x0）=0。費馬引理可以由極值的定義證得。需要注意的是，導數為0的點并不一定是極值點，例如f（x）=x3在x=0處導數為0，但顯然該點并不是f（x）的極值點。

2.2 羅爾定理

如果函數f（x）滿足：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內可導；在區(qū)間端點處的函數值相等，即f（a）=f（b）。那么在（a，b）內至少存在一點ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。

證明：由f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)可知，存在ξ，η∈[a，b]，滿足f（ξ）=M，f（η）=m，其中M和m分別是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值。不妨設M>m（M=m時結論顯然成立），這時M和m中至少有一個與f（a）不相同，不妨設M=f（ξ）>f（a）=f（b），此時ξ顯然是極大值點，由費馬引理可得f' （ξ）=0。

羅爾定理的幾何意義是滿足定理條件的函數f（x），一定在（a，b）內某一點存在一條平行于曲線段端點連線的切線。通?？梢岳昧_爾定理來討論函數及其導函數在某區(qū)間上的零點問題，并且還可以用來證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

2.3 拉格朗日中值定理

如果函數f（x）滿足：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內可導。那么在（a，b）內至少存在一點ξ∈（a，b），使得f' 。

證明：設=k，則f（b）-f（a）=k（b-a），即f（a）-ka=

f（b）-kb。構造函數F（x）=f（x）-kx，則F（x）同樣滿足定理中的條件且F（a）=F（b），根據羅爾定理，在（a，b）內至少存在一點ξ∈（a，b）使得F'（ξ）=f'（ξ）-k=0，即f'（ξ）=k，故 。

拉格朗日中值定理的幾何意義是滿足定理條件的函數f（x），至少在（a，b）內存在一點，使得該點處的切線斜率與曲線段端點連線的斜率相同。拉格朗日中值定理溝通了函數與其導數的聯系，因此很多時候可以從導數的角度來研究函數在其定義域上的性質。在研究函數的單調性、凹凸性以及不等式的證明等方面，都可能會用到拉格朗日中值定理。

2.4 柯西中值定理

如果函數f（x）和g（x）滿足：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內可導；對∈（a，b），g'（x）≠0。那么在（a，b）內至少存在一點ξ∈（a，b），使得。

證明：同拉格朗日中值定理的證明類似，設=λ，構造輔助函數F（x）=f（x）-λ（g（x）-g（a）），則F（x）同樣滿足定理中的條件且F（a）=F（b），根據羅爾定理，在（a，b）內至少有一點ξ∈（a，b）使得F'（ξ）=f'（ξ）-λg'（ξ）=0，代入λ可得g'（ξ）=0，整理可得。

柯西中值定理的幾何意義是由函數f（x）和g（x）所確定的參數曲線上，至少在（a，b）內存在一點，使得該點的切線平行于參數曲線兩端點的連線。柯西中值定理的證明方法有很多種。與拉格朗日中值定理一樣，柯西中值定理也可以用來求函數極限、證明函數單調性以及證明等式與不等式等。

我們可以看到，在拉格朗日中值定理中，如果令f（a）=f（b），就可以得到羅爾定理。同樣的，在柯西中值定理中，如果令g（x）=x，則變成拉格朗日中值定理。因此，拉格朗日中值定理可以看作是羅爾定理的推廣，而柯西中值定理則可以看作是拉格朗日中值定理的推廣[3]。也可以說，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理則是柯西中值定理的特例。從證明過程可以發(fā)現，拉格朗日中值定理和柯西中值定理都以羅爾定理為基礎，再通過構造輔助函數證得[4]。

3 微分中值定理的應用

微分中值定理不僅具有明顯的幾何意義和運動學意義，它作為微分學最基本的定理之一，還是研究函數的有力工具。本節(jié)給出它在以下幾個方面的具體應用。

3.1 求函數極限

例1：求。

解：令f（x）=（1+x）a-1，則f（0）=0，f'（x）=a（1+x）a-1。由拉格朗日中值定理可得f'（ξ）=（0<ξ

3.2 證明函數單調性

例2：設f（0）=0，f'（x）在（0，+∞）上單調遞增，證明：在（0，+∞）上也單調遞增。

證明：對求導可得[]'=。根據拉格朗日中值定理可得==f'（ξ）（0<ξ0，故在（0，+∞）上也單調遞增。

3.3 證明不等式

例3：證明不等式ex>1+x（x>0）。

證明：即證ex-1>x。令f（x）=ex-1，g（x）=x，則f（0）=g（0）=0。由柯西中值定理可得=eξ>1，其中ξ∈（0，x），即f（x）>g（x），ex-1>x，從而原式得證。

3.4 證明等式

例4：設f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內有二階導數，試證：存在c∈（a，b），使f（b）-2f（）+f（a）=f''（c）。

證明：由已知可得 = 。

構造輔助函數，則上式等于。由題意可知和？均滿足拉格朗日中值定理的條件，兩次利用拉格朗日中值定理可得 === =。

4 結語

人們對微分中值定理的研究主要從費馬定理開始，大約經歷了兩百多年的時間。定理的條件要求也從特殊到一般，從直觀到抽象，從強條件轉為弱條件。人們逐漸認識到了微分中值定理的普遍性，數學也正是在這樣一個推陳出新、吐故納新的過程中不斷向前發(fā)展[5]。

本文總結了微分中值定理的具體內容及其證明，并通過例子討論了微分中值定理在求函數極限、證明函數單調性以及證明不等式和等式方面的應用，從中可以看出微分中值定理的重要性。另外，在證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的過程中，采用了構造輔助函數的方法，這也是數學中常見而又非常重要的一種方法。通過對微分中值定理的研究，還可以提高發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力，有助于加深對數學的認識和理解。

參考文獻

[1]陳寧.微分中值定理的歷史演變[J].大學數學，2003，（2）：96-99.

[2]陳紀修，於崇華，金路.數學分析-第2版[M].高等教育出版社，2004.

[3]黨艷霞.淺談微分中值定理及其應用[J].廊坊師范學院學報（自然科學版），2010，（1）：28-31.

[4]王銳利.關于微分中值定理的進一步研究[J].漯河職業(yè)技術學院學報，2012，（2）：97-99.

[5]盧玉峰.微分中值定理歷史與發(fā)展[J].高等數學研究，2008，（5）：59-63.