韓志茶 高新華

摘 要：由特霍夫特提出的磚墻模型是用來計算黑洞熵的一種常用方法，基于磚墻模型的薄膜模型是它的改進(jìn)方法。這種方法計算的黑洞熵符合貝肯斯坦-霍金熵的普遍結(jié)果。但是，該方法存在兩個可能引起困惑的參數(shù)，導(dǎo)致薄膜可以趨近于零，這可能會導(dǎo)致其計算中依賴的半經(jīng)典條件失效。另外，此參數(shù)為人為選取，其內(nèi)在的物理意義也不是非常清楚。通過引入普朗克尺度，我們對這兩個參數(shù)進(jìn)行了替換，計算結(jié)果依然滿足貝肯斯坦-霍金熵，且更具有物理意義。

關(guān)鍵詞：熵；磚墻模型；薄膜模型；普朗克尺度

中圖分類號：P145.8 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）22-0240-03

1 研究背景

黑洞與熱力學(xué)定律之間的相似性很早就已經(jīng)被注意到[1]，二十世紀(jì)七十年代，貝肯斯坦[2-3]和霍金[4]首先提出了黑洞熱力學(xué)這一概念，其中就提出了黑洞熵的猜測，并給出了面積不減定理。他們證明并得出結(jié)論，即黑洞的熵與黑洞表面積成正比，具體的關(guān)系是為S=，其中S是黑洞熵，A是黑洞的視界面積。這一結(jié)果又被叫做“貝肯斯坦-霍金熵”。

在他們之后，黑洞熵以及黑洞熱力學(xué)被研究了很多年。基于貝肯斯坦和霍金的猜測和計算，人們普遍認(rèn)為其他黑洞的熵也應(yīng)該有與貝肯斯坦-霍金熵類似的結(jié)果。但是，至今為止，由于黑洞熵的起源一直都是一個未解之謎，因此不同研究者對黑洞熵的本質(zhì)有就不同的理解，于是便出現(xiàn)了多種不同的計算黑洞熵的方法。盡管方法眾多，但這些不同方法計算的結(jié)果卻大多都支持黑洞熵與其視界面積成正比這一結(jié)論[5-8]。對同一黑洞而言，若所采用的方法能得到和貝肯斯坦-霍金熵類似的結(jié)論，便是該對計算方法的一種肯定，也是對基于該方法所理解的黑洞熵的起源的肯定。磚墻模型就是計算黑洞熵的一種廣泛使用的方法。

1985年，特霍夫特提出了磚墻模型方法[9]。這種方法認(rèn)為，黑洞的熵源于事件視界外面某一空間殼層區(qū)域內(nèi)的處于熱力學(xué)平衡狀態(tài)下的量子氣體的熵。該殼層的內(nèi)表面到事件視界有一個空間距離h，且該殼層具有一定的厚度L。因為這一殼層類似于一堵包圍黑洞視界的磚墻，故被形象的稱為“磚墻模型”。自從這一方法被提出后，基于該方法來計算黑洞熵的工作層出不窮，并都得到了比較好的結(jié)論[10-16]。這種方法的優(yōu)點是，它能給出計算靜態(tài)黑洞的統(tǒng)計學(xué)熵的清晰簡便的計算過程，并且能夠?qū)诙挫氐钠鹪磫栴}提供了一種可以被理解和接受的解釋。用該方法計算出來的黑洞熵結(jié)果一般會出現(xiàn)多個項，但只有一項提供了黑洞熵的主要部分，其余項是對黑洞熵的一種修正。

因為存在一個主要項和其他修正項，文獻(xiàn)[17]便對墻模型進(jìn)行了修改。他們認(rèn)為，磚墻模型中最主要的這一項應(yīng)該來自于黑洞之外非常薄的一個殼層內(nèi)的量子氣體的熵，于是便將磚墻向事件視界靠近，同時不斷壓縮磚墻的厚度。這樣，磚墻就離黑洞很近，而且變得很薄，于是被形象的叫做“薄膜模型”[18-20]。在他們的工作中，用與磚墻模型同樣的方法只計算這一薄層依然能得到很好的結(jié)果。有很多文獻(xiàn)也已經(jīng)基于這種方法計算了不同的黑洞熵，其結(jié)果也非常優(yōu)美[21-22]。但是，這個方法卻帶來一個小小的困惑，即在計算中，該方法認(rèn)為薄膜的厚度可以無限趨近于0，此時，這層薄膜就變成了一個二維膜。從物理角度來看，當(dāng)薄膜趨近于0時，甚至取為0時，在該方法中使用的半經(jīng)典近似條件將會失效，基于該條件的計算結(jié)果自然也就不再可信。同時，他們引入的兩個可以取為0的自由參數(shù)∈和δ，似乎也并沒有帶來更好的物理意義。

另外，磚墻模型和薄膜模型的結(jié)算結(jié)果都與貝肯斯坦-霍金熵略有不同。為了相同，必須人為的引入截斷因子。這種引入也沒有任何的道理，只是為了結(jié)果的相同而人為引入，無法解釋其物理意義。

為了解決上述問題，我們基于薄膜模型對該方法進(jìn)行了修改。我們認(rèn)為薄膜模型中引入的兩個自由參數(shù)不能無限趨近于0，便將該模型中的兩個自由參數(shù)進(jìn)行了替換。我們考慮宇宙存在最小尺度這一物理事實，并考慮普朗克尺度和空間的離散性這個逐漸被理論界所接受的結(jié)果，于是可以猜測，這兩個參數(shù)應(yīng)該和普朗克長度有關(guān)，且選取時應(yīng)該是普朗克長度的整數(shù)倍。接下來便演示這一計算過程。

2 計算方法

這種計算是建立在認(rèn)為最小尺度就是普朗克長度這一假設(shè)之上。雖然我們粗糙地在計算中認(rèn)為空間尺度是普朗克尺度的整數(shù)倍，但是它給薄膜模型賦予一種物理上的解釋，也能消除薄膜模型中可能存在的半經(jīng)典條件失效的情況。而且，我們依然得到了與貝肯斯坦-霍金熵一致的結(jié)論。

3 結(jié)論

磚墻模型和薄膜模型都是計算黑洞熵的重要方法，但這兩種方法都存在人為引入的、物理意義不那么明顯的人為截斷因子。另外，薄膜模型還存在的半經(jīng)典條件失效的可能性。我們的修改方法可以解決以上兩個問題，而且也得到了貝肯斯坦-霍金熵。另外，非人為的截斷還有可能幫助我們理解普朗克尺度上的物理圖像。

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