許瑞

【摘 要】本文簡(jiǎn)單地對(duì)高中立體幾何公理在幾個(gè)不同教材版本中的敘述進(jìn)行比較，并結(jié)合《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》這本書(shū)中對(duì)幾條公理的來(lái)源和本質(zhì)進(jìn)行逐一分析，最后對(duì)高中老師的教學(xué)提出一些可行的意見(jiàn)，來(lái)探討基于《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》的高中立體幾何公理化問(wèn)題分析。

【關(guān)鍵詞】《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》;高中立體幾何;公理分析

一、《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》與高中立體幾何公理

德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特（D.Hilbert，1862—1943）在1899年發(fā)表了他的名著《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)，提出了一套完整而簡(jiǎn)潔的公理系統(tǒng)，根據(jù)這套系統(tǒng)不需要借助其他任何知識(shí)，可以直觀導(dǎo)出全部歐氏幾何的內(nèi)容。希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)被公認(rèn)為幾何學(xué)中的經(jīng)典著作，它標(biāo)志著現(xiàn)代公理法的產(chǎn)生。

眾所周知，研究幾何首先要對(duì)研究對(duì)象起一個(gè)名詞（或術(shù)語(yǔ)），即下定義。但根據(jù)邏輯的要求最原始的一個(gè)或幾個(gè)名詞是無(wú)法加以定義的，這些不加定義的幾何對(duì)象被稱(chēng)作基本對(duì)象。經(jīng)過(guò)深思熟慮后，希爾伯特把“點(diǎn)”“直線”“平面”作為基本對(duì)象不加定義，并把“點(diǎn)在直線上”“點(diǎn)在平面上”“一點(diǎn)在另兩點(diǎn)之間”“線段合同（相等）”“角合角（相等）”作為不加定義的基本對(duì)象之間的關(guān)系，稱(chēng)為基本關(guān)系，對(duì)它們也不加以說(shuō)明或解釋。三個(gè)基本對(duì)象和五個(gè)基本關(guān)系統(tǒng)稱(chēng)為基本概念，除了這八個(gè)基本概念以外的任何幾何對(duì)象、名詞、術(shù)語(yǔ)、關(guān)系等都必須加以嚴(yán)格定義。而這些基本概念受下面五組（共20條）基本事實(shí)（即公理）制約。其中每一組表達(dá)了直觀而簡(jiǎn)單的某種相互關(guān)系的基本事實(shí)，而這些基本事實(shí)是明顯的，也是必要的，也不可能加以說(shuō)明或證明。而其它的幾何對(duì)象之間的關(guān)系、性質(zhì)、命題等都必須用這些基本事實(shí)加以證明，所以我們把這些基本事實(shí)稱(chēng)為公理。筆者翻閱了多個(gè)版本的高中數(shù)學(xué)教材，包括人教A、B版，蘇教版，滬教版，北師大版，湘教版等，發(fā)現(xiàn)其中關(guān)于立體幾何的內(nèi)容基本上都是由以下四個(gè)公理推理演變而來(lái)的。

公理一：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi);公理二：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線;公理三：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面;公理四：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。這四條公理其實(shí)都是學(xué)生們初中的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，最初的原因是因?yàn)閷W(xué)生剛剛步入高中，對(duì)于一些理論知識(shí)的掌握程度不夠，所以需要一些基本的框架來(lái)進(jìn)行把握，這樣能夠快速入門(mén)高中立體幾何的知識(shí)并進(jìn)行把握。而高中的立體幾何知識(shí)最基本的就是一個(gè)空間概念的把握，所以這幾個(gè)公理都是隨著“點(diǎn)、線、面”的關(guān)系來(lái)進(jìn)行展開(kāi)的，方便理解，而且能夠幫助孩子們快速建立一個(gè)基本的自信心，讓他們能夠擁有快速展開(kāi)立體幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的能力。數(shù)學(xué)是一個(gè)比較重視邏輯思維的科目，無(wú)論是數(shù)學(xué)的哪一個(gè)部分的學(xué)習(xí)。高中立體幾何更多的是對(duì)于空間想象能力還有邏輯思維能力的要求，也就是可以用最基本的點(diǎn)面線知識(shí)建立起一個(gè)空間想象能力。公理的存在就是將初中學(xué)習(xí)的基本理論知識(shí)當(dāng)做公理，讓學(xué)生們能夠快速適應(yīng)高中的立體幾何學(xué)習(xí)，然后很快地摸索到學(xué)習(xí)的門(mén)路和學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)。比如說(shuō)：公理一，它主要是為了判斷直線是否在平面內(nèi)與點(diǎn)是否在平面內(nèi)，這個(gè)判斷是解決一些高中立體幾何知識(shí)的基礎(chǔ)，也是判斷空間是否存在的基礎(chǔ);公理二幫助學(xué)生構(gòu)架起空間概念，同時(shí)也提出了點(diǎn)共線的問(wèn)題，提出了判斷兩個(gè)平面相交的證據(jù)，能夠順利地解決一些點(diǎn)線面的問(wèn)題，構(gòu)架一個(gè)空間立體感;公理三主要提供了如何確定一個(gè)平面的方法和判斷若干個(gè)點(diǎn)是否在同一平面上的方面，是一個(gè)可以延伸很多理論的基礎(chǔ)點(diǎn)，具有很強(qiáng)的理論銜接性;公理四主要指出平面幾何和立體幾何之間的共性，一些在平面幾何中可以使用的觀點(diǎn)，其實(shí)在立體幾何中也可以運(yùn)用，但是并不是所有的觀念都可以利用。這只是一個(gè)可以發(fā)散思路的關(guān)鍵詞，是一個(gè)基礎(chǔ)，比如：可以利用平面幾何來(lái)推導(dǎo)出立體幾何的等角定理。

通過(guò)對(duì)這四個(gè)定理以及定理在不同教材中的運(yùn)用分析可以發(fā)現(xiàn)，公理其實(shí)充當(dāng)?shù)氖且粋€(gè)基本框架的作用，它是基礎(chǔ)本源，簡(jiǎn)單直觀，而且比較容易理解和記憶。在初學(xué)者剛剛接觸到相關(guān)理論的時(shí)候，定理可以充當(dāng)一個(gè)基石的作用，充分地將理論知識(shí)發(fā)展出來(lái)，幫助學(xué)生構(gòu)建起立體幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的大樓，可以從立體幾何的學(xué)習(xí)中去感受到理論知識(shí)和空間知識(shí)的美，感受到立體幾何學(xué)習(xí)的魅力，而且還可以幫助初學(xué)者樹(shù)立信心，讓他們了解到立體幾何其實(shí)是一門(mén)比較簡(jiǎn)單且有意義的學(xué)科，幫助他們建立學(xué)習(xí)的興趣和自信心，讓學(xué)生可以更加積極主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

二、高中立體幾何公理化問(wèn)題分析的教學(xué)意見(jiàn)

希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》提出了數(shù)學(xué)的真理性等價(jià)于系統(tǒng)的相容性，即在某個(gè)公理體系下，推不出任何互相矛盾的命題，這是對(duì)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的唯一要求，希爾伯特從研究機(jī)和基礎(chǔ)開(kāi)始提出了他的“形式主義”數(shù)學(xué)哲學(xué)觀即數(shù)學(xué)是關(guān)于形式系統(tǒng)的科學(xué)。所以，教師在進(jìn)行高中立體幾何公理化問(wèn)題的教學(xué)的時(shí)候，要堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的真理性，進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)候要注意教學(xué)案例的教學(xué)分析，這是典型案例教學(xué)的方法，堅(jiān)持指導(dǎo)和典型教學(xué)同時(shí)進(jìn)行的教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本解題思路，使學(xué)生能夠?qū)χR(shí)有一個(gè)明確的掌握。首先，在教授高中立體幾何公理化問(wèn)題的時(shí)候，在基礎(chǔ)性教學(xué)之后先讓學(xué)生對(duì)立體幾何的公理化有一定的了解，能夠建立一個(gè)基本的框架和認(rèn)識(shí)，然后利用典型案例教學(xué)讓學(xué)生能夠細(xì)致地進(jìn)行理論分析，幫助他們有效地建立一個(gè)立體的認(rèn)識(shí)，對(duì)知識(shí)有一定的把握，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和立體幾何思維能力，讓學(xué)生可以利用理論知識(shí)的學(xué)習(xí)構(gòu)建想象，然后培養(yǎng)出解題能力;其次，在對(duì)立體幾何的問(wèn)題進(jìn)行解答的時(shí)候，可以給出一些多角度進(jìn)行解題的題目，讓學(xué)生發(fā)散思維去思考其他方向的解題思路，很多立體幾何的證明題一般都有多種解題答案，教師可以在平時(shí)教學(xué)的時(shí)候就有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的思維和能力，幫助學(xué)生擴(kuò)寬思路，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)題目題干條件的分析轉(zhuǎn)化能力，提高學(xué)生的知識(shí)轉(zhuǎn)化能力，幫助學(xué)生建立一個(gè)多角度解答問(wèn)題的思維;最后，教師可以讓學(xué)生多多動(dòng)手，鼓勵(lì)學(xué)生利用畫(huà)圖的手法進(jìn)行學(xué)習(xí)。畫(huà)圖能力是立體幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)立體幾何的一個(gè)重要的手段。畫(huà)圖學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生建立起空間分析能力，能夠更好地掌握一些立體幾何的特點(diǎn)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的多角度思維的能力，雖然這個(gè)學(xué)習(xí)方法比較麻煩，但是在實(shí)際教學(xué)中是非常有利的，能夠幫助學(xué)生建立一個(gè)立體的觀念，讓學(xué)生能夠?qū)αⅢw幾何的相關(guān)理論具有一個(gè)認(rèn)知，同時(shí)可以利用一些典型例題的解答幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)立體幾何的信心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的積極性和主動(dòng)性。

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