周文芃

摘 要：本文通過使用初等數(shù)學(xué)的方法，借助同樣半徑長度的圓的面積，對比橢圓與圓中長度之間的關(guān)系，在空間坐標(biāo)系中構(gòu)建相似三角形，由橢圓中的橢圓三角形中的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，完成從邊到三角形之間關(guān)系以及從邊到橢圓面積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化，從而得出橢圓的面積公式。

關(guān)鍵詞：橢圓面積；橢圓方程；三角形相似；焦點(diǎn)三角形；圖形轉(zhuǎn)化思想

中圖分類號：O123.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）22-0189-02

1 引言

橢圓是一種常見的幾何對象，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)用非常廣泛，比如橢圓曲線在加密算法中的應(yīng)用，橢圓在隧道孔口中的應(yīng)用，橢圓在精密工程誤差計(jì)算中的近似，這些問題可以劃歸為求橢圓與圓柱的截交線，求橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)的問題，更進(jìn)一步地，化歸為了橢圓的面積地的計(jì)算[1-5]。

橢圓面積在生活和生產(chǎn)中具有非常重要的意義，開普勒第二定律中有關(guān)于面積相等的命題是天文學(xué)中的重要且基礎(chǔ)的問題，地球作為一個(gè)橢球，其二維投影—橢圓是進(jìn)一步研究地球以及天氣的基礎(chǔ)[6-10]。

傳統(tǒng)的方法基于定積分求解或是。關(guān)于橢圓的性質(zhì)被廣泛探討，但是由于橢圓沒有圓的良好性質(zhì)，因此相似的方法無法使用，只能借助于更加高級的方法，比如：積分法，仿射變換法，透視仿射變換法等[11-14]。

圓是一種性質(zhì)非常好的平面圖形，也是橢圓中的一個(gè)特例。在定義圓的面積時(shí)使用的基本都是圓心和半徑的長度，而這一性質(zhì)無法推廣到橢圓中，因?yàn)闄E圓沒有固定的半徑。由于圓的特殊性在一些問題的分析中能夠起到非常重要的作用，本文希望從對比中發(fā)現(xiàn)橢圓中的性質(zhì)，借助于高中生都能夠掌握的基本代數(shù)和幾何知識進(jìn)行推導(dǎo)證明[15-18]。

2 問題分析

在高中課本中，橢圓的定義有兩個(gè)，分別如下所示：

定義1：在一平面內(nèi)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|，a為常數(shù)），則P點(diǎn)的軌跡是橢圓。

定義2：在一平面內(nèi)，F(xiàn)1為定點(diǎn)，l為定直線，動點(diǎn)P到F1的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e（0

以上兩種定義都是用橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來刻畫的，但是不夠直觀，因此尋找一種直觀的集合關(guān)系能夠幫助我們求解這一問題。我們都知道：點(diǎn)動成線，線動成面。面的關(guān)系可以從線的關(guān)系中來，而且是正比例關(guān)系，不是常見的三角形面積的求解中的面積關(guān)系是線段關(guān)系的平方。

對于長半軸長度為a，半長軸長度為b的橢圓與半徑為a的圓而言，從視覺上來看可以認(rèn)為是一個(gè)圓被壓扁了，從數(shù)學(xué)上來講，當(dāng)兩者的長軸重合在一起的時(shí)候可以發(fā)現(xiàn)，橢圓在圓里面，橢圓的面積比圓的小。將兩者重合放在平面直角坐標(biāo)系中如圖1-2所示，根據(jù)對稱性，我們只需要分析右上角四分之一的圓和橢圓之間的面積關(guān)系即可。很明顯，兩個(gè)扇環(huán)的共同點(diǎn)是公共的長軸（半徑），區(qū)別是與橫軸垂直的線段的長度，如果這個(gè)線段的長度，如圖所示CA1>CB2，OA>OB。

如果能夠?qū)Ρ冗@其中的對應(yīng)線段之間的數(shù)量關(guān)系，則能夠?qū)E圓中的線段之間的關(guān)系推廣到兩橢圓之間的面積關(guān)系。由橢圓中存在的三角關(guān)系想到了構(gòu)建直角三角形，并通過三角形相似建立邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系。對圓與橢圓中的線段在與半長軸平行的方向上進(jìn)行比較。根據(jù)圓與橢圓的對稱性可以發(fā)現(xiàn)，只需對其中的四分之一圓（橢圓）進(jìn)行比較。實(shí)際上，對應(yīng)線段之間的關(guān)系在空間中體現(xiàn)得很明顯，并且只利用橢圓中焦點(diǎn)三角形這一代數(shù)性質(zhì)。這一過程將不直觀的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為了直觀的幾何關(guān)系，在證明中會更加方便快捷。保持圓不動，繞著長軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在空間中找到相似三角形，把橢圓和圓中的對應(yīng)線段放進(jìn)相似三角形的對應(yīng)邊中。將兩橢圓放到空間中研究引導(dǎo)我們建立在橢圓旋轉(zhuǎn)方向上的縱軸。在這個(gè)軸上不需要建立坐標(biāo)，只需要利用空間關(guān)系對構(gòu)造出的相似三角形中的性質(zhì)加以利用。

3 推導(dǎo)證明

4 結(jié)語

本文通過將橢圓進(jìn)行分割并與長軸相同大小半徑的圓中的線段長度進(jìn)行對比，建立空間直角坐標(biāo)系從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。該方法與傳統(tǒng)的使用極限法用三角形逼近的方法做了突破，簡單地對比線段間的長度，使用三角相似和三角函數(shù)建立它們之間的關(guān)系從而得出結(jié)論。合理而又靈活地運(yùn)用橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形的面積公式，避免了冗長的推理和運(yùn)算，大大降低難度，使解題過程簡捷而明了。本文還可以基于此研究任意角的扇環(huán)的面積，以應(yīng)用于更加廣泛的場景中。

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