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        二次時變參數(shù)離散灰色預(yù)測模型的進一步推廣

        2018-02-15 07:38:46金夢迪劉基偉張輝
        關(guān)鍵詞:弱化時變算子

        金夢迪,劉基偉,張輝

        (中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院,北京 100024)

        1 引言

        由于對可靠小樣本統(tǒng)計的需求日益增長,小樣本預(yù)測是一個很重要的課題。多年來,學(xué)者們對小樣本非平穩(wěn)時間序列的預(yù)測問題做了深入研究,突出問題是,對于非平穩(wěn)時間序列,當系統(tǒng)受到干擾的嚴重影響時,過去的可用數(shù)據(jù)不能如實反映系統(tǒng)的規(guī)律。因此,為使預(yù)測模型的擾動界變小,引入分數(shù)階經(jīng)典弱化緩沖算子,對原始序列進行微調(diào)來提高預(yù)測精度;并且通過建立二次時變參數(shù)離散灰色模型對實例進行研究驗證。

        2 分數(shù)階弱化緩沖算子的構(gòu)造

        經(jīng)典弱化緩沖算子充分考慮每個數(shù)據(jù)的優(yōu)先性,而變權(quán)弱化緩沖算子只考慮最新一個數(shù)據(jù)的優(yōu)先性,所以從綜合利用原有數(shù)據(jù)信息的角度考慮,經(jīng)典弱化緩沖算子是一種不錯的緩沖算子。

        容易證明,經(jīng)典弱化緩沖算子的階數(shù)越高,越能體現(xiàn)新信息的作用,提高預(yù)測質(zhì)量[2]。但是經(jīng)典弱化緩沖算子不能實現(xiàn)緩沖作用強度的微調(diào),本文引入分數(shù)階弱化緩沖算子。

        一階弱化緩沖算子的矩陣形式為:

        二階弱化緩沖算子的矩陣形式為:

        若X(0)為單調(diào)衰減序列,因為A(X(0))T≤(X(0))T,A為可逆矩陣,可得A-1A(X(0))T≤A-1(X(0))T,即(X(0))T≤A-1(X(0))T,所以D-1為單調(diào)衰減序列的強化緩沖算子;同理D-1為單調(diào)增長序列的強化緩沖算子。

        若X(0)為震蕩序列,x(0)(l)=max{x(0)(k),k=1,2,…n},x(0)(h)=min{x(0)(k),k=1,2,…n},

        3 二次時變離散參數(shù)灰色預(yù)測模型介紹

        對于實際應(yīng)用的數(shù)據(jù),因為受到外界諸多沖擊因素的干擾而失真。為了能夠準確的挖掘事物規(guī)律,針對以往模型使用連續(xù)時間響應(yīng)式進行預(yù)測產(chǎn)生的跳躍性誤差,本文使用時變參數(shù)離散灰色模型。

        引理1 設(shè)x(0)(k+1)d1=(β1+β2k)x(0)(k)d1+β3k+β4為線性時變參數(shù)離散灰色模型,其中x(0)(k)為原始序列觀測值,d1為經(jīng)典弱化緩沖算子。

        下面使用經(jīng)典弱化緩沖算子d1作用后的序列建立二次時變參數(shù)離散灰色模型。

        定義1設(shè)x(0)(k+1)d1=(β1+β2k+β3k2)x(0)(k)d1+β4k2+β5k+β6為二次時變參數(shù)離散灰色模型,其中x(0)(k)為原始序列觀測值,d1為經(jīng)典弱化緩沖算子。

        定理1 對于二次時變含參離散灰色模型x(0)(k+1)d1=(β1+β2k+β3k2)x(0)(k)d1+β4k2+β5k+β6

        該模型的最小二乘參數(shù)估計分別為:

        為方便公示展示,記

        因此有:

        定理2 模型具有良好的性質(zhì):

        (1)伸縮變換一致性

        (2)白指數(shù)規(guī)律重合性

        (3)能夠完全模擬二次序列

        (4)克服模擬值增長率恒定問題

        (5)克服由連續(xù)響應(yīng)式產(chǎn)生的跳躍性誤差問題

        證明過程不是本文重點,具體證明過程詳見文獻[3]。

        二次時變離散參數(shù)灰色預(yù)測模型相比原有的一次時間項具有更高的預(yù)測值,在分數(shù)階緩沖算子的參與下可以實現(xiàn)對模型的微調(diào)。

        4 實例研究:不同分數(shù)階預(yù)測結(jié)果比較

        例1 以北京市年度科普經(jīng)費籌集額為例,比較不同階數(shù)經(jīng)典弱化緩沖算子對模型預(yù)測結(jié)果的影響。原始數(shù)據(jù)見表1,數(shù)據(jù)來源中華人民共和國國家統(tǒng)計局。

        表1 2008~2015年 北京市年度科普經(jīng)費籌集額(萬元)

        取2008~2014年的年度科普經(jīng)費籌集額為原始序列,分別建立0.6階,0.8階以及1階經(jīng)典弱化緩沖算子的二次時變參數(shù)離散模型,對2015年數(shù)據(jù)進行預(yù)測,預(yù)測結(jié)果及誤差見表2。

        由表2結(jié)果對比說明,0.6階經(jīng)典弱化緩沖算子可以實現(xiàn)模型的微調(diào),擬精度較高,能較好的挖掘系統(tǒng)的發(fā)展趨勢,得到比較好的預(yù)測精度。

        表2 三種模型預(yù)測值與誤差比較

        例2 以我國江蘇省科普專項經(jīng)費為例,比較不同階數(shù)經(jīng)典弱化緩沖算子對模型預(yù)測結(jié)果的影響。原始數(shù)據(jù)見表3,數(shù)據(jù)來源《中國統(tǒng)計年鑒》。

        表3 2008~2015年 江蘇省年度科普經(jīng)費籌集額(萬元)

        取2008-2014年江蘇省年度科普經(jīng)費籌集額為原始序列,同樣建立了0.3階,0.6階以及0.8階經(jīng)典弱化緩沖算子的線性時變參數(shù)離散模型,對2015年數(shù)據(jù)進行預(yù)測,預(yù)測結(jié)果及誤差見表4。

        表4 三種模型預(yù)測值與誤差比較

        由表4結(jié)果對比說明,0.3階經(jīng)典弱化緩沖算子可以實現(xiàn)模型的微調(diào),擬精度較高,能較好的挖掘系統(tǒng)的發(fā)展趨勢,預(yù)測精度更好。

        根據(jù)上面兩個實例分析可以看出,分數(shù)階的二次時變參數(shù)離散模型的預(yù)測精度更高,預(yù)測效果確實優(yōu)于傳統(tǒng)的整數(shù)階模型。

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