王垚廷，李 萍，李晉惠，史延新

(西安工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，西安 710021)

20世紀(jì)60年代激光器問世以來，熱效應(yīng)始終伴隨其發(fā)展歷程，尤其是固體激光器，熱效應(yīng)已成為其性能指標(biāo)進一步提高的關(guān)鍵影響因素.固體激光器系統(tǒng)的熱效應(yīng)包括熱透鏡效應(yīng)[1]、熱致衍射損耗[2]、熱退偏[1]及熱損傷[3].熱效應(yīng)可以減弱或補償，但難以根除，因此熱效應(yīng)仍需進一步研究.任何一種熱效應(yīng)的研究均離不開源自固體激光器系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)方程的求解，然而目前的研究水平仍得不到該方程的精確解析解，從而限制了熱效應(yīng)的深入研究.通過對熱傳導(dǎo)方程參數(shù)進行限制，可以得到近似的解析解.例如：側(cè)面泵浦的固體激光器中，通過泵浦光均勻分布近似[1]，可以得到解析解；端面泵浦的固體激光器中，通過忽略激光介質(zhì)軸向散熱[4]，或者將泵浦光分布做“頂端帽狀”光束近似[3]，也可以得到近似的解析解.然而這些解析解僅僅在溫度變化趨勢方面得到實驗驗證，在具體量值方面和實驗數(shù)據(jù)相差較遠.數(shù)值計算的發(fā)展為復(fù)雜的數(shù)學(xué)物理方程求解提供了數(shù)值模擬方法，因此可以對熱傳導(dǎo)方程進行數(shù)值求解，且求解方法不盡相同，各具特色，大都基于復(fù)雜的有限元法和迭代法.本文采用偏微分方程(Partial Differential Equation，PDE)工具箱[5]，對二極管端面泵浦的固體激光器系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)方程進行了求解，并對熱透鏡焦距進行了數(shù)值模擬，理論模擬結(jié)果和實驗測量結(jié)果相一致.

1 理論推導(dǎo)

針對二極管端面泵浦的固體激光器而言，由于泵浦光、激光介質(zhì)以及諧振腔均為軸對稱形狀，因此熱傳導(dǎo)方程可以簡化成柱坐標(biāo)系狀態(tài)下的軸對稱形式[6]，即

(1)

式中：r、z分別為激光介質(zhì)中沿徑向和軸向的變量；T(r，z)為激光介質(zhì)中溫度分布；Kc為介質(zhì)的熱傳導(dǎo)系數(shù)；q(r,z)為介質(zhì)中熱源分布函數(shù)并表示為

(2)

式中：Pp為泵浦功率；x為泵浦功率轉(zhuǎn)化成熱量的百分比；a為激光介質(zhì)對泵浦光的吸收系數(shù)；ωpa為平均泵浦光斑半徑.

激光介質(zhì)內(nèi)部溫度的不均勻分布會導(dǎo)致折射率的不均勻分布，進而導(dǎo)致光波通過激光介質(zhì)產(chǎn)生相位差Δφf(r)并表示為[4]

(3)

式中：l為激光介質(zhì)長度；l為激光波長；dn/dT為熱光系數(shù)；T(rb)為邊界條件；rb為激光介質(zhì)半徑.

相對光波通過焦距為f的薄凸透鏡，其徑向相位差ΔφL(r)表示為[4]

(4)

因此，激光介質(zhì)內(nèi)部溫度的不均勻分布最終導(dǎo)致了透鏡效應(yīng)，即熱透鏡.由式(4)可以看出，熱透鏡效應(yīng)只和徑向變量的二次方相關(guān)，因此將式(3)進行徑向變量r級數(shù)展開后只取其二次項.比較式(3)和式(4)，其熱焦距ft可以表示為

(5)

其中下標(biāo)S為積分結(jié)果中徑向變量r的二次項，即實際中只取積分結(jié)果中的二次項.

PDE工具箱為Matlab計算軟件自帶的數(shù)值求解偏微分方程的實用工具，求解原理為有限元法，可以對物理學(xué)中常見的橢圓型、拋物型及雙曲型等偏微分方程進行求解.式(1)為橢圓型偏微分方程，因此可以用PDE工具箱對激光介質(zhì)內(nèi)部溫度分布進行數(shù)值求解，并按照式(3)～(5)的過程對熱焦距進行數(shù)值模擬.

2 測量結(jié)果及分析

由于激光介質(zhì)內(nèi)溫度分布不均勻而產(chǎn)生類似于透鏡的作用，即熱透鏡效應(yīng)，且熱透鏡焦距會隨著泵浦功率的變化而變化.熱透鏡效應(yīng)關(guān)系著激光器的運轉(zhuǎn)穩(wěn)定性，對激光諧振腔的設(shè)計至關(guān)重要，因此實際中必須對熱焦距進行測量.常用的熱透鏡焦距測量方法有探測光束法[7]和平面平行諧振腔法[8]等.探測光束法指利用擴束準(zhǔn)直的探測光打入有泵浦光的激光介質(zhì)中，然后測量光聚焦位置.但是對于端面泵浦的固體激光器，探測光的打入非常困難，測量極其不方便.平面平行諧振腔法是利用諧振腔的臨界穩(wěn)定性條件測量有效的熱透鏡焦距，此方法簡單可靠.本文將采用平面平行諧振腔法對熱焦距進行測量.實驗裝置如圖1所示，圖1中泵浦源為波長808 nm的光纖耦合半導(dǎo)體激光器(LD)，輸出激光經(jīng)準(zhǔn)直聚焦透鏡組聚焦到激光介質(zhì)Nd：YVO4晶體中.激光諧振腔由平面鏡M1和平面鏡M2組成，其中M1到激光介質(zhì)距離為L1，M2到激光介質(zhì)距離為L2，實驗中要求L2? L1.波長為1 064 nm的輸出激光通過激光功率計測量其功率值.實驗中，若諧振腔運轉(zhuǎn)在穩(wěn)區(qū)范圍內(nèi)，則輸出功率隨泵浦功率線性增加；相反，若隨著泵浦功率增加，輸出功率突然下降，或者線性增加效果明顯減弱，該泵浦功率點為諧振腔的臨界狀態(tài)，此時的腔長L2和熱焦距值相同.

圖1 實驗裝置示意圖

基于實驗裝置中各相關(guān)參數(shù)，結(jié)合PDE工具箱，可以對式(1)進行數(shù)值求解.如圖2所示，數(shù)值模擬了不同泵浦功率Pp條件下，激光介質(zhì)內(nèi)部溫度分布的三維圖.由圖2可以看出，隨著泵浦功率增加，介質(zhì)內(nèi)部溫度整體升高.沿激光介質(zhì)軸向中心，溫度呈指數(shù)函數(shù)衰減；沿徑向，溫度呈多項式函數(shù)分布.

根據(jù)溫度分布的數(shù)值計算結(jié)果，結(jié)合式(3)進行相位差的數(shù)值積分，然后將數(shù)值積分結(jié)果做徑向變量r的多項式擬合，擬合出的二次項系數(shù)即為熱焦距相關(guān)項.由式(1)和式(2)可知，溫度分布函數(shù)T(r,z)作為微分方程的原函數(shù)，相對r變量其中只含常數(shù)項和r的偶數(shù)次方項，另外，多次實際擬合表明擬合到6次方以上和擬合到6次方無明顯區(qū)別.因此，本文擬合的多項式函數(shù)表達式為

Δφ(r)=a+br2+cr4+dr6

(6)

式中：a，b，c，d分別為擬合系數(shù)，將其中的二次項

br2代入式(5)便可得到熱焦距的數(shù)值計算結(jié)果.通過此方法計算得到熱焦距值ft和泵浦功率Pp關(guān)系如圖3中實線所示，由圖3可以看出，熱焦距值和泵浦功率呈反比例函數(shù)關(guān)系.計算過程中用到的相關(guān)參數(shù)值分別為：α= 4.1 cm-1；rb=0.15 cm；ωpa=0.058 cm；λ= 1 064 nm；l=1.5 cm；Kc=0.05 W·cm-1·K-1；dn/dT=3.0×10-6K-1；T(rb)=300 K.作為比較，實驗測量的熱焦距值[9]如圖2中方點所示，可以看出實驗測量結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果一致，說明該數(shù)值模擬方法正確合理.

圖3 熱焦距布和泵浦功率關(guān)系圖

3 結(jié) 論

1) 對端面泵浦固體激光介質(zhì)的熱傳導(dǎo)方程進行了數(shù)值求解，結(jié)果表明激光介質(zhì)中溫度沿徑向呈多次項函數(shù)分布，沿軸向呈指數(shù)衰減函數(shù)分布.

2) 以熱傳導(dǎo)方程數(shù)值求解為基礎(chǔ)對熱焦距進行了數(shù)值模擬，模擬結(jié)果證明激光介質(zhì)熱焦距和泵浦功率呈反比例關(guān)系，且該結(jié)果得到了實驗驗證.