(吉林師范大學數(shù)學學院，吉林 長春 130000)

0 引 言

Bell和Kappe[1]證明了，若d為R上的導子，在R的非零右理想上作為同態(tài)或反同態(tài)，則d=0.Ashaf[2]將結(jié)論推廣到了(σ,τ)-導子，Rehman[3]進一步研究素環(huán)非零理想上廣義導子作為同態(tài)或反同態(tài).Asma[4]進一步研究素環(huán)非零Jordan理想上廣義(θ,θ)-導子作為同態(tài)或反同態(tài).進一步研究了素環(huán)非零Jordan理想上右(θ,φ)-導子作為同態(tài)或反同態(tài)的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

設(shè)R為結(jié)合環(huán).對任意的a,b∈R,若由aRb=0,必有a=0或b=0, 則稱R為素環(huán).如果環(huán)R為2-扭自由的，則對任意的a∈R，若2a=0，則必有a=0.設(shè)R是環(huán),d:R→R是加性映射.若對任意的x,y∈R,滿足：d(xy)=d(x)y+xd(y),則稱d是R上的導子.若映射σ:R→R滿足：(1)σ(x)?R,x∈R;(2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y),x,y∈R;(3)σ(xy)=σ(x)σ(y),x,y∈R,則稱σ為R的自同構(gòu)．設(shè)R是結(jié)合環(huán),g:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同構(gòu). 若對任意的x,y∈R, 滿足g(xy)=g(x)θ(y)+φ(x)g(y) , 則稱g為R上的(θ,φ)-導子. 設(shè)R是環(huán)，I?R是R的可加子群，若對任意的r∈R，a∈I均有ra∈I，ar∈I，則稱I為R的理想.?x,y,z∈R，有[x,y]=xy-yx； [xy,z]=x[y,z]+[x,z]y； [x,yz]=y[x,z]+[x,y]z.

2 主要結(jié)果

引理1[4]: 若R是素環(huán)，J為R的非零Jordan理想.對于任意的a∈R，如果aJ=0(Ja=0)，則a=0.

引理2[4]: 若R是2-扭自由素環(huán)，J為R的非零Jordan理想.對于任意a,b∈R，如果aJb=0，則a=0或b=0.

定理1：R為2-扭自由素環(huán)，J是R的非零Jordan理想，J也是R的子環(huán)，設(shè)θ,φ在R上是自同構(gòu)的，d是R上的右(θ,φ)-導子.

(i)d作為同態(tài)在J上，則d=0.

(ii)d作為反同態(tài)在J上，則d=0.

證明：

(i)由于d在J上滿足同態(tài)，有

d(u)d(v)=d(uv)=d(v)θ(u)+d(u)φ(v),?u,v∈J在(1)用wu換u有

(2) d(w)d(u)d(v)=d(v)θ(w)θ(u)+d(w)d(u)φ(v), ?u,v,w∈J.

對(1)左乘d(w)有

(3) dwd(u)d(v)=d(w)d(v)θ(u)+d(w)d(u)φ(v)， ?u,v,w∈J.

由(2)(3)知d(v)θ(w)θ(u)=d(w)d(v)θ(u)，?u,v,w∈J.

又可得 (d(w)d(v)-d(v)θ(w))θ(u)=0，?u,v,w∈J.

又由(1)知d(w)φ(v)θ(u)=0， ?u,v,w∈J.

又可得φ-1(d(w))Jφ-1(θ(u)=0，?v,w∈J.

由引理1知d(J)=0或J=0 .

因為J≠0 所以 (4)d(J)=0 .

由(4)中用wr+rw換J并結(jié)合(4)有

0=d(wr+rw)=d(r)θ(w)+d(r)φ(w)=0,?w∈J,?r∈R.

在(5)中用wu換u有

(6) d(r)θ(w)θ(u)+d(r)φ(w)φ(u)=0,?u,w∈J,?r∈R.

對(5)右乘θ(u)有

(7) d(r)θ(w)θ(u)+d(r)φ(w)θ(u)=0,?u,w∈J,?r∈R.

由(6)(7)知 d(r)φ(w)φ(u)=d(r)φ(w)θ(u),?u,w∈J,?r∈R.

又可得 d(r)φ(w)(φ(u)-θ(u))=0,?u,w∈J,?r∈R.

即φ-1(d(r))Jφ-1(φ(u)-θ(u))=0,?u∈J,?r∈R.

由引理2知d(r)=0 或φ(u)-θ(u)=0,?u∈J,?r∈R.

如果d(r)=0,?r∈R，即d=0 即為所證結(jié)果.

如果φ(u)-θ(u)=0,?u∈J.

由(5)知2d(r)θ(w)=0,?w∈J,?r∈R.

因為R是2-扭自由的.

所以 d(r)θ(w)=0,?w∈J,?r∈R.

又可得θ-1(d(r))J=0,?w∈J,?r∈R.

由引理1知 d(r)=0,?r∈R，即d=0 即為所證結(jié)果.

(ii)由于F在J上滿足反同態(tài)，有

(8)d(v)d(u)=d(uv)=d(v)θ(u)+d(u)φ(v),?u,v∈J.

在(8)用vv換v有

(9) d(v)d(v)θ(u)+d(u)φ(v)φ(v)=d(v)d(v)d(u),?u,v∈J.

對(8)左乘d(v)有

(10) d(v)d(v)θ(u)+d(v)d(u)φ(v)=d(v)d(v)d(u),?u,v∈J.

由(9)(10)知

d(u)φ(v)φ(v)=d(v)d(u)φ(v),?u,v∈J

即 (d(v)d(u)-d(u)φ(v))φ(v)=0,?u,v∈J

由(8)知 d(v)θ(u)φ(v)=0 ,?u,v∈J.

又可得θ-1(d(v))Jθ-1(φ(v))=0 ,?v∈J由引理2知 d(J)=0 或J=0 .

因為J≠0 所以 d(J)=0 .

由(i)的證明過程可知d=0.

故命題得證.

3 結(jié) 語

研究了在素環(huán)非零Jordan理想J(且J是R的子環(huán))上的右(θ,φ)-導子d作為同態(tài)或反同態(tài)時，有d=0時，把(θ,φ)-導子的相關(guān)結(jié)果推廣到了右(θ,φ)-導子上，對進一步研究是很有幫助的.