瞿峰

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的靈魂.因此，在解題過(guò)程中準(zhǔn)確快捷的關(guān)鍵是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法. 求值時(shí)，當(dāng)問(wèn)題不能直接求出時(shí)，一般需要設(shè)未知數(shù)建立方程.用解方程的方法求出結(jié)果，這也是解題中常見(jiàn)的具有導(dǎo)向作用的一種思想.這里對(duì)方程思想舉例予以說(shuō)明，以供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考應(yīng)用.

例1 如下圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，其中∠ACB=78°，∠BAD=∠ABD，求∠ADB和∠BCE的度數(shù).

【分析】要求∠ADB 及∠BCE 度數(shù)，依條件知∠DBC= ∠DBA= ∠DAB. 采用“間接設(shè)元”比“直接設(shè)元”更有利于溝通各已知量之間的關(guān)系， 所以設(shè)∠DBA 為 x. 設(shè)元后，再用三角形內(nèi)角和定理作為等量關(guān)系列出方程 .

【解答】在△ABC 中，由于BD 平分∠ABC ，

∴ ∠DBC= ∠DBA.

又∠DBA= ∠DAB ，設(shè)∠DBA=x ，

那么∠DBC= ∠DAB=x.

∵∠ACB=78°，

∴ x+2x+78° =180°，

解得 x=34°.

∴∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA

=180°-2x=112° .

在△BCE 中，∵ CE⊥AB ，

∴ ∠CEB=90° .

∴ ∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB

=180°-2x-90° =22° .

故∠ADB=112°，∠BCE=22° .

【評(píng)析】這是角平分線性質(zhì)與方程的結(jié)合解題，是方程思想在幾何中的應(yīng)用，用方程的思想，這類問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了。

例2 等腰三角形頂角的外角與一個(gè)底角的外角和等于245°，求它的頂角的度數(shù).

【分析】這是關(guān)于等腰三角形角的計(jì)算.可考慮應(yīng)用設(shè)未知數(shù)列方程的方法計(jì)算.

【解答】解： 方法一，設(shè)這個(gè)等腰三角形的頂角為x，根據(jù)同一三角形中等邊對(duì)等角，則它的一個(gè)底角為（180-x）°，這個(gè)頂角的外角為（180-x）°，底角的外角為[180-（180-x）]°.

由題意可得： （180-x）+[180-（180-x）]=245

∴180-x+180-90+x=245

∴-x=245-270

∴x=50

答：這個(gè)三角形頂角為50°.

解： 方法二，設(shè)頂角為x，底角為y，頂角外角為（180-x）°，底角外角為（180-y）°.

由三角形內(nèi)角和定理可得：x+2y=180

由題意可得： （180-x）+（180-y）=245， ∴x+y=115，

∴x+2y=180x+y=115

解方程組得 x=50y=65

答：這個(gè)三角形頂角為50°.

【評(píng)析】方程是解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題可以通過(guò)構(gòu)造方程而獲解.事實(shí)上，用設(shè)未知數(shù)的方法表示所求的未知量，可使計(jì)算過(guò)程書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，也易于表明角與角之間的關(guān)系.

例3如圖，△ABC是等腰三角形，分別向△ABC 外作等邊△ADB 和等邊△ACE，若∠DAE=∠DBC，求△ABC三個(gè)內(nèi)角的大小.

【分析】先利用∠DAE=∠DBC求出∠BAC與∠ABC之間的關(guān)系， 再利用內(nèi)角和定理求出它們的大小.

【解答】在△ADB 和△ACE等邊三角形中，

∴∠DAE=60°+∠BAC+60°，

又∠DBC=60°+∠ABC

并且∠DAE=∠DBC，

∴120°+∠BAC=60°+∠ABC

即∠ABC=60°+∠BAC，

又∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°+∠BAC，

設(shè)∠BAC=x， 則x+2（x+60）=180，

解得x=20.

即△ABC三個(gè)內(nèi)角的大小分別為20°， 80°， 80°.

【評(píng)析】本題是幾何與代數(shù)的綜合題，先利用幾何的等量關(guān)系，再列出方程求解.方程是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，也是重要的數(shù)學(xué)思想.幾何計(jì)算、幾何證明也常通過(guò)方程解決.

例4 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（-2，-3）、B（1，3）兩點(diǎn).求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.

【分析】關(guān)鍵是要確定x與y的函數(shù)解析式，而確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵在于確定系數(shù)k，而系數(shù)的確定就需要借助于解關(guān)于的方程.

【解答】設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b.

∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，-3）、B（1，3），

∴-2k+b=-3k+b=3.

解得k=2b=1.

∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=2x+1.

【評(píng)析】這是一個(gè)用“待定系數(shù)法”解決的函數(shù)題，是方程思想在代數(shù)中的應(yīng)用.

總之，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，要善于總結(jié)歸納，強(qiáng)化方程思想，感受用方程解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，逐步培養(yǎng)和提高自己用方程思想解決問(wèn)題的能力.

（作者單位：山東臨沂臨港經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)臨港一中）