吳樂樂，柏 楊，吳龍龍

（1.重慶市教育科學(xué)研究院，重慶 400015；2.重慶市大渡口區(qū)百花小學(xué)，重慶 400084；3.重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，重慶 401320）

數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，應(yīng)用于解決實(shí)際問題，是一門古老的工具學(xué)科。數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)是一種語言，核心功能是交際工具。中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具”[1]。“數(shù)學(xué)作為對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語言與工具，不僅是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用?！盵2]引導(dǎo)中小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言、掌握數(shù)學(xué)語言、運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)閱讀、跟進(jìn)數(shù)學(xué)表達(dá)、強(qiáng)化數(shù)學(xué)交流，最終實(shí)現(xiàn)掌握舊知、探究未知、獲取新知、發(fā)展已知，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已經(jīng)成為中小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革關(guān)注的重點(diǎn)。

一、數(shù)學(xué)閱讀是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重心

經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織、歐盟、加拿大、英國、法國、日本、新加坡等紛紛將“語言溝通與交流”“數(shù)學(xué)表達(dá)和理解”納入21世紀(jì)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)。[3]數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)語言和交際工具，其溝通與交流能力、理解與表達(dá)能力更是學(xué)生發(fā)展的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)。

數(shù)學(xué)語言，不僅具有漢語、英語、法語等語言具有的符號(hào)性、系統(tǒng)性、傳承性和交際性等特征，更具有嚴(yán)謹(jǐn)性、準(zhǔn)確性、簡約性、不變性等特點(diǎn)。正如數(shù)學(xué)基本符號(hào)、基本公式、基本公理等，在任何國家所傳遞的信息均不會(huì)改變。數(shù)學(xué)語言已經(jīng)成為全世界、全科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)通用的“無障礙”交際語言。

學(xué)習(xí)一門語言，最重要的是培養(yǎng)“聽、說、讀、寫、譯”五大能力，概括起來就是“輸入”與“輸出”兩大維度的能力。通過“聽、讀”輸入信息，通過“說、寫、譯”輸出信息。結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)關(guān)鍵應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生的閱讀與表達(dá)能力。數(shù)學(xué)閱讀是數(shù)學(xué)表達(dá)的前提，為數(shù)學(xué)表達(dá)提供信息、奠定基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。正如我們?cè)谡Z言學(xué)習(xí)過程中，第一個(gè)環(huán)節(jié)大體都是搞懂、明白、理解對(duì)方的意思，然后才有針對(duì)性地組織語言，做出相應(yīng)的語言表達(dá)。

數(shù)學(xué)閱讀是一種理解、領(lǐng)悟、吸收、鑒賞、評(píng)價(jià)和探究的思維過程。數(shù)學(xué)閱讀是深入貫徹?cái)?shù)學(xué)學(xué)科三大核心思想——抽象思想、推理思想和模型思想[4]，有效轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)學(xué)科三大特征（也是三大重難點(diǎn)）——高度抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性和廣泛應(yīng)用性[5]，有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科十大核心素養(yǎng)——數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)[6]的重要載體和重要保障。數(shù)學(xué)閱讀能夠?qū)崿F(xiàn)抽象問題的具體化、生活化處理，能夠科學(xué)有序地開展嚴(yán)格的邏輯推理及論證，能夠準(zhǔn)確建構(gòu)數(shù)學(xué)模型高效解決社會(huì)實(shí)際問題。

中小學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)閱讀能力是優(yōu)秀學(xué)生必須具備的關(guān)鍵能力，也是優(yōu)秀學(xué)生變得更加優(yōu)秀的關(guān)鍵能力。而絕大多數(shù)學(xué)困生，歸因于數(shù)學(xué)閱讀綜合能力低，具體表現(xiàn)為：一是數(shù)學(xué)閱讀興趣低，內(nèi)動(dòng)力不足；二是數(shù)學(xué)語義理解能力、邏輯判斷能力、分析概括能力、組織轉(zhuǎn)化能力、聯(lián)想創(chuàng)造能力等偏低，閱讀基礎(chǔ)薄弱；三是數(shù)學(xué)閱讀材料以及方法的選擇提煉能力低，閱讀效果不佳。因此，數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)的核心，是數(shù)學(xué)課程實(shí)施的關(guān)鍵。

二、中小學(xué)數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)的著力點(diǎn)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)主義心理學(xué)家布魯納強(qiáng)調(diào)學(xué)科結(jié)構(gòu)的重要性，提出“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”，指出“學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)是指一個(gè)學(xué)科圍繞其基本概念、基本原理以及基本態(tài)度和方法而形成的整體知識(shí)框架和思維框架”。[7]“基本概念”“基本原理”“基本態(tài)度與方法”成為學(xué)生掌握學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的框架體系和關(guān)鍵載體。

數(shù)學(xué)作為一種思維形式的判斷與推理，通常以定理、法則、公式等方式表現(xiàn)出來。林崇德指出，提高數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵是“合并同類項(xiàng)”，實(shí)質(zhì)就是培養(yǎng)由個(gè)別到一般的概括能力。數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)在于講清楚基本概念，而數(shù)學(xué)概念的掌握需要概括能力做基礎(chǔ)，同時(shí)又促進(jìn)概括能力的發(fā)展。[8]史寧中在《基本概念與運(yùn)算法則》一書中，明確并強(qiáng)調(diào)了“基本概念”與“運(yùn)算法則”是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容。[9]李光樹指出，數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則等以及它們之間的聯(lián)系是構(gòu)成數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的物質(zhì)基礎(chǔ)。[10]

結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，不難發(fā)現(xiàn)“基本概念”“公式法則”“基本定理”“問題解決”等，既是教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的重心，也是考試評(píng)價(jià)的重心；既是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)工具探究未知、獲取新知的關(guān)鍵，也是發(fā)展理性思維和智力文化的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)“基本概念”“公式法則”“基本定理”和“問題解決”成為中小學(xué)數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)關(guān)注的重要內(nèi)容。

三、中小學(xué)數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)的策略

張楚廷指出，“哲學(xué)就是一門尋根究底的學(xué)問，或者說就是打破砂鍋問到底的學(xué)問”[11]。數(shù)學(xué)被古希臘學(xué)者視為“哲學(xué)之起點(diǎn)”“學(xué)問的基礎(chǔ)”，那么數(shù)學(xué)“基本概念”“公式法則”“基本定理”“問題解決”等閱讀教學(xué)，更應(yīng)該做到“咬文嚼字”“追根溯源”“厘定關(guān)聯(lián)”等。

（一）基本概念的閱讀策略——咬文嚼字、發(fā)散聯(lián)想

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般要經(jīng)過從孤立到系統(tǒng)、從抽象到具體、從表面到本質(zhì)的過程[12]，基本策略是“咬文嚼字、發(fā)散聯(lián)想”。

如“鄰補(bǔ)角”是指“兩個(gè)角，有一邊是公共邊，另一邊是互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角”。閱讀教學(xué)過程中，從質(zhì)性的位置關(guān)系解讀，“鄰”就是“相鄰、鄰居”的意思；從量性的數(shù)量關(guān)系解讀，“補(bǔ)”就是“互補(bǔ)”的意思，言外之意，滿足“相鄰”的位置關(guān)系和“互補(bǔ)”的數(shù)量關(guān)系的兩個(gè)角，就是互為鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角不是一個(gè)角的性質(zhì)特征，而是兩個(gè)角之間的質(zhì)性、量性關(guān)系。

又如“系數(shù)”是指“單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)”。閱讀教學(xué)過程中，“系”要與“一女牽牛過獨(dú)橋”的“牽”，也就是“在前邊拉、拽”等關(guān)聯(lián)起來?！跋禂?shù)”也要充當(dāng)位居前邊的角色，這與單項(xiàng)式的表達(dá)規(guī)則，即“數(shù)字因數(shù)寫在字母因式之前”的規(guī)則相吻合。

按照“咬文嚼字”和“發(fā)散聯(lián)想”相結(jié)合的方式開展數(shù)學(xué)基本概念閱讀，能夠深度解讀、挖掘、理順字與字之間的關(guān)聯(lián)，能夠準(zhǔn)確掌握概念界定的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，能夠極大促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知。

（二）公式定理的閱讀策略——追根溯源、系統(tǒng)建構(gòu)

數(shù)學(xué)公式定理通常具備三種功能：一是表達(dá)理論依據(jù)；二是表達(dá)規(guī)則及作用；三是表達(dá)遵循的基本程序或方法。公式定理是建立在數(shù)學(xué)基本概念之上的，是聯(lián)結(jié)多個(gè)基本概念、厘清并表達(dá)概念與概念之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的核心主線。數(shù)學(xué)公式定理的閱讀和學(xué)習(xí)，需要做到“追根溯源”“系統(tǒng)建構(gòu)”，以理順核心知識(shí)主線，強(qiáng)化認(rèn)知聯(lián)結(jié)。

如“一元二次方程求根公式”是在“降次”思想指導(dǎo)下，通過“配方法”，將等式的一邊化成關(guān)于未知數(shù)的“完全平方式”，另一邊化成不含未知數(shù)的式子，然后根據(jù)“求平方根”的運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)“降次”的目標(biāo)。同時(shí)，根據(jù)“求平方根”的基本原則，得出“一元二次方程求根公式”有意義的條件是“被開方式子非負(fù)”，由此得出一元二次方程“根的判別式”結(jié)論。甚至通過設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)算得出“韋達(dá)定理”的結(jié)論。

進(jìn)一步延伸，“一元二次方程求根公式”是求解“一元二次方程”的通法，但不是唯一的方法?！耙辉畏匠獭钡那蠼馐墙⒃凇耙辉淮畏匠獭钡闹R(shí)、方法儲(chǔ)備基礎(chǔ)上的。聯(lián)想到“多元一次方程組的求解”是通過“加減消元、代入消元”等方法，將“多元”成功轉(zhuǎn)化成“一元”，那么“一元二次方程”的求解也應(yīng)該通過“降次”的思想，將“二次”甚至“高次”成功轉(zhuǎn)化為“一次”，然后再求解。

“降次”的對(duì)立面是“升次”。我們可以通過“求平方根”，即“開平方”實(shí)現(xiàn)“降次”，還可以通過哪些知識(shí)實(shí)現(xiàn)“降次”？繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入挖掘和系統(tǒng)建構(gòu)，“開平方”的逆運(yùn)算是“平方”，正如“除法”的逆運(yùn)算是“乘法”，“因式分解”的逆運(yùn)算是“整式乘法”一樣。我們?cè)凇耙蚴椒纸狻敝袑W(xué)過運(yùn)用“十字相乘法”分解“二次三項(xiàng)式”，而“一元二次方程”含有未知數(shù)的一側(cè)恰好也是“二次三項(xiàng)式”，如果我們能夠把“一元二次方程”含有未知數(shù)的一側(cè)因式分解成兩個(gè)“一次因式”的乘積，那么也能夠?qū)崿F(xiàn)“降次”，求解出方程。這樣，通過“一元二次方程求根公式”，我們把“完全平方公式”“配方法”“因式分解”“整式乘法”等知識(shí)與方法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)進(jìn)行了系統(tǒng)梳理和建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)圖譜的建構(gòu)和推導(dǎo)運(yùn)用。

（三）綜合問題的閱讀策略——學(xué)思知行、雙向轉(zhuǎn)換

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)涉及“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”等四個(gè)領(lǐng)域，“知識(shí)點(diǎn)的瑣碎性使綜合應(yīng)用題、幾何證明題的求解具有多樣性、困難性，使不少學(xué)生因難度大而難以解決此類問題”。[13]實(shí)踐表明，“讀不懂題意”“理不順關(guān)系”是求解綜合應(yīng)用題、幾何證明題的最大障礙。歸根結(jié)底，原因在于不會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，不會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問題，不會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題。[14]“數(shù)學(xué)的語言表達(dá)”是一切數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)活動(dòng)的最終落腳點(diǎn)和最終升華點(diǎn)。這類綜合問題閱讀教學(xué)的基本策略是“學(xué)思知行”“雙向轉(zhuǎn)換”。

“學(xué)思知行”是數(shù)學(xué)教育的基本要求，也是處理數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用問題和幾何證明問題的基本策略。數(shù)學(xué)綜合問題的解決過程是學(xué)、思、知、行相互交織、共同作用于學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的整體。打造“學(xué)思知行”有機(jī)結(jié)合的數(shù)學(xué)課堂是破解課堂教學(xué)難題的一大突破口。[15]“學(xué)”要做到有目的、有計(jì)劃、有組織，聚焦待解問題，提綱挈領(lǐng)地學(xué)習(xí)、掌握題干內(nèi)容、已知條件的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和主旨要義?！八肌币龅浇忸}思維“雙向轉(zhuǎn)換”、語言符號(hào)“雙向轉(zhuǎn)換”、方法思路“雙向轉(zhuǎn)換”，分析問題采取由問題到條件的逆向思維，解答問題采取由條件到問題的正向思維，細(xì)讀、深究已知條件與待解問題之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，確定解題思路，做到“能進(jìn)能退”?！爸笔墙⒃凇皩W(xué)”與“思”的基礎(chǔ)上的，是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)策略等學(xué)科素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)，需要長時(shí)間的積累和升華?！爸蹦軌?yàn)槲覀兦蠼饩C合應(yīng)用問題、幾何證明問題提供“頓悟”式解題思路和策略，這與赫爾巴特建構(gòu)的“基于已有經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、興趣、態(tài)度等而產(chǎn)生的一種自發(fā)心理活動(dòng)，即統(tǒng)覺”是相一致的。“行”是綜合問題閱讀教學(xué)的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)解題能力提升的最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)?！靶小笔菍ⅰ皩W(xué)”“思”“知”三個(gè)環(huán)節(jié)的分析、建構(gòu)、頓悟等結(jié)論，用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來的過程，需要做到思路清晰、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、簡明扼要、表達(dá)規(guī)范。

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