柯李瑞

(溫州大學數(shù)理與電子信息工程學院，浙江溫州 325035)

在巖土工程、機械設計、彈性力學、材料力學等工程和物理問題中，常會遇到只需求解某幾個特殊點處的函數(shù)值的集中載荷問題.這種情況下，繼續(xù)使用有限元方法，會計算很多不必要的值，造成浪費.因此，文[1]提出了一種新的求解橢圓型方程的方法——有限元的概率算法，文[2]確立了有限元概率算法的基本理論，文[3]在此基礎上針對一類特殊的二維橢圓邊值問題提出了一種高效蒙特卡羅算法，使工作量大大減少.本文給出了一種求解常系數(shù)三維橢圓邊值問題的蒙特卡羅算法，并通過算例說明了該方法的可行性.

1 一類橢圓邊值問題的蒙特卡羅算法

問題的提出：

本文思路.首先，將方程(1)轉化為如下方程：

然后，運用有限元的蒙特卡羅算法求解上述方程即可.

所以有：

即BBT=A，其中

由A的對稱正定性，可以求解得到.從而，方程(1)可以轉化為如下形式：

求解方程(1)在任意一點數(shù)值解的問題轉化為求解方程(2)在任意一點數(shù)值解的問題.

方程(2)是一類經典的方程，求解這類方程的關鍵在于Ω1和f(y)，還有c.當Ω1，f(y)以及c中有一個改變時，方程的解也隨之改變.

當Ω1為一般區(qū)域時，求解方程(2)的數(shù)值解比較困難.所以，本文先考慮簡單情形：Ω1為以y0為球心，以R為半徑的球.

設存在游粒β，當它位于點y時，質量為一單元的游粒擁有能量v(y).假設在初始狀態(tài)下，處有一單位質量的游粒β，每次它都直接游動到Γ1，且游動到Γ1上的每一點的概率相同.記游到Γ1上的點為，則為隨機變量[4]，從而也為隨機變量，關于有以下結論.

定理1[1]隨機變量的期望與方差均存在，且

由以上分析可知，游粒游動到Γ1上的每一點的概率相同，所以可以構造如下求解的概率模型[5]：假設存在常數(shù)h＞0.對邊界Γ1進行三角形網格劃分，以Ω1的內接正八面體為基礎，將邊界Γ1分為8個等球面三角形，然后應用“經緯度平分法”進一步細分球面三角形，直到Γ1上球面三角形的每兩個頂點之間的距離不超過h為止.這樣就得到邊界Γ1的近似均勻劃分.將網格頂點記為邊界Γ1上的結點，且依次記為，令每次游動到的概率為：，這樣構造的概率滿足以下條件：

上面給出了當Ω1為以y0為球心的球時求解的方法.當Ω1為一般區(qū)域[6]時，由于計算困難，所以不使用游粒從y0直接到達Γ1上的方法來求，但可采用下述方法求：

取定一個足夠小的數(shù)ε，在Ω1內以y0為球心，以y0到邊界Γ1的最小距離為半徑作球，并將其邊界記為，半徑記為R0.游粒從y0出發(fā)，直接隨機游到，并且到達上的每一點的概率相同.記y0到達上的點為，有.由于未知，所以游粒需要繼續(xù)游動.設y0到達上的點為y1，在Ω1內以y1為球心，以y1到邊界Γ1的最小距離為半徑作球，并將其邊界記為，半徑記為R1.游粒直接從y1出發(fā)，隨機游到，并且到達上的每一點的概率相同.記y1到達上的點為，有.讓游粒這樣一直游動，若該游粒在游動ni次后到達Γ1，記該次實驗終點為.如果在游動ni次后仍未到達邊界Γ1，但到邊界Γ1的距離小于或等于ε，不妨把它設為，讓游粒直接游到邊界Γ1上離它最近的點，記這次實驗終點為.

設此次游動共進行了N次，由上述分析可得：

設實驗次數(shù)為N，由以上分析，可得本文求解方程(2)的任意一點y0的數(shù)值解的蒙特卡羅算法的步驟如下：

1)取定N和ε；

2)取S=0；

3)取C=0；

4)取y=y0；

5)確定點y是否在Γ1上，如果點y在Γ1上，則轉12)，如果點y不在Γ1上，則轉6)；

6)求出y到Γ1的最小距離

8)以點y為球心，以Ri為半徑作球，其中；

9)令y隨機游動到Γi上任一點(游動到Γi上任一點的概率相同)，記游動終點為yi，轉5)；

10)找到y(tǒng)距離Γ1最近的點，求出兩點間距離，并讓游粒直接到達該點；

13)判斷C＜N是否成立，若成立，轉(4)；

以上討論了三維情況下求方程(2)在任意一點y0處的數(shù)值解的方法.由于本文要求的是方程(1)在指定點的數(shù)值解，所以首先應該將所求點x0轉化為y0，然后用上述方法，通過求解y0處的數(shù)值解來得到x0處的數(shù)值解.

2 數(shù)值算例

考慮方程

表1 點游動結果與方程精確解的比較Table 1 Comparison with the Result of the Equation at point and the Exact Solution of the Equation

通過上述算例，說明本文提出的對于常系數(shù)三維橢圓邊值問題的蒙特卡羅算法是可行的.

[1] 朱起定.有限元概率算法[J].湘潭大學自然科學學報，1989，11(3)：1-5.

[2] 朱起定.有限元概率算法的基本理論[J].湘潭大學自然科學學報，2001，23(2)：121-133.

[3] 何文明，崔俊芝.一類特殊的橢圓型問題的高效蒙特卡羅算法[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學，2004(2)：210-217.

[4] 朱起定.橢圓邊值問題的概率算法[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學，2002(2)：168-179.

[5] 孫文彬，趙學勝，高彥麗，等.球面似均勻格網的剖分方法及特征分析[J].地理與地理信息科學，2009(1)：53-60.

[6] 朱起定.調和方程第一邊值問題高效概率算法[J].計算數(shù)學，2000(1)：121-128.

Monte-Carlo Method for Three-dimensional Elliptic Boundary Value Problem with Constant Coefficient