王文慶，湯 凱

(1.溫州商學(xué)院基礎(chǔ)部，浙江溫州 325035；2.溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

Morley元是常用于求解四階橢圓型方程的一種非協(xié)調(diào)元，在每個(gè)單元上，它的形函數(shù)是完整的二次多項(xiàng)式，節(jié)點(diǎn)參數(shù)是單元頂點(diǎn)上的三個(gè)函數(shù)值及三邊中點(diǎn)上的法向?qū)?shù)值.與傳統(tǒng)的協(xié)調(diào)元相比，Morley元結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，是自由度最少的非協(xié)調(diào)元.1975年，Lascaux和Lesaint用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明了Morley元對(duì)于四階橢圓型問(wèn)題的收斂性[1].而經(jīng)過(guò)證明，Morley元對(duì)于二階問(wèn)題是發(fā)散的[2]，因此不能直接用于求解二階橢圓問(wèn)題.

本文通過(guò)引入投影算子，給出了一種求解二階橢圓問(wèn)題的修正Morley方法，并證明了其收斂性及低階模估計(jì).

1 修正的Morley元方法

問(wèn)題(1)的變分形式為：

1)K是一個(gè)三角元；

設(shè)

由上述定義可得：

設(shè)Vh為函數(shù)值在Th外邊界頂點(diǎn)處為零的Morley元空間，則二階橢圓問(wèn)題的修正Morley元方法就是求，使得

分別定義獨(dú)立網(wǎng)格范數(shù)和半范如下：

性質(zhì)1 存在一個(gè)不依賴(lài)于h的正常數(shù)M＞0，使得

性質(zhì)2 存在不依賴(lài)于h的正常數(shù)α，使得

2 誤差估計(jì)

對(duì)離散問(wèn)題(4)的修正Morley元解uh進(jìn)行誤差分析.在下面的證明中，C表示一個(gè)與網(wǎng)格大小及函數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)，在不同的地方出現(xiàn)可以取不同的值.

現(xiàn)給出以下引理：

證明：由投影算子hP定義可得：

則有

證畢.

定理1 設(shè)u和uh分別為問(wèn)題(2)和(4)的解，且，則

證明：設(shè)uI是u在Vh上的插值，是u在Wh上的插值.令，則

所以有：

由三角不等式得：

證畢.

定理2 設(shè)u和uh分別為問(wèn)題(2)和(4)的解，為有界凸多邊形區(qū)域，且，則有：

證明：設(shè)w為如下輔助變分問(wèn)題的解：

在凸多邊形區(qū)域的假設(shè)下，有正則性估計(jì)[5]：

設(shè)wI是w在Vh上的插值，是w在Wh上的插值.

所以有：

證畢.

[1] Lascaux P, Lesaint P. Some nonconforming finite elements for the plate bending problem [J]. Rairo Anal Numer, 1975,9(1):9-53.

[2] Wang M. On the necessity and sufficiency of the patch test for convergence of nonconforming finite elements [J].Siam J Numer Anal, 2001, 39(2):363-384.

[3] Wang M, Xu J C. The Morley element for fourth order elliptic equations in any dimensions [J]. Numer Math, 2006,103(1):155-169.

[4] Wang M, Xu J C, Hu Y C. Modified Morley element method for a fourth order elliptic singular perturbation problem[J]. J Comput Math, 2006, 24(2):113-120.

[5] Ciarlet P G. The finite element method for elliptic problems [M]. North-Holland:North-Holland Publishing Co. , 1978:131-139.