☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 余小芬 蒲葭露 劉成龍

多數(shù)高考試題立意深刻、構(gòu)思巧妙、設(shè)計(jì)新穎，直接體現(xiàn)了高考命題理念、命題原則、命題思路.研究高考試題，對(duì)把握試題特點(diǎn)、知識(shí)考點(diǎn)、難易程度有益；對(duì)把握高考命題動(dòng)態(tài)、領(lǐng)會(huì)命題精神有利；對(duì)提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性、減少?gòu)?fù)習(xí)盲目性有效.本文以2013～2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題為研究對(duì)象，從試題特點(diǎn)、考查要點(diǎn)、教學(xué)建議進(jìn)行分析，以饗讀者.

一、2013～2018年全國(guó)卷 “概率與統(tǒng)計(jì)”試題特點(diǎn)

1.命題背景

概率與統(tǒng)計(jì)是高考數(shù)學(xué)中考查實(shí)際應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)建模能力的一個(gè)重要載體，也是考查必然與或然數(shù)學(xué)思想的重要內(nèi)容.全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)命題取材貼近生產(chǎn)、生活，比如，概率部分常以抽簽選號(hào)、比賽得分、電路流通、質(zhì)量抽檢等角度命題，考查各類(lèi)隨機(jī)事件的概率；統(tǒng)計(jì)部分常從成本控制、利潤(rùn)獲取、方案決策、數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)等角度命題，考查利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體特征，利用均值、方差等對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出評(píng)價(jià)或判斷.特別指出，2018年高考重視數(shù)學(xué)文化考查，比如2018年全國(guó)Ⅰ卷理科第10題以古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的直角三角形外接半圓圖形為載體考查幾何概型，2018年全國(guó)Ⅱ卷理科第8題以哥德巴赫猜想為背景考查古典概型等等.

2.知識(shí)考查

近年全國(guó)卷中概率與統(tǒng)計(jì)部分主要考查抽樣方法（以分層抽樣為主）、統(tǒng)計(jì)圖（表）的應(yīng)用（識(shí)圖、作圖、用圖）、系數(shù)的相關(guān)性（獨(dú)立性檢驗(yàn)思想、回歸思想的運(yùn)用）、隨機(jī)事件（互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、等可能事件）的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差、正態(tài)分布.

概率與統(tǒng)計(jì)命題中呈現(xiàn)一定的交匯性.首先，概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)交織緊密，尤其以統(tǒng)計(jì)圖（表）為載體，結(jié)合圖（表）中數(shù)據(jù)，運(yùn)用頻率估計(jì)概率思想，考查古典概型、互斥事件的概率加法公式、對(duì)立事件的概率乘法公式等.其次，在分析生產(chǎn)、銷(xiāo)售中的成本、利潤(rùn)問(wèn)題時(shí)，概率統(tǒng)計(jì)與分段函數(shù)、函數(shù)最值相結(jié)合是歷年考查的熱點(diǎn).

3.能力考查

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下文簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.其中，數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng).概率與統(tǒng)計(jì)部分教學(xué)的主要目的是使學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)與概率的基本思想，處理數(shù)據(jù)、制定決策，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”的理性思維.全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)部分對(duì)學(xué)生能力的考查呈現(xiàn)6大特點(diǎn)：淡化解題技巧，重視通性通法；減少運(yùn)算速度要求，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算思路本身；重視形成科學(xué)正確的隨機(jī)觀念認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象；重視培養(yǎng)對(duì)信息的閱讀、篩選、分析能力；重視培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題中的估算、判斷、決策能力；重視必然與或然、分類(lèi)與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的運(yùn)用.

4.命題規(guī)律

（1）客觀題的命題規(guī)律

2013～2014年全國(guó)卷客觀題主要考查概率知識(shí)，尤其古典概型在歷年試題中均有涉及.從2015年開(kāi)始，客觀題重視考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)，以對(duì)統(tǒng)計(jì)圖的認(rèn)識(shí)為主要考查形式.同時(shí)，幾何概型成為概率部分的“新興”考點(diǎn)，尤其在2016、2017、2018年考查題數(shù)最多，主要涉及線段、面積模型.此外，抽樣方法、樣本數(shù)據(jù)特征、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布等知識(shí)點(diǎn)隔年交替考查，主要考查基本概念、公式等規(guī)則的運(yùn)用.

（2）解答題的命題規(guī)律

2010年前，全國(guó)卷考查核心為隨機(jī)事件的概率，重視邏輯推理，強(qiáng)調(diào)排列組合問(wèn)題解答的技巧性，但在合情推理和應(yīng)用意識(shí)方面考查較少.從2011年開(kāi)始，增加考查頻率分布表、頻率分布直方圖的應(yīng)用，通過(guò)利用圖（表）中數(shù)據(jù)，利用頻率估計(jì)概率的思想解決問(wèn)題.2013～2016年，又增加對(duì)莖葉圖、散點(diǎn)圖、折線圖的應(yīng)用考查，增加考查繪制（或完善）莖葉圖、頻率分布直方圖，增加回歸分析統(tǒng)計(jì)案例，重視結(jié)合實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行判斷、評(píng)價(jià)、預(yù)測(cè)處理.2017年獨(dú)立性檢驗(yàn)在?？?年后“重登舞臺(tái)”，并且2018年依然“隆重登場(chǎng)”；正態(tài)分布在?？?后，2017年“再現(xiàn)身影”.尤其是正態(tài)分布試題具有鮮明的特點(diǎn)：從以往考查“已知規(guī)則、簡(jiǎn)單套用”過(guò)渡到考查“理解原理、回歸運(yùn)算”.（裴光亞語(yǔ)）總的來(lái)看，盡管解答題煥然一新，但對(duì)中位數(shù)、均值、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)據(jù)的計(jì)算仍為考查重點(diǎn)，頻率估計(jì)概率、樣本估計(jì)總體仍是問(wèn)題解決的核心思想.

二、2010～2018年全國(guó)卷 “概率與統(tǒng)計(jì)”試題分類(lèi)評(píng)析

為進(jìn)一步把握命題方向，下面對(duì)近八年全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題分類(lèi)評(píng)析.

1.統(tǒng)計(jì)部分

（1）抽樣方法

在統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求，選擇不同的抽樣方法獲取數(shù)據(jù)，理解數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息.常見(jiàn)抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣.近年全國(guó)卷中，抽樣方法主要涉及分層抽樣.例如2018年全國(guó)Ⅰ卷文科第18題、2018年全國(guó)Ⅲ卷文科第14題、2013年全國(guó)Ⅰ卷理科第3題.

（2）統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用

統(tǒng)計(jì)圖表具有直觀、實(shí)用的特性.《標(biāo)準(zhǔn)》指出：根據(jù)數(shù)據(jù)分析的需求，選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表描述和表達(dá)數(shù)據(jù)，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征，估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.高考對(duì)統(tǒng)計(jì)的考查也常以統(tǒng)計(jì)圖表為信息載體，從多角度、多層次命制試題，充分考查學(xué)生識(shí)圖、作圖、用圖的能力.

（?。┖?jiǎn)單識(shí)圖應(yīng)用

近年，全國(guó)卷立足生產(chǎn)、生活熱點(diǎn)，設(shè)計(jì)出很多可讀性強(qiáng)、圖文新穎、貼近生活的統(tǒng)計(jì)圖.比如2016年全國(guó)Ⅲ卷理科第4題介紹一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖、2017年全國(guó)Ⅲ卷理科第3題考查了以“旅游”為背景的折線統(tǒng)計(jì)圖、2018年全國(guó)Ⅰ卷理科第3題呈現(xiàn)了關(guān)于新農(nóng)村建設(shè)的農(nóng)村經(jīng)濟(jì)收入變化餅狀圖.

（ⅱ）用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體特征

“以數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的思考方式已成為現(xiàn)代社會(huì)普遍應(yīng)用的思維模式，以樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)學(xué)最核心的思想方法”.歷年全國(guó)卷中，不乏用樣本估計(jì)總體的試題，這類(lèi)題考查學(xué)生畫(huà)（或完善）頻率分布直方圖、莖葉圖等，并從樣本中提取或計(jì)算重要數(shù)據(jù)，如“三數(shù)”、標(biāo)準(zhǔn)差等，進(jìn)而要求對(duì)總體進(jìn)行合理的解釋或評(píng)價(jià)的能力.

例如2018年全國(guó)Ⅰ卷文科第19題，該題堅(jiān)持了高考“立德樹(shù)人”的基本導(dǎo)向，通過(guò)對(duì)比某家庭使用節(jié)水龍頭前后的用水量，讓學(xué)生樹(shù)立保護(hù)水資源的可持續(xù)發(fā)展意識(shí)，培養(yǎng)節(jié)約用水的良好品行.第1問(wèn)考查頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的作圖能力；第2問(wèn)考查利用樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體特征、古典概型等基本知識(shí)，考查學(xué)生的估算意識(shí)以及計(jì)算能力；第3問(wèn)涉及對(duì)節(jié)水前后用水量的對(duì)比，考查學(xué)生對(duì)頻數(shù)分布表的理解和應(yīng)用.近年全國(guó)卷同類(lèi)型考題還有：2017年全國(guó)Ⅰ卷文科第2題；2015年全國(guó)Ⅱ卷文（理）科第18題等.可見(jiàn)，樣本估計(jì)總體是歷年全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn).

（ⅲ）統(tǒng)計(jì)圖（表）的綜合應(yīng)用

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)與經(jīng)濟(jì)生活中，質(zhì)量控制、成本控制、風(fēng)險(xiǎn)控制以及產(chǎn)品庫(kù)存等問(wèn)題是經(jīng)常要面對(duì)并需解決的問(wèn)題，而這些問(wèn)題中普遍受到隨機(jī)因素或不確定性變量的影響，自然地需要建立隨機(jī)模型，需要搜集、整理和處理數(shù)據(jù)，需要應(yīng)用統(tǒng)計(jì)或概率的知識(shí)和方法并最終作出決策.高考命題常以上述實(shí)際問(wèn)題為背景，以統(tǒng)計(jì)圖（表）為載體，考查頻率與概率、隨機(jī)變量分布列、期望的計(jì)算及應(yīng)用等知識(shí)，考查學(xué)生的建模、數(shù)據(jù)處理等綜合能力.

例如2016年全國(guó)Ⅰ卷理科第19題，該題以實(shí)際生產(chǎn)中成本控制為命題背景，考查柱狀圖的應(yīng)用.第1問(wèn)根據(jù)柱狀圖及頻率估計(jì)概率的基本思想，考查分布列的求解.在計(jì)算X所對(duì)應(yīng)的各個(gè)概率時(shí)，涉及分類(lèi)討論思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為互斥事件的和以及獨(dú)立事件的積進(jìn)行處理；第2問(wèn)在第1問(wèn)分布列的基礎(chǔ)上，考查互斥事件的概率加法公式；第3問(wèn)以費(fèi)用期望值的最小化為決策依據(jù)確定購(gòu)買(mǎi)量.事實(shí)上，為確定最優(yōu)購(gòu)買(mǎi)量，應(yīng)逐一計(jì)算n=16，17，…，22時(shí)所對(duì)應(yīng)的期望值，通過(guò)比較得出最小期望值所對(duì)應(yīng)的n值即為最優(yōu)購(gòu)買(mǎi)量.但為降低運(yùn)算量，減少重復(fù)表示，命題者只要求考生計(jì)算并對(duì)比n=19與n=20所對(duì)應(yīng)的期望值，這也體現(xiàn)了試題設(shè)問(wèn)方式和能力考查方向的新變化.近年全國(guó)卷同類(lèi)型考題還有：2017年全國(guó)Ⅲ卷文（理）科第18題；2016年全國(guó)Ⅰ卷文科第19題等.

（3）變量的相關(guān)性

2017年《考試大綱》對(duì)“變量的相關(guān)性”和“統(tǒng)計(jì)案例”的要求是：兩個(gè)“會(huì)”——會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.三個(gè)“了解”——了解最小二乘法的思想，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、了解回歸分析的基本思想.兩個(gè)“能”——能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程；能應(yīng)用一些常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)方法解決一些實(shí)際問(wèn)題.特別指出，在教學(xué)中，不要求學(xué)生記憶線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)中的相關(guān)公式或取值，能利用已知公式代值計(jì)算、并利用所得結(jié)果對(duì)問(wèn)題進(jìn)行判斷或預(yù)測(cè)即可.重點(diǎn)考查統(tǒng)計(jì)思想的運(yùn)用.局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判.（Ⅰ）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；

（Ⅱ）求前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判的概率.

評(píng)析：本例考查相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件概率的求法.（Ⅰ）問(wèn)考查學(xué)生的邏輯推理能力.由于第1局甲當(dāng)裁判，所以“第4局甲當(dāng)裁判”必推出“第2局比賽結(jié)果為甲勝”（這樣甲才能進(jìn)入第三局比賽）且“第三局比賽結(jié)果為甲負(fù)”.進(jìn)而利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式解決問(wèn)題.（Ⅱ）問(wèn)考查分類(lèi)討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.解題關(guān)鍵是分析出“前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判”的三種具體賽況：（乙負(fù)，乙裁，乙勝，乙賽），（乙勝，乙勝，乙負(fù)，乙裁），（乙勝，乙負(fù)，乙裁，乙賽）.近年全國(guó)卷同類(lèi)型考題還有：2014年大綱卷文科第20題.

特別指出，在隨機(jī)事件的概率部分，除了事件的關(guān)系和運(yùn)算是考查的重點(diǎn)，古典概型、幾何概型、條件概率

（?。┆?dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用

獨(dú)立性檢驗(yàn)可謂是逐步登上高考舞臺(tái)的新生花旦.獨(dú)立性檢驗(yàn)試題首次出現(xiàn)在2009年遼寧省卷中，由此拉開(kāi)了對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)考查的序幕.近年全國(guó)卷獨(dú)立性檢驗(yàn)的試題有：2018年全國(guó)Ⅲ卷文（理）科第19題，2017年全國(guó)Ⅱ卷文（理）科第19題.鑒于獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用廣泛，其極有可能成為新的熱門(mén)考點(diǎn)，復(fù)習(xí)備考中應(yīng)引起重視.

以2018年全國(guó)Ⅲ卷文（理）科第19題為例，該題第2問(wèn)考查學(xué)生對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用.首先根據(jù)中位數(shù)m完善兩種生產(chǎn)方式下工人完成工作情況的列聯(lián)表，進(jìn)而利用公式得出隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值，最后與臨界值比較得出結(jié)論.

（ⅱ）回歸思想的應(yīng)用

回歸思想是統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要思想.高考試題對(duì)回歸思想的應(yīng)用往往從畫(huà)散點(diǎn)圖，理解相關(guān)系數(shù)的意義，利用最小二乘法求回歸方程，預(yù)測(cè)等角度設(shè)置問(wèn)題.

以2018年全國(guó)Ⅱ卷文（理）科第18題為例，該題考查折線圖，變量間的相關(guān)關(guān)系.第1問(wèn)直接利用題中所給兩模型的回歸方程，不難得出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；該題考查了對(duì)利用回歸方程進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算、模型擬合的回歸思想的應(yīng)用.近年全國(guó)卷同類(lèi)型考題還有：2016年全國(guó)Ⅲ卷文（理）科第18題，2015年全國(guó)Ⅰ卷文（理）科第19題等.

2.概率部分

（1）隨機(jī)事件的概率

例1 （2013年大綱卷·文20）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局雙方獲勝的概也是近年考查的熱點(diǎn).例如古典概型的考題有：2018年全國(guó)Ⅱ卷文科第5題、理科第8題，2017年全國(guó)Ⅱ卷文科第11題等；幾何概型的考題有：2018年全國(guó)Ⅰ卷文科第9題、理科第10題，2017年全國(guó)Ⅰ卷文科第4題、理科第2題等；條件概率的考題有：2018年全國(guó)Ⅲ卷文科第5題、2016年全國(guó)Ⅱ卷文（理）科第18題（Ⅱ）問(wèn)等.

（2）離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差

均值和方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）是統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要概念.均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）刻畫(huà)隨機(jī)變量的分散程度，它們都是解決實(shí)際問(wèn)題的重要理論依據(jù).高考對(duì)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差的常見(jiàn)考查方式有兩種：一是利用隨機(jī)事件的概率性質(zhì)或公式求解分布列，再求期望、方差.這是2014年前大綱卷理科數(shù)學(xué)解答題的高頻考點(diǎn).二是結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖（表）考查，利用分布列、均值、方差等對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出判斷、決策等，這是歷年新課標(biāo)卷解答題的考查重點(diǎn)、熱點(diǎn).

例2（2018年全國(guó)Ⅰ卷·理20）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（Ⅰ）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0.

（Ⅱ）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

評(píng)析：在效益與質(zhì)量并存的市場(chǎng)環(huán)境下，對(duì)產(chǎn)品合格率提出了更高的要求.因此，肩負(fù)著產(chǎn)品質(zhì)量控制的檢驗(yàn)環(huán)節(jié)在整個(gè)生產(chǎn)過(guò)程中起到舉足輕重的作用.本題以抽檢產(chǎn)品為背景，貼近生活實(shí)際，聚焦生活熱點(diǎn).不僅考查了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，也考查了閱讀理解能力、知識(shí)應(yīng)用能力.

（Ⅰ）問(wèn)根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式即可表示恰有2件不合格品的概率，再通過(guò)求導(dǎo)得出f（p）的最大值點(diǎn)p0，體現(xiàn)了概率與函數(shù)的知識(shí)交會(huì)應(yīng)用.

（3）正態(tài)分布

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)正態(tài)分布要求為：通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.通過(guò)具體實(shí)例、借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.由此可見(jiàn)，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)正態(tài)分布的要求不高.2017年前以及2018年全國(guó)卷對(duì)正態(tài)分布的考查無(wú)非是對(duì)符號(hào)本身的認(rèn)識(shí)以及圖像的了解.但2017年全國(guó)Ⅰ卷理科第19題首次對(duì)正態(tài)分布的考查由規(guī)則運(yùn)用轉(zhuǎn)移為原理理解，這樣的“首發(fā)效應(yīng)”造成了學(xué)生的不適應(yīng).

以2017年全國(guó)Ⅰ卷·理19為例，該題主要考查服從正態(tài)分布、二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率與期望、均值及標(biāo)準(zhǔn)差等知識(shí).對(duì)第1問(wèn)，需要考生理解3σ原則，即服從于正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機(jī)變量通常只?。é?3σ，μ+3σ）之間的值.只有理解這一原則，才能分析出題中X服從二項(xiàng)分布X～B（16，0.002 6），從而利用二項(xiàng)分布的概率、期望公式求解問(wèn)題；第2問(wèn)的第1小問(wèn)根據(jù)概率判斷監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性，考查對(duì)數(shù)據(jù)的分析、判斷能力.第2問(wèn)的第2小問(wèn)考查對(duì)數(shù)據(jù)的對(duì)比和篩選.通過(guò)剔除值，考查對(duì)均值、方差的簡(jiǎn)便運(yùn)算，求解過(guò)程體現(xiàn)了整體思想、估算思想.

三、教學(xué)建議

1.心理疏導(dǎo)

理查森和蘇恩將數(shù)學(xué)焦慮界定為：“在各種各樣的一般生活和學(xué)習(xí)環(huán)境中，阻礙數(shù)字操作和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的緊張和焦慮感.”盡管概率與統(tǒng)計(jì)試題難度不大，但題目中包含的信息多、閱讀量大等因素容易讓部分考生產(chǎn)生焦慮情緒.研究表明，焦慮情緒與取得的成績(jī)成負(fù)相關(guān).因此，概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，要疏導(dǎo)學(xué)生的焦慮情緒，樹(shù)立積極健康的學(xué)習(xí)、考試心態(tài).

2.重視基本概念和思想方法的教學(xué)

許多概率試題情境新穎、內(nèi)涵豐富、應(yīng)用靈活，即便是一些中檔試題，如果對(duì)題意理解不透，對(duì)基本概念把握不準(zhǔn)，解題時(shí)也常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.李邦河院士認(rèn)為：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧.”因此，在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)重視對(duì)一些形同質(zhì)異概念的辨識(shí)，如：概率與頻率、互斥，對(duì)立與獨(dú)立事件、事件A發(fā)生k次與事件A第k次發(fā)生、概率為0的事件與不可能事件、概率為1的事件與必然事件、積事件概率P（AB）與條件概率P（B|A）、P（A|B）等.同時(shí)，加強(qiáng)對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差等數(shù)據(jù)特征的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布等不同模型的辨識(shí)與理解.

數(shù)學(xué)思想方法是知識(shí)應(yīng)用的精髓和靈魂，承載著知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及應(yīng)用的全過(guò)程.教學(xué)中，應(yīng)逐步形成學(xué)生的隨機(jī)觀念，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用隨機(jī)變量思想描述隨機(jī)現(xiàn)象，能結(jié)合具體問(wèn)題運(yùn)用樣本估計(jì)整體、頻率估計(jì)概率思想.通過(guò)典型案例，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)思想、回歸思想的應(yīng)用，區(qū)別統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異，體會(huì)如必然與或然、逆向思維、分類(lèi)討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

3.重視應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力培養(yǎng)

概率與統(tǒng)計(jì)部分試題密切聯(lián)系生產(chǎn)、生活實(shí)際.教學(xué)中應(yīng)重視現(xiàn)實(shí)取材，讓學(xué)生經(jīng)歷模型的構(gòu)建、應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)對(duì)數(shù)據(jù)的搜集、分析、處理、計(jì)算能力，能科學(xué)合理地利用數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的判斷、預(yù)測(cè)、決策等，從而提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).特別指出，近八年概率與統(tǒng)計(jì)試題關(guān)注生活背景、社會(huì)現(xiàn)實(shí)，但較少涉及科技發(fā)展、前沿技術(shù)等方面.因此，在“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則下，可以以此為背景改編、創(chuàng)造一些優(yōu)秀概率與統(tǒng)計(jì)案例，凸顯知識(shí)應(yīng)用領(lǐng)域的廣泛性和前沿性，開(kāi)闊學(xué)生視野，擴(kuò)大知識(shí)面，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

4.重視對(duì)高考試題的研究

多數(shù)高考試題是教學(xué)、研究的良好素材.以優(yōu)秀高考試題作為研究素材，領(lǐng)悟試題背景、命題意圖、命題規(guī)律能提高復(fù)習(xí)備考的有效性.因此，筆者認(rèn)為高考試題是指導(dǎo)教學(xué)、復(fù)習(xí)備考的最佳素材，尤其建議高三復(fù)習(xí)應(yīng)以歷年高考試題為藍(lán)本展開(kāi).