☉山東省淄博市周村區(qū)王村中學 鄭學濤

預設教學活動離不開對所授數(shù)學知識特點的熟悉、學生學情的掌握和學生學習過程中潛在困惑的預判三方面，要使學生積極、主動、富有個性地學習，教師要將以上三方面統(tǒng)籌考慮，從而設置整體的、系統(tǒng)的、由淺及深的情境.近日，筆者應邀參加本區(qū)“青藍結(jié)對”工程階段性成果的驗收——新教師展示匯報課的評價工作，在聽課和學習的過程中，對新教師所授“完全平方公式”一課時的教學預設與實際操作產(chǎn)生一些想法，并由此引發(fā)了筆者對教師如何洞悉學生的困惑并合理布施教學進行深入思考.現(xiàn)將自己的思考撰寫成文，與讀者交流.

一、環(huán)節(jié)展示及評析

展示匯報的8名新教師中，有6人是按照魯教版教材的編排順序講授新課，即先讓學生觀察圖形，然后通過不同方法表示圖形面積，第一次得出完全平方公式，最后是強化變式訓練，時長約25分鐘.這些變式訓練都體現(xiàn)出一定的螺旋上升性，如第一組為利用公式直接進行計算：（1）（2a+b）2，（2）（4x-5y）2，b）2；第二組為利用完全平方公式進行簡便計算：（1）982，（2）1022；第三組為課后練習帶“*”的習題：（1）（a+b+c）2，（2）（a-b+c）2.還有2名新教師為學有余力的學生準備了一道思考題：已知的值.

從課堂呈現(xiàn)的內(nèi)容來看，新教師為本次證明自己能力的課“預設”豐富、準備充分，已經(jīng)將學生日后可能遇到的所有類型的題目全部涉獵，但從實際效果來看，前松后緊的課堂致使學生的體驗并非如新教師預設的那樣精彩.據(jù)筆者觀察，一開始部分學生對于從面積相等中得出的完全平方公式有強烈的陌生感，而進入解題訓練之后，又有一部分學生困惑于字母系數(shù)到底應不應該平方、中間項的符號是加還是減等細節(jié)問題.課后筆者隨機對一些學生進行了口頭調(diào)查，學生大都提出一些同樣的問題，這些問題經(jīng)筆者整理如下：第一，課堂開始為什么要用計算圖形面積的方式探究完全平方公式？第二，探究所得公式中的字母是a和b，為什么在計算時字母換成了x、y或者其他，是否還能夠適用？第三，為什么要提出完全平方公式？它與整式乘法的關(guān)系是什么？第四，什么樣的問題適合利用完全平方公式解決？這些問題成為筆者日后深度反思本節(jié)課的出發(fā)點，教師像保姆一樣為學生準備的無一遺漏的題型盛宴在學生那里不受歡迎，這種教師將“生飯”給學生“吃”的課堂仍然帶有濃重的“填鴨式”味道.

二、問題分析

解題困惑是指在解決問題的過程中遇到的阻礙，由于問題尚未解決之前，學生缺乏相關(guān)的經(jīng)驗，對知識、技能尚未牢固掌握，那么學生難以用規(guī)范的數(shù)學語言表述出內(nèi)心的委屈也就情有可原了，此時教師就要通過學生的面部表情及書寫的蛛絲馬跡及時洞悉學生的困惑，幫助學生提出問題、分析問題并最終解決問題.經(jīng)過一段時間的思考，筆者總結(jié)出與學生四點困惑相對應的四個教學方面的問題，如果教師的教學預設能夠解決好這四個問題，就能徹底解決學生的困惑.

1.是否應該借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)公式

所謂“幾何直觀”，就是在研究過程中，能夠根據(jù)看到的或想到的幾何圖形產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的一種直觀感受.新授課中，教師首先讓學生觀察圖形，然后設計后續(xù)問題引領(lǐng)學生用兩種方式表示圖形的面積，最后由學生得出完全平方公式，這樣的設計本身沒有問題，但是出現(xiàn)的位置非最佳，這個環(huán)節(jié)與接下來的利用公式直接進行計算也并非最佳結(jié)合點，才會導致學生困惑于計算面積與公式本身及公式的得出與之前的整式乘法有什么關(guān)系兩個問題.美國數(shù)學家阿蒂亞說：“在幾何中視覺思維占主導地位，在代數(shù)中有序思維占主導地位.”本節(jié)課的教學目標是完全平方公式，是代數(shù)內(nèi)容，因此教師設計教學活動時應該以有序思維為主線，首先，讓學生感受公式的存在（設計好知識的生長點與延伸點），然后證明其正確性.而課堂中利用兩種方式表示面積是依托幾何直觀，而非本節(jié)課的教學目標，它只是為學生創(chuàng)造一個主動驗證公式正確性的情境和策略，幫助學生理解和接受抽象的公式，的確非發(fā)現(xiàn)公式存在、解釋代數(shù)關(guān)系的最佳替代物，新教師的作法容易將學生的注意力聚焦在幾何直觀上，增加了學生的認知負荷和心理投入，喧賓奪主，不宜于本節(jié)課主題的展開，為此，最好的開始還是讓學生按照已學習的整式的乘法公式計算（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2、（x-y）2四個式子的結(jié)果，然后觀察結(jié)果的共性，最后從書寫形式上得出兩個公式.而幾何直觀則用作對公式的演繹推理，因此利用面積驗證公式作為課堂的第二個環(huán)節(jié)為宜.

2.字母表示數(shù)之后還能表示什么

知識教學具有三個不可分割的組成部分，第一是符號表征，是指人類關(guān)于世界認識所達到的程度或者狀態(tài)，即“關(guān)于世界的知識”；第二是邏輯形式，是人類認識世界的方式，具體包括知識構(gòu)成的邏輯過程和邏輯思維方式；第三是意義，指知識內(nèi)促進人的思想、精神和能力發(fā)展的力量.在“完全平方公式”這一課時的教學中，發(fā)現(xiàn)公式并直接進行計算是完成了知識教學的符號表征部分，根據(jù)算理靈活處理才上升到邏輯過程和邏輯思維的部分，即對于完全平方公式的學習，學生不只局限于擁有字母表示數(shù)的思維，字母表示數(shù)只是代表了一般計算程度，更重要的是公式的邏輯形式和意義.而想要學生具備對于公式的深層邏輯形式和意義的理解，還要教會學生站在數(shù)學的角度看公式的廣泛應用，為此，教師要用一貫的數(shù)學眼光引導學生理解公式的內(nèi)涵，類比an中的a可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式ab（積的乘方），更可以表示多項式a+b、a+b+c，而（a-b）2可以看作［a+（-b）］2，這樣有效地避免了利用公式時因字母符號變化而帶來的計算困惑，間接培養(yǎng)了學生的符號意識.也終將把公式的廣義使用價值傳遞給學生——（△+○）2=△2+2△×○+○2，其中△+○有多種形式，不僅僅是單個的數(shù)、字母，還可以是多項式，也就不會導致學生解題時困惑于中間項的符號及變換字母的問題了.而且教材在這一課時的最后提供了楊輝三角的閱讀內(nèi)容，教師在學生得出字母還可以表示字母串的基礎(chǔ)上引導學生自行閱讀，供有興趣的學生繼續(xù)探究，用數(shù)學文化陶冶學生的數(shù)學情懷，也能避免純粹的變式訓練對學生情感的消極影響，一舉多得.

3.完全平方公式的價值是什么

價值是教育與教學的追求，是表示客體的屬性和功能與主體需要間的一種效用、效益或效應關(guān)系的范疇，為此，要讓學生明白完全平方公式存在的價值，才能使學生合情合理地利用公式，進行快速計算，完全平方公式的價值就是使計算簡便.在日常教學中，經(jīng)常看到該使用完全平方公式時學生沒有使用，更加糟糕的是，這些學生亦不能按照多項式乘多項式的法則進行計算，究其原因，學生學習的知識都是片段性的存在，缺少連貫性，缺少以價值為紐帶的數(shù)學眼光，才導致學生如同黑熊掰玉米，掰一個丟一個.如在幾位新教師的課中，均未提及整式的乘法與完全平方公式的關(guān)系.如果新教師在利用公式進行計算的環(huán)節(jié)就把班內(nèi)的學生分成兩批，一批利用完全平方公式計算，另外一批利用乘法公式進行計算，并記錄兩批學生計算所用時間，然后讓學生對比利用完全平方公式和利用乘法公式哪個更省力更省時，那么完全平方公式的價值就凸顯出來了，公式與之前學習的多項式乘多項式也能統(tǒng)一起來，這樣即使學生忘記了完全平方公式，但只要知道公式是一種簡便運算方法，那么也會選擇多項式乘多項式的法則進行計算.而在變式訓練環(huán)節(jié)，一定要加上一個諸如（2x+y）·（x+2y）的題目，等待學生犯錯誤，或者讓學生辨析能不能用完全平方公式進行計算，如果不能計算,應該回到多項式乘多項式的法則上思考問題的解決，效果更好.

4.怎樣教會學生使用完全平方公式

數(shù)學思想是知識和方法在更高層次上的抽象與概括而成的數(shù)學觀點，數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體表現(xiàn)形式，是數(shù)學思想的具體化、程序化，具有更多的操作屬性.完全平方公式本身就是這樣一種數(shù)學方法，其背后的數(shù)學觀點是整體思想和模型思想，將這種數(shù)學思想轉(zhuǎn)換成具體的數(shù)學方法就是數(shù)學建模.因此教師在教授完全平方公式時，要立足于建模思想，才能夠有效地解決學生使用公式不順利的困惑，從而在必須使用完全平方公式時快速、精準地套用.結(jié)合筆者在過往的課堂中觀察到的情形，對于利用完全平方公式的題目學生尚且感到吃力，教師講解之后發(fā)現(xiàn)效果也不大，學困生人數(shù)并未明顯減少，錯誤依舊出現(xiàn)，這其中除了學生對公式的系統(tǒng)性應用需要一定實踐，教師的引導策略和立足點顯得尤為重要，如對于利用完全平方公式計算（a+b+c）2一題，教師首先引導學生觀察題目與原有公式的不同之處，然后引導學生思考怎樣變形才能讓題目變得和公式中的形式一樣（將其中兩個字母看作一個整體用小括號括起來），最后讓學生獨立嘗試解決，對于982的計算亦如此，能“合”亦能“分”才是解決問題的關(guān)鍵，也是建模的精華所在，這樣的方法引領(lǐng)和思想滲透才能真正讓學生從題海中走出來，從而學會處理一般問題的基本思路，教師不必處心積慮地為學生準備各式各樣的習題，學生也能輕而易舉地駕馭完全平方公式，授之以魚不如授之以漁即是這個道理.

三、對合理布施教學的三點思考

1.在教學中如何理解教師和學生的地位

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，課堂要以學生為主體，以教師為主導，這是基于以人為本的教育理念和建構(gòu)主義學習理論，但其實教師的教與學生的學是矛盾的統(tǒng)一體，矛盾之處體現(xiàn)在教師講得越多，要求越多越細致，對于學生的自然行為會構(gòu)成越多的干預，學生的思想就越加束縛于教師理解數(shù)學知識的方式上，這不利于學生按照自己的方式構(gòu)建知識；統(tǒng)一之處體現(xiàn)在教師的教如同在做減法，而學生的學如同在做加法，課中教師（相對于學生的知識量）減去的知識和經(jīng)驗恰恰是學生要學習的知識和經(jīng)驗，因此教師又必須保留必要的指導.從最近發(fā)展區(qū)的角度來看，教師要知道學生最近發(fā)展區(qū)的彼岸是什么及聯(lián)結(jié)著什么，但是作為主體的學生，雖然學習的內(nèi)部動力來源于自己，但是學生并不知道自己的最近發(fā)展區(qū)的彼岸在哪里，又該如何成功渡過，這皆體現(xiàn)出教師聞道在先、術(shù)業(yè)專攻的引導價值，故教師的主導地位絕不是讓教師閉嘴，也不是單純地讓學生表演，而是教師帶領(lǐng)學生拾階而上，至于拾階而上的方式，可以是問題引導，可以是教師提供具體的問題情境，還可以是在學生遇到瓶頸時教師直接講解，合理利用課堂中的生成性資源，這樣的課堂才是高效的課堂，也便于教師及時了解學生的困惑，為學生解決困惑.就本節(jié)課而言，教師不應快速講解完公式，將課堂的重心放在大量的訓練上.在上文提到，教師利用冪的定義及從整式乘法的角度引入公式貼近學生的最近發(fā)展區(qū)，也符合知識自然生長的規(guī)律，同時易于學生領(lǐng)會知識內(nèi)在的精神價值.

2.教師備課需要準備什么，如何準備

在認真聽取了8位新教師的授課之后，筆者還發(fā)現(xiàn)幾個共同點：第一，大都按照課本上的順序選用教材的資源呈現(xiàn)例題、設計習題；第二，新教師除個人的語言表達能力不同之外，在課堂環(huán)節(jié)銜接處大都有些生硬、不自然，缺乏聯(lián)系；第三，每位新教師都精神飽滿、慷慨激昂，想把自己準備的東西精準傳遞給學生，但是只走完了表面的流程，沒有及時察覺到學生有難言之隱.這些問題促使筆者思考：無論是新教師還是老教師，在備課的過程中，應該準備什么素材？又如何組織這些素材？布魯納認為，學生的認識過程與人類的認識過程有共同之處，而教學過程就應該是在教師的引導下讓學生發(fā)現(xiàn)的過程.同時布魯納還認為，學生的“發(fā)現(xiàn)”與科學家的“發(fā)現(xiàn)”只是形式和程度不同，但性質(zhì)是相同的，都是通過積極的思維活動而形成的，其智力功能和發(fā)現(xiàn)價值是相同的.因此教師在準備素材時，應當在充分理解數(shù)學、理解學生、理解教學的基礎(chǔ)上為學生準備一些類似于科學家發(fā)現(xiàn)問題時的半成品模型，讓學生在探索發(fā)現(xiàn)時有所依賴，但又不會減少思維含量，而當學生探索出現(xiàn)障礙時，教師要人為縮小范圍，降低難度，以便于學生突破障礙完成學習，因此成功的教學應該是包括教材在內(nèi)的素材為教學服務而不是素材牽著教師和學生的鼻子走.如文章開始討論的借助幾何直觀（課本的引例）和直接利用乘法公式計算這兩種引入方式相比較，直接利用乘法公式計算的方式開門見山，并且注重了知識的整體性和聯(lián)系性，對于大多數(shù)學生來說效果更佳.

3.就本節(jié)課而言，教師進行教學設計的根本立意是什么

教師一般每節(jié)課都有自己的教學立意，或明確或模糊，有意識或下意識，模糊或下意識的教學立意一般難以至高遠.教師在設計每節(jié)課時都要基于章建躍博士提出的三個理解——理解數(shù)學、理解學生、理解教學，不但要分別理解，還要將三項理解統(tǒng)一落實到教師的教和學生的學上.根據(jù)對學生困惑點的分析也可以看出，困惑產(chǎn)生除了公式本身的操作具有一定的難度，公式的由來、工作原理、使用方法等幾項內(nèi)容碎片化的存在也是主要原因之一，因此教師的教學設計在整體上應該包含一個“去碎片化”的隱形線路，而只以難度增加的方式向?qū)W生呈現(xiàn)多組變式訓練是完不成教學目標的.這就要求教師處理好兩種關(guān)系.第一種是遞進關(guān)系，循序漸進地讓學生明白完全平方公式是乘法公式的特殊形式，其具有簡潔性和實用性的價值；完全平方公式中的字母可以產(chǎn)生由單個字母到數(shù)再到復雜單項式和多項式的遞進變化，但其本質(zhì)都是乘法運算.第二種關(guān)系是包含關(guān)系，其內(nèi)涵是：整式的乘法包含完全平方公式，完全平方公式的適用范圍小于整式乘法公式的適用范圍；數(shù)學思想統(tǒng)攝數(shù)學方法，完全平方公式是一個等式，更是一個模型和一種思想，千變?nèi)f化的應用體現(xiàn)的是公式蘊含的數(shù)學思想，而數(shù)學建模是聯(lián)結(jié)基本方法和數(shù)學思想的橋梁，教數(shù)學和學數(shù)學最終都要落實到數(shù)學思想的領(lǐng)會上而非單純的知識立意.處理好這兩種關(guān)系也是綜合理解數(shù)學、理解學生、理解教學的體現(xiàn).