何援軍

畫法幾何新解

何援軍

(上海交通大學計算機系，上海 200240)

從幾何學的角度重新認識畫法幾何，結合計算化需求，梳理畫法幾何的理論體系。首先，以新的視角，分析畫法幾何教材在表述上的一些問題；其次，揭示了投影、2D/3D對應和尺規(guī)作圖以及軸測圖、陰影與透視等理論的本質；并討論上述理論的計算化問題，給出了畫法幾何在理論與應用方面進一步發(fā)展的設想。

幾何；圖學；畫法幾何；投影

這是論述大“圖學”學科的第7篇文章[1-6]，討論工程圖學的理論基礎畫法幾何的一些問題。工程圖學是圖學中唯一一個被列入二級學科的工程與技術科學基礎學科，許多制圖教師在這個學科下積極推進理論與實踐、教學與工程的結合與發(fā)展[7-12]。工程圖學的教材與教學面對一個新的現(xiàn)實是計算機的介入改變了原先的制圖工具，使得尺規(guī)工具的作用在降低，應用范圍在縮減。制圖過程中人的思維與計算機圖形軟件兩個終端的直接連接使工程圖學處于一個尷尬境地。但是，這并不意味著要拋棄手工制圖以及識圖的一些基本訓練。通常，初始的構想與設計是從人的手畫草圖開始的，例如建筑草圖設計需要嫻熟的運用透視原理，機械的三視圖讀圖訓練等仍為必須，這些都離不開手工制圖。而且，圖紙作為工程語言的地位并沒有改變，制圖、讀圖、圖紙的信息共享等理論、方法與技術仍需要工程圖學去承擔。

在工程圖學界也有不少人認為，由于計算機科學和計算技術的飛速發(fā)展，現(xiàn)在討論畫法幾何已經(jīng)沒有什么價值。畫法幾何正在被邊緣化，這是很不正常的。本文立足于畫法幾何研究的基本對象也是幾何的認識，梳理畫法幾何的理論體系，試圖從一個新的視角，分析畫法幾何在表述上的一些問題，給出其發(fā)展和進一步應用的一些設想。

1 畫法幾何

早在1103年，中國宋代李誡所著《營造法式》中的建筑圖基本上符合幾何規(guī)則，但在當時尚未形成畫法的理論。在畫家的寫生過程中，物體的長度與角度已被扭曲，其弄歪的程度與方式可是被描述的各物體間的相對位置，原物的幾何結構仍可見于畫布上。這主要是因為一個“在射影下不變的”幾何性質存在，這些性質在像上仍然不變，因而使人們能認識原物。投影幾何學的原始動機是幫助畫家，其發(fā)展的目的是要發(fā)現(xiàn)并解析這些不變性。

畫法幾何(投影幾何)本是幾何的一個分支，其研究的基本對象也是幾何，屬于研究形的科學[13-16]。17世紀一些幾何學家將其方法與結論視為歐幾里德幾何學的一部分，直到1799年法國幾何學家蒙日(Gaspard Monge，1746-1818年)非數(shù)學地闡述了投影理論，使畫法幾何(descriptive geometry)成為一門獨立學科，19世紀更發(fā)展出投影幾何(projective geometry)，使這些方法與結論被發(fā)展為另一支幾何學，只是其結論與所用的方法更偏重于幾何化。但當時流行的是“以代數(shù)方法處理幾何問題，即坐標幾何”[14]，真正的幾何則偏重于解析方法。而投影幾何是以綜合法得到一些定性的關系，所以在對代數(shù)與微積分的偏愛下而失寵。因此還原歷史，應該回歸畫法幾何的幾何學地位。

1.1 畫法幾何的基本理論

“非數(shù)學地闡述了投影理論”，意味著其與當時“幾何代數(shù)化”的解析法主流的區(qū)別，是一種圖解化方法，descriptive geometry翻譯成畫法幾何很確切。圖解化，從數(shù)學的觀點就是幾何化。

畫法幾何以“正投影”理論為基礎，通過投影將空間物體轉換成平面圖形，引導人們在平面上去描述、去虛構三維物體，解讀三維空間。由于維數(shù)的降低導致信息的缺失而需要多個視圖表述三維物體，引發(fā)“2D/3D對應”理論的出現(xiàn)，其是將三維物體表達成視圖，而又將視圖還原成三維物體的理論基礎。三維物體化為平面問題以后，平面圖形基本上只要考慮點、線、圓等基本幾何元素了，這導致“尺規(guī)作圖”方法的誕生，即由幾種基本的作圖方法就可作出大部分平面圖形。

1.2 畫法幾何的核心思想

畫法幾何的基本理論至少可從投影理論、2D/3D對應理論及尺規(guī)作圖的3方面解讀。前兩者的核心是降維處理，后者是幾何問題幾何化。與數(shù)學上幾何理論的不同在于，幾何是基于笛卡爾的“幾何代數(shù)化”而采用解析化求解，而畫法幾何仍基于幾何解法。

以前對畫法幾何的計算機化的研究似乎缺少對這一思想的認識，不是將畫法幾何定位為幾何的一個分支，在教材和教學中不重視對畫法幾何最核心的幾何思想的闡述和幾何化方法的運用，不是從幾何空間整體的角度入手，而是將對投影理論的研究變成對投影過程的模仿，過于追求投影作圖步驟的計算機模擬，就事論事地討論投影作圖問題、三視圖問題等等。在制圖的計算化過程中又往往追求作圖的自動化，方法上將尺規(guī)作圖看作是對手工作圖過程的模擬，這樣，很難發(fā)揮人的空間思維優(yōu)勢，也沒有從“降維”與“幾何化”這兩個核心思想上去做深度的研究與開發(fā)，這是很可惜的。

2 正投影

通過物體的投射線向選定的面投射且在該面上得到圖形的方法叫投影法，根據(jù)投影法所得到的圖形叫投影(圖)。如果投射線與投影面垂直，就是正投影法，得到的是正投影[17-20]。

2.1 投影體系

畫法幾何采用投影的方法在平面上表示三維物體，但是不能用單個視圖描述一個空間物體，畫法幾何建立了獨特的投影體系，用多個投影去描述一個空間物體。

畫法幾何投影體系用3個互相垂直的空間平面，并將空間分成8個部分，稱為8個分角。我國制圖國家標準(GB/T14692-2008和GB/T13361-2012)規(guī)定采用第一分角作為投影體系(圖1)。第一分角投影體系正立的投影面簡稱為正面，用標記；側立的投影面簡稱為側面，用標記；將水平放置的投影面稱為水平面，用標記。、和3個面兩兩互相垂直，其交線、和為投影軸，如果在三投影軸標出尺寸，那么三投影面體系就可構成一個空間直角坐標系，3個投影軸相當于3個坐標軸，三軸交點稱為原點。

第一分角投影體系簡稱E法，俄、英、德、法均采用E法，而美、日、加拿大和澳大利亞等則采用第三分角投影體系，簡稱A法。第三角畫法的俯、仰、左、右視圖靠近主視圖的一邊(里邊)，均表示物體的前面，遠離近主視圖的一邊(外邊)，均表示物體的后面，與第一角畫法的“外前，里后”正好相反(圖2)。從外前、里后對應的角度講，似乎A法更合乎人的感覺。

不管采用第一分角還是第三分角，以三面投影體系為主構筑正投影體系，在平面上表示空間物體就是正投影體系，在這三個正投影面上投影可從三個角度分別準確反映形體的形狀和大小。

圖1 第一分角投影體系

圖2 第三角畫法與第一角畫法的主要區(qū)別——視圖配置不同

2.2 三視圖

畫法幾何投影體系主要體現(xiàn)的是三視圖。將空間物體投射到、和面上表示物體，并通過物體在、和面上的投影解讀空間物體的方法就是三視圖理論。三視圖理論和實踐已十分成熟，在工程上應用相當廣泛。

因為只能在平面上繪制圖形，需要將3個投影面放置在同一個平面上，于是將平面繞軸往下旋轉90°，平面繞軸逆時針旋轉90°(圖3(a))，這樣，、和面3個空間平面將落在同一個平面上，就得到三面投影圖，即所謂的三視圖(圖3(b))。

圖3 三面投影與三視圖

按這個規(guī)則布置、和面，將三面投影表現(xiàn)在同一平面的三視圖上，其中，面與面共軸，面與面共軸，通過原點45o線的對稱，面與面可共享軸，這樣形成的三視圖正投影體系，三面投影滿足“長對正、高平齊、寬相等”的所謂“三等關系”規(guī)律，這個三等關系彌補了將空間軸一分為二的缺陷。在兩個視圖上分別得到點的2個坐標，就可合成點的空間坐標，也為通過投影進行空間幾何降維計算提供了可能性和理論基礎。

三視圖是通過人為旋轉形成的。畫法幾何基于手工作圖求解，所以借三視圖對準。從幾何的角度，則是三個獨立的平面，只是其用了共原點而不同坐標軸的坐標系。畫法幾何中的三面投影體系轉換成笛卡爾直角坐標系，則投影面、、相當于坐標面。正投影圖的最大優(yōu)點就是表達準確、作圖簡便、度量性好。

2.3 點的正投影[17-20]

任何形體的構成都離不開點、線、面三要素，點是構成形體的最基本元素。要正確地表達或分析形體，首先必須掌握點、直線、平面的投影規(guī)律，而點的投影規(guī)律又是其基礎。如圖4所示，任一空間點置于三面投影體系中，分別向、和投影面垂直投射，到點在3個投影面上的正投影、′和″。

如圖4(a)所示，在空間，因為⊥面，′⊥面，設平面′與的交點為a，則點a在平面′上，且有′a⊥，′a⊥。根據(jù)投影體系的展開規(guī)則，′⊥，且a在直線′上(圖4(b))。

同理可證′″⊥，且在直線′″上；aaH⊥；″aW⊥。

且有aa=Oa=Oa=aa″=Y，Oa=aa′=aa=X，aa′=Oa=aa″=Z等。

這些性質及a、a、a位置的確定不僅在后面的陰影作圖時起到輔助作用，在投影體系化作為坐標體系時，這些等式將反映出空間點分別在、和面上分別呈現(xiàn)2個坐標，協(xié)助空間問題的降維解析計算。

圖4 點的投影

2.4 點在任意平面上投影的計算化[15]

畫法幾何是用作圖法求取點在平面上的投影，求取點在任意平面上的投影就困難一些。

設為平面的法向量，Q為平面上的一點，求空間點在平面上的投影點為P。

(1) 一般幾何解法。P=–[(–Q)·]·。

(2) 基于向任意面投影的解法。先構建一個新的坐標系，將作為新坐標系的*=0坐標平面，在這個新坐標系****下向平面上的投影就變成向*=0坐標平面的正投影了。預做的工作只是先將點(,,)的坐標變換到這個以為坐標平面的新坐標系下，為*(*,*,*)；于是S*(*,*,0)就是點在上的投影，只是在新坐標系****下，將S*(*,*,0)逆變換回原始坐標下得到P(x,y,z)，即S就是點在上的投影。

(3) 算法分析?，F(xiàn)在對上面2種算法進行分析。如果按照一般的幾何解法直接求取點在任意面上的投影，例如P=–[(–Q)·]·，其推導是個性化的，且不是顯而易見的。問題的關鍵在于這種“真投影”計算將空間的點全部變換到投影平面上了，因此一個空間的物體變成了在那個投影平面上的“平的物體”，如果希望得到在任意平面上的消隱畫面，深度信息就丟失了。而構建以任意平面作為新坐標平面的坐標系將坐標參考系作了改變，使幾何計算在更為“合適”、更為“標準”的坐標系下進行，簡化計算。而且，這種變換是在兩個三維坐標系下進行的，是三維間的變換，只是選擇的坐標參考系不同而已。這種變換是共性的、通用的，所謂“投影”的工作并沒有真正實行，而是取其中的二維坐標作為顯示而用的“假投影”，而消隱等三維處理工作需要的深度信息沒有丟失。

3 軸測投影與軸測圖

由于正投影及其所產(chǎn)生的三視圖都是平面圖形，反映一個空間物體并不適合于人的視覺系統(tǒng)，畫法幾何引入了軸測投影軸測圖慨念。

軸測圖是一種單面投影圖，在一個投影面上能同時反映出物體三個坐標面的形狀，并接近于人們的視覺習慣，形象、逼真，富有立體感。但軸測圖一般不能反映出物體各表面的實形，因而度量性差，同時作圖較復雜。因此，在工程上常把軸測圖作為輔助圖樣，來說明機器的結構、安裝、使用等情況，在設計中，用軸測圖幫助構思、想象物體的形狀，以彌補正投影圖的不足。

一般教科書均將軸測投影圖定義[17-20]為：“用平行投影的方法，把形體連同它的三個坐標軸一起向設定的投影面投影得到的投影圖為軸測投影圖(簡稱軸測圖)”。其說法不直觀也缺乏可操作性，在教科書中沒有人從這個定義出發(fā)去描述軸測圖的生成方法并制作軸測圖。很少有這種定義與方法不一致的現(xiàn)象，所以需將此問題說清楚。

3.1 軸測投影的基本概念

先從畫法幾何的角度闡述軸測投影的基本概念與原理。將物體和連同確定其的空間直角坐標系，用平行投影法一起投影到選定的(軸測)投影面Π上，這種方法稱為軸測投影法(圖5)。在該Π面上得到的投影稱為軸測投影，簡稱軸測投影圖(圖6)。依投影方向與Π面的關系可分為：

(1)正軸測投影：投影方向垂直于投影面Π。

(2)斜軸測投影：投影方向傾斜于投影面Π。

圖5 軸測投影

圖6 正軸測投影原理圖

空間坐標系在軸測投影面上的投影構成了軸測投影圖的軸測坐標系，相鄰兩軸測軸間的夾角稱軸間角，分別記為∠1、∠2和∠3；空間坐標系的單位長度去除其在投影面上的投影長度，稱為軸向變形系數(shù)，分別記為η、η和η。畫法幾何中常用正等測、正二測和斜二測等3種軸測投影的軸間角(圖7)。

正等測投影，取η=η=η=0.82，一般簡化為η=η=η=1.0。

②正二測，取η=η=0.94，η=0.47，一般簡化為η=η=1.0，η=0.5。

③斜二測，取η=0.5，η=η=1.0。

圖7 常用軸測坐標系

軸測圖并不是空間的精確描述，其功能是產(chǎn)生較好的空間視覺效果，并根據(jù)需要選用其中一種軸測圖。上述軸向變形系數(shù)和軸間角是畫法幾何的經(jīng)典值，但并非是嚴格的標準，將軸向變形系數(shù)調整，只是將形體沿軸測方向等比擴大或縮小而已，視覺完全能夠接受。由于計算機繪圖給軸測圖的繪制帶來了極大的方便，軸測圖的分類也不像以前那樣重要。

3.2 軸測投影與軸測圖的若干問題

有關軸測投影的軸間角和軸向變形系數(shù)都是根據(jù)畫法幾何軸測投影的定義，一個空間形體用平行投影的方法，在設定的投影面投影得到軸測圖這樣一個概念上敘述的。但在軸測圖的實際繪制中，并沒有按照這種投影的方法去繪制，因為從這個定義出發(fā)困難重重。下面分析軸測軸的決定方法。

3.2.1 從投影定義出發(fā)得到所要求的軸測圖比較困難

一些計算機繪圖的書上考慮了從投影定義出發(fā)得到所要求的軸測圖[21-22]。

(1) 正等測圖。如果以–平面作為投影面，并產(chǎn)生正等測圖。那么可先將空間形體繞軸正旋轉–45°，再繞軸正旋轉35.264 42°(35°15.865′)然后向–平面投影(取、坐標)，得到正等測圖。

(2) 正二測圖。如果將空間形體繞軸正旋轉20°42′，再繞軸正旋轉19°28′然后向–平面投影(取、坐標)，得到正二測圖。

(3) 斜二測圖。先沿向錯移–0.353 5且離開軸([3,0])，然后沿軸錯移–0.353 5且離開軸([3,1])，然后向–平面投影(取、坐標)，得到斜二測圖。

這里，正等測圖、正二測圖基本符合由投影直接生成軸測圖的定義，但斜二測圖似乎并非由此定義得到的。

且不說上述復雜的參數(shù)如何得到，如何應用到手工軸測圖制作中？即使是電腦制作也無甚直觀性。因此，在工程應用之中，沒有見到直接從軸測投影的定義出發(fā)去制作軸測圖的。

3.2.2 工程上軸測圖的繪制方法只與軸測軸的決定有關

一般畫法幾何教材中使用的關于繪制軸測圖的步驟為：

(1)根據(jù)需要畫好軸測圖的軸測軸；

(2)在三視圖上沿軸向獲取物體的線性尺寸(因為三視圖反映了空間形體的實際尺寸)；

(3)在軸測圖上分別沿軸向量畫出物體上相應的各點、各線段和整個物體的軸測投影。

點是最基本的幾何元素，以如何作點的軸測投影出發(fā)討論軸測圖的繪制過程。

作圖：已知點的正投影圖及軸間角和軸向變形系數(shù)，作點的軸測投影。

作圖步驟(圖8)：

(1) 按軸間角畫出軸測軸、、，通常將放在垂直位置；

(2) 在正投影圖上量取點的方向長度Oa，根據(jù)方向的軸向變形系數(shù)得出軸測圖上的方向長度，在軸上截取該長度得×Oa；

(3) 在正投影圖上量取點的方向長度aa，根據(jù)方向的軸向變形系數(shù)得出軸測圖上的方向長度，過a作的平行線，在該線上截取長度×aa，得到；

(4) 在正投影圖上量取點的方向長度x′，根據(jù)方向的軸向變形系數(shù)得出軸測圖上的方向長度，過作的平行線，在該線上截取長度×aa'，得到點。

顯然，這種軸測圖的制作與軸測投影定義無關。

點軸測投影的作圖是基礎，直線、平面和簡單平面體的投影也可按此制作，因為直線可由兩點確定，平面可由三點確定，平面體可由平面體上各頂點確定。

圖8 作點的軸測投影

3.2.3 軸測軸的幾何本質

上述軸測圖的繪制方法是先決定軸測軸，再將正投影上的尺寸(其反映幾何在空間的真實性)按平行于軸測軸的方向去找到點的位置。這與畫法幾何關于軸測投影的定義沒有多大關系，關鍵是如何繪制好平面上的軸測軸，軸測軸不同，繪出的軸測圖也不同[23-25]。

因此，需要對傳統(tǒng)畫法幾何的軸測投影和軸測軸的確定有一個新的說法，使其能夠解釋畫法幾何的軸測圖繪制方法。

先從數(shù)學的角度來看一下坐標系的本質。按照線性空間的理論，在平面上經(jīng)常使用的是兩兩垂直的單位向量作為基底建立坐標系(圖9(a))，偶爾也采用一些非正交的坐標系(圖9(b))。兩種坐標系下點坐標的計值方法是不一樣的，垂直坐標系以點到坐標軸的垂直距離作為坐標值(圖9(a))；非正交坐標系下點的坐標的確定方法是：通過點分別作坐標軸的平行線，平行線與軸的交點在相應坐標軸上的計數(shù)作為點的坐標值(圖9(b))。這意味著，在平面上從任一點出發(fā)的兩條任意不共線向量均可構成一個坐標系，從任一點出發(fā)的3條任意不共線向量即構成表示三維空間的坐標系(圖10)。

圖9 平面坐標系

圖10 三維空間的坐標系

再從三視圖的形成方法上分析。三視圖是將投影面繞軸向下旋轉至投影面共面，投影面繞與軸逆時針旋轉至投影面共面，使空間的3個正投影面全部放置到一個平面上，與空間的面共面而形成同一平面上的3個視圖。其保持了空間形體的幾何計量而犧牲了圖示的直觀性。一個關鍵因素是：其將軸人為拆分為二了。

根據(jù)上述兩條思路，將空間3個投影面同時在一個平面上展示出來，并非一定要動投影面才能達到！可以設想一下，與軸本就在一個平面上，如果將軸繞旋轉至平面上，此時3個投影軸就在一個平面上了，構成軸的兩個平面和面也在這個平面上，形成了從出發(fā)的、由3條投影軸構成的3個投影平面，這3個投影面分別代表了空間的3個完整的投影面。圖11展示了這種軸測軸的形成過程。

圖11 軸測坐標系的構造

最后一個變換，繞旋轉軸或軸，調整3個軸測軸之間的夾角∠1、∠2和∠3，就可以得到任意的軸測軸的布置，圖中列出了畫法幾何常用的3種軸測軸。且軸測軸不再被分離，不像三視圖中有一個“缺口”。其與三視圖的區(qū)別是：在三視圖中，3個軸測軸是互相垂直的，可以用直角坐標系分別表示三維空間的投影面，因此可以反映空間形體的真實幾何量。而這里，3個軸測軸并不互相垂直，是用3個斜坐標系分別表示三維空間投影面的，因此其不能反映空間形體的真實幾何量，但能呈現(xiàn)空間形體直觀的立體感覺。

根據(jù)此，手工制作軸測圖的過程就變得順理成章了——先在平面上決定軸測軸，根據(jù)空間形體的實際尺寸(一般從三視圖獲得)沿軸向量決定點在軸測圖上的位置，畫出各點。

3.2.4 軸間角和軸向變形系數(shù)作用分析

平面上軸測坐標系兩個關鍵因素是軸間角和軸向變形系數(shù)，這在畫法幾何中講得較多。其實，軸間角只是影響軸測圖的美觀性而已，并無嚴格的標準。常用的正等測、正二測和斜軸測投影，只是人們一種習慣表達，精確地計算并無多大理論意義。

同樣，因為軸測圖的作用主要是直觀，不體現(xiàn)在幾何形體的尺寸量度上，這也是一種眼觀標準，因此對于軸向系數(shù)，也無精確要求。實際繪制時，各類教材均建議對正等測和正二測的軸向變形系數(shù)靠向簡單的比例因子。

如果制作一個簡單的比例尺(圖12)，軸向系數(shù)的計算因素可簡單解決：設水平直線(主尺)長度尺寸為1，斜線(比例尺)長度尺寸為scale(例如為軸向尺寸比例因子)。兩尺數(shù)字刻度相同，如主尺最大表100，則比例尺最大也是100。于是，在三視圖上量得的尺寸，先在主尺上讀得這個數(shù)值，并根據(jù)其在比例尺上量得新的數(shù)值，就是軸測圖上的軸向尺寸了。

圖12 軸向尺寸比例尺

3.2.5 軸測投影與軸測圖的總結

綜上所述，現(xiàn)在的畫法幾何中對軸測投影的內容有不妥的地方，講解軸測投影的目的是繪制軸測圖，但是與正投影完全不同的是，軸測圖的繪制并不是從“投影”的角度去實現(xiàn)的，而是以軸測軸的定義決定的，按照“沿軸量畫”的原則確定空間點的位置。因此建議在畫法幾何中講解軸測投影與軸測圖時，不強調軸側圖的繪制依賴于“用平行投影的方法，把形體連同它的三個坐標軸一起向設定的投影面投影得到的投影圖為軸測投影圖(簡稱軸測圖)”這個從投影的角度出發(fā)的定義，而是認為軸測圖是以二維圖形的形式去表現(xiàn)三維立體，使其具有立體感。軸測圖的類型由平面上一點出發(fā)的3條不共線的單位向量構成的軸測軸決定，繪制軸測圖的關鍵是決定這些軸測軸之間的角度，這樣構成的軸測軸類型有無窮多種。根據(jù)經(jīng)驗，為了保證軸測圖的可視性，可以選擇適當?shù)妮S向變形系數(shù)，“國標”建議參考或采用正等測和斜二測繪制軸測圖，其畫出的圖立體效果好，另外，三角板有現(xiàn)成的角度，尺規(guī)繪圖方便實現(xiàn)。但用計算機繪制，軸測圖類型的限制就沒有了。

3.3 軸測投影的計算化

當求得軸測的軸間角及軸向變形系數(shù)后，即可求得三維物體投影于軸測平面上的坐標變換公式。若給定從平面上一點引出3條不在同一直線上的單位向量，其間夾角分別為∠1、∠2和∠3，以這3條向量作為軸測軸，并分別以η、η和η作為其軸向變形系數(shù)，那么有[24-25]

=η??cosα+η??cosα+η??cosα

=η??sinα+η??sinα+η??sinα

最后，可得在軸向變形系數(shù)下的軸測變換矩陣通式為

以軸間角代替上述公式，可選取三維軸和二維軸一致(機械制圖常用)或三維軸與二維軸一致(計算機圖形學常用)，分列如圖13所示。

4 尺規(guī)作圖

4.1 尺規(guī)作圖的本質分析

用畫法幾何的尺規(guī)作平面上一類圖形只需用幾種基本作圖方法即可完成。通常只需8種基本作圖方法：作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角、作已知線段的垂直平分線、作已知角的角平分線、過一點作已知直線的垂線、已知一角/一邊做等腰三角形、已知兩角/一邊做三角形以及已知一角/兩邊做三角形等。尺規(guī)作圖的步驟也?？煞纸鉃槲宸N方法(稱作圖公法)：通過兩個已知點可作一直線、已知圓心和半徑可作一個圓、若兩已知直線相交可求其交點、已知直線和一已知圓相交，可求其交點、若兩已知圓相交，可求其交點等。

三維z軸和二維Y軸一致三維y軸與二維Y軸一致 ∠1=αy–αx，∠2=αz–αy+360°，∠3=αx–αz，αx=90°∠1=αy–αx+360°，∠2=αz–αy，∠3=αx–αz，αy=90° sinαy=cos∠2，sinαx=cos∠3，sinαy=1cosαy=sin∠2，cosαx=–sin∠3，cosαz=0sinαx=cos∠1，sinαz=cos∠2，sinαy=1cosαx=sin∠1，cosαz=–sin∠2，cosαy=0 畫法幾何使用的軸測圖坐標體系計算機圖形學使用的三維坐標體系

尺規(guī)作圖本質上是用幾何方法處理幾何問題，而且這種原始的尺規(guī)作圖的基本工具很少，約定是很苛刻的，其最樸素的思想是將復雜的幾何問題分解成簡單的、有序的基本幾何問題。其與高等代數(shù)中“線性空間中的任一向量可以用它的基底線性表出”的思想一樣厲害。引導人們聯(lián)想：畫法幾何的幾種基本作圖方法也是幾何作圖“幾何基”，圖形用一系列有序的幾何基表出。下面給出利用尺規(guī)作圖，也即用幾何基圖解圖形的一個例子。

已知3平行直線1、2、3，求作正△，使三個頂點分別落在3條平行線上(圖14)。

【作法1，偏規(guī)作法(圖14(a))】①1上任取一點為頂點，作正三角形△，使、落在2上(圖中虛線為正三角形簡易作法)；②作過、直線交3于；③以為圓心為半徑作弧交1于，連接、、成△。

【作法2，偏尺作法(圖14(b))】①2上任取一點作三平行線公垂線交1于，3于；②作線段的垂直平分線4；③過作直線使∠=30°，并交4于；④過、作直線交1于；⑤以為圓心為半徑作弧交3于，連接、、成△。

上例顯示該作圖方法只用了沒有尺度的直尺和圓規(guī)兩種作圖工具，沒有代數(shù)的解方程的概念，其本質是用幾何方法處理幾何問題，偏重于定性而不是定量地考慮問題。

圖14 三頂點在三平行線上的正三角形作法

4.2 尺規(guī)作圖的計算化[15-16]

在討論尺規(guī)作圖計算化以前，先看一個簡單的例子，求通過1、2和33點的圓。如果用代數(shù)的方法，可通過解三元二次方程得到所求圓心

可以看到，這兩個算式十分復雜，可讀性、可理解性及可交流性都很差；而且，當給出的3點呈共點、共線等的奇異情況時，兩式的分母可能為0，此時需要輪換點再算予以排除。

但是，若依照尺規(guī)作圖的思想，3點作圓的問題改用幾何方法就變?yōu)椋?/p>

(1) 作12的垂直平分線1，作13的垂直平分線2(共點的情況可在這一步排除)。

(2) 求1與2的交點即為圓心(如果無交點，則說明3點共線，無圓生成)。

(3) 圓心和3點中任一點的距離即為半徑。

可以看到，從幾何的角度，用模擬原始的“圓規(guī)、直尺作圖方法”解決幾何計算問題效率很高，奇異情況表現(xiàn)明顯、排除簡潔。這里，從代數(shù)的角度是“求三元二次方程的解”，從幾何的角度是“求兩條中垂線的交點”，兩種方法，兩種風格。雖然后者交點的求取最后也用到代數(shù)方法，但是從幾何角度可更宏觀地考慮問題。深層次的含義是，代數(shù)是從定量、有序的方式求解；幾何是從定性、直觀的角度思考，其對求取交點坐標的具體實施過程不感興趣，這符合人的認知體系的。

5 應用與發(fā)展

畫法幾何是工程圖學的理論基礎，根據(jù)以上認知，對畫法幾何投影、2D/3D對應和尺規(guī)作圖等主要理論和方法在應用面的擴展與計算化方面的一些工作與設想。

5.1 幾何問題幾何化

畫法幾何的基本理論，投影理論、2D/3D對應理論和尺規(guī)作圖方法，核心是幾何問題幾何化，以前對畫法幾何的計算機化的研究似乎缺少對這一思想的認識。不從幾何空間整體的角度入手，過于追求投影作圖過程的計算機模擬，很難發(fā)揮人的空間思維優(yōu)勢。應該“回歸幾何”，強調從幾何的角度，以空間思維，用幾何的理論去處理幾何問題。更宏觀地從空間概念形象地觀察世界、審視問題，發(fā)揮人類最有力的直覺武器，努力將一些問題歸結為幾何形式，因為這樣可以利用人的直覺。淡化幾何問題的代數(shù)化方法，幾何問題幾何化，擴大從形的角度，依賴于幾何計算、數(shù)字計算以及計算機的算法等去構建圖學的計算基礎。將畫法幾何投影作圖思想與現(xiàn)代計算技術相結合，綜合圖解法和解析法的優(yōu)勢，探索畫法幾何投影理論的計算化問題，最后構造出畫法幾何投影計算的基本工具和算法，是圖學計算化，特別是畫法幾何計算化的一個重要部分。

文獻[15]提出了一種基于幾何問題幾何化的“形計算”運算機制。形計算可從形的角度整體地去考慮幾何問題，將思維、幾何、代數(shù)及計算在幾何計算中定位在4個不同的層次：思維在認知與設計層次、幾何用于表述、代數(shù)是計算工具、計算最后執(zhí)行?；貧w幾何，淡化代數(shù)化計算。需建立一種“三維思維，二維圖解，一維計算”的多維空間融合，追求形-數(shù)的順滑過渡。更好發(fā)揮人的空間邏輯思維能力，加強人在計算中的主控地位。這將對數(shù)計算的非可讀性、幾何奇異引起的計算不穩(wěn)定性等方面有較大的改善。

5.2 投影與降維計算

投影法的本質是降維——將三維問題降為二維問題，在平面上求解空間問題。降維不僅使得問題的難度降低，也使一些幾何奇異問題的類型相對減少，使得圖學計算的穩(wěn)定性相對提高。

降維計算是分而治之策略在圖學計算之應用。在三維整體概念下建立問題的求解策略，先利用投影幾何理論，得到三維形的二維圖表示，將空間問題降為平面問題。然后在平面上求得幾何基序列解，由2D/3D對應理論建立的空間幾何與平面圖形間的映射關系，最后合成返回到空間問題的最終解。

降維計算關鍵要解決兩個問題：建立合適的計算坐標系和向任意平面的投影[15-16]。一般先將幾何轉化在相關幾何元的標準坐標系下，并以坐標平面作為正投影平面，建立所謂的計算坐標系；向任意面投是實現(xiàn)投影計算化的核心，在坐標平面上實現(xiàn)降維計算，實現(xiàn)線面求交。這是畫法幾何投影理論計算化研究的突破口，以此構建畫法幾何投影理論的計算化總體方案。

5.3 尺規(guī)作圖與幾何基

尺規(guī)作圖偏重于定性而不是定量地考慮問題，這是一種很好的思想。這不同于數(shù)學上的幾何偏重于解析方法，解析法依賴于坐標系和幾何的坐標表示，是基于數(shù)字的運算，是所謂的“幾何代數(shù)化”。

幾何的構造、定位和度量工作雖然千變萬化，但均基于點、線、面等這些少量的基本作圖工具或基本幾何函數(shù)，這些基本的作圖方法可以完成平面圖形的作圖工作，將復雜的幾何問題分解成有序的、簡單的基本幾何問題。這些簡單的工具起到了高等代數(shù)中線性空間中基底的作用，可以作為構建幾何大廈的“基”。形計算機制[15]根據(jù)這個思想引入了“幾何基(Primary Geometric Functions，PGF)”概念，一個PGF對應于一個最基本的幾何作圖操作，那么對幾何問題解的新解讀就變?yōu)椋骸皫缀螁栴}的解可由幾何基的序列表述”。探索用PGF的序列去表述幾何問題的解，這將徹底改變解的求解方式與表述形式，使求解(幾何化)與實施(代數(shù)化、程序化)分離，使幾何問題的求解結構化、直觀化、簡單化。

5.4 計算坐標系和向任意平面的投影

為了將三維物體在平面上呈現(xiàn)，需要繪制各種不同方向的投影圖，這種投影實際上是建立在一個參考坐標體系上的，其優(yōu)劣決定了一個場景表述的簡單還是復雜。從解析法的角度，就是根據(jù)場景，即參與計算的幾何系建立一個合適的計算坐標系。因為正投影的畫法幾何的基本投影，使得這種計算坐標系的構建依賴于投影平面的選擇，即解決“向任意平面的投影”問題[15-16]。

按照線性空間的理論，在三維空間，從任一點出發(fā)的3條任意不共面單位向量即構成一個三維的坐標系。因此，要得到在任一平面Π上的投影，只要構建一個新的坐標系，而Π在新坐標系的一個坐標平面上，即平面Π是這個新坐標系下的一個坐標平面。這個方法就可將“向空間任一平面的投影轉化為向坐標平面投影”。換個說法，在物體原坐標系下向任意平面的投影，就是在新坐標系下向坐標平面的投影。而向坐標平面的投影只要取空間點的其中2個坐標即可。

由于3個不共面向量是可以任意定義的(只要兩兩互相垂直時，新坐標系仍是直角坐標系)，可以參考某一個幾何元為主建立計算坐標系(也決定了投影平面)，該幾何元可作為“主元”，例如直線與球相交，以球為主元，圓錐與球求交，以圓錐為主元，等等。根據(jù)參與計算的幾何元構建合適的計算坐標系，可任選投影平面，通過降維簡化計算。

5.5 陰影與透視

畫法幾何在工程圖學領域的機械制圖和建筑制圖上應用最為廣泛，機械制圖中最廣泛的是三視圖和軸測圖，而建筑制圖中還加了陰影與透視的必須內容。

繪制陰影的要素是光線的方向和承影面[17-20]，基礎是基于點在承影面上的落影，實際上就是求取直線(光線)與平面(承影面)的交點。但是，畫法幾何理論是非數(shù)學化的理論，不能采用點的坐標、面的方程等用解析的方法求得線面的交點，其依據(jù)的是投影關系，根據(jù)投影關系，用尺規(guī)作圖的方法去求取線面的交點。因此，陰影作圖的核心技術是“如何通過平面作圖方法找到空間直線與空間平面的交點”，求解工具是尺規(guī)，而非計算。

陰影的最后目標是求取在平行光源或點光源光照下的幾何形體在其自身或在其他形體上或在某一指定落影面上的陰影區(qū)域，因此，產(chǎn)生陰影的本質是求取各陽面在平面上的區(qū)域邊界或并集，這里的平面可以是在其他物體的空間平面上或在投影平面上。

透視投影與透視圖陰影繪制是建筑制圖的一個必修技能和特色。透視圖陰影與軸側圖陰影并無本質區(qū)別，都是根據(jù)給出的光線三維方向向量及在承影面上的投影方向向量，在已知的、體現(xiàn)形體三維狀態(tài)的圖紙上繪制陰影圖，只是一個在已有的軸側圖上加載陰影，而另一個在透視圖上加載陰影。

圖15顯示了在畫法幾何投影理論與投影方法下，在建筑領域廣泛應用的正投影圖陰影、軸測圖陰影和透視圖陰影產(chǎn)生的理論依據(jù)和相互關系。

需要指出的是，基于手工，在特定的軸測圖、透視圖上繪制陰影，是一種個性化的東西，不具有普遍性，尤其當對圖紙前景(消隱、渲染)和背景(陰影)同時要求時，這種作圖方法就無能為力了。

圖15 陰影與透視的理論基礎和相互關系

只有從最本質的東西出發(fā)，在空間概念上、在計算性質上去闡述陰影與透視才是合理的。陰影與透視同樣需要計算化研究。

6 總 結

畫法幾何是工程制圖的理論基礎，畫法幾何也是研究形的科學，屬于幾何的一部分。其基本理論可從3方面解讀：投影理論、2D/3D對應理論和尺規(guī)作圖理論。經(jīng)過幾何學科的發(fā)展，畫法幾何與一般數(shù)學中的幾何理論已有所區(qū)別。數(shù)學上的幾何理論通常是基于笛卡爾的幾何代數(shù)化，采用解析化求解；而畫法幾何在蒙日非數(shù)學地闡述了投影理論后成為一門獨立學科，并且仍基于幾何圖解法。

畫法幾何中的投影理論和2D/3D對應理論的核心思想是降維，計算化的關鍵在于向任意面的投影；尺規(guī)作圖理論的核心是幾何問題幾何化，計算化的關鍵是建立PGF，通過PGF與最基本的幾何作圖操作的對應，得到對幾何問題解的新解讀：幾何問題的解由PGF的序列表述。探索用PGF的序列去表述幾何問題的解，將徹底改變解的求解方式與表述形式，使求解(幾何化)與實施(代數(shù)化、程序化)分離，使幾何問題的求解結構化、直觀化、簡單化。

軸測圖并不是從軸測投影的定義出發(fā)去繪制的，而是只與軸測軸的決定有關，需要對畫法幾何傳統(tǒng)的軸測投影和軸測軸的決定有一個新的說法。從數(shù)學的角度，坐標系的本質是：按照線性空間的理論，在平面上從任一點出發(fā)的兩條任意不共線向量均可構成一個坐標系，從任一點出發(fā)的3條任意不共線向量即構成表示三維空間的坐標系。軸測圖應以此為指導思想，據(jù)此解釋畫法幾何的軸測圖繪制方法。

最后，本文介紹了畫法幾何在計算機時代的發(fā)展和進一步應用所做的工作和一些設想。

本質地揭示使學科的概念更準確、更清晰，架構更完整、更簡潔。只有對畫法幾何基本理論有一個全面、本質的認識，認識幾何問題幾何化的重要意義，才能厘清大圖學學科的理論基礎和計算基礎！

[1] 中國圖學學會. 2012-2013圖學學科發(fā)展報告[R]. 北京: 中國科學技術出版社, 2014: 3-30.

[2] 何援軍. 圖學與幾何[J]. 圖學學報, 2016, 37(6): 741-753.

[3] 何援軍, 王子茹. 談談圖學教材[J]. 圖學學報, 2015, 36(6): 819-827.

[4] 何援軍. 一種基于幾何的形計算機制[J]. 圖學學報, 2015, 36(3): 319-330.

[5] 何援軍, 童秉樞, 丁宇明, 等. 圖與圖學[J]. 圖學學報, 2013, 34(4): 1-10.

[6] 于海燕, 蔡鴻明, 何援軍. 圖學計算基礎[J]. 圖學學報, 2013, 34(6): 1-6.

[7] 童秉樞. 對圖學學科和工程圖學學科的若干認識[J]. 工程圖學學報, 2010, 31(6): 1-6.

[8] 唐榮錫. 現(xiàn)代圖形技術[M]. 濟南: 山東科學技術出版社, 2001: 10-20.

[9] 丁宇明. 向交叉學科方向發(fā)展的工程圖學[J]. 武漢大學學報: 工學版, 2001, 34(6): 75-78.

[10] 王子茹. 工程圖學教材建設芻議[C]//第十四屆全國圖學教育研討會暨第六屆制圖CAI課件演示交流會論文集(上冊). 北京: 中國工程圖學學會圖學教育專業(yè)委員會、教育部高等學校工程圖學教學指導委員會, 2004, 406-409.

[11] 王子茹, 賈艾晨. 工程類《畫法幾何及工程制圖》精品課程建設的研究與實踐[J]. 工程圖學學報, 2010, 31 (增刊1): 110-113.

[12] 王子茹, 張帆, 邱冰. 遠程教育《建筑制圖》文字教材建設的思考[J]. 大學教育, 2014, 18: 32-33,36.

[13] 劉克明, 楊叔子. 畫法幾何學的歷史及其現(xiàn)代意義——紀念蒙日畫法幾何學公開發(fā)表200周年[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 1998, 28(3): 281-288.

[14] ATIYAH M. 二十世紀的數(shù)學[J]. 數(shù)學譯林, 2002, (1): 1-24.

[15] 何援軍. 幾何計算[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013: 1-26, 226-240.

[16] 何援軍. 計算機圖形學[M]. 3版. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2009: 180-183.

[17] 黃鐘璉. 建筑陰影和透視[M]. 上海: 同濟大學出版社, 1995:59-69.

[18] 樂荷卿, 陳美華.建筑透視陰影[M]. 長沙: 湖南大學出版社, 1996: 33-68.

[19] 鄧學雄, 太良平, 梁圣夏, 等. 建筑圖學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2015: 59-69.

[20] 黃紅武, 王子茹. 現(xiàn)代陰影透視學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004: 1-20.

[21] 謝步贏. 計算機繪圖教程[M]. 上海: 同濟大學出版社, 1995: 69-76.

[22] 應道寧, 吳中奇, 王爾健, 等. 計算機繪圖[M]. 杭州: 浙江大學出版社, 1990: 36-40.

[23] 何援軍. 圖形變換的幾何化表示——論圖形變換和投影的若干問題之一[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2005, 17(4): 723-728.

[24] 何援軍. 投影與任意軸測圖的生成——論圖形變換和投影的若干問題之二[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2005, 17(4): 729-733.

[25] 何援軍. 透視和透視投影變換——論圖形變換和投影的若干問題之三[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2005, 17(4): 734-739.

Interpretation of Descriptive Geometry

HE Yuanjun

(Department of Computer Science and Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

From the aspect of geometry, this paper gives new understandings on descriptive geometry. Combined with the demand for computerization, the theory system of descriptive geometry is clarified. On this basis, some expressions in some textbooks of descriptive geometry are first reframed. Then the essences of theories on projection, 2D/3D corresponding, drawing by ruler and compass, as well as isometric drawing, shadow and perspective are revealed. Problems related to computerize these theories are further discussed. In the end, some assumptions are proposed to the development of descriptive geometry both in theory and in application.

geometry; graphics; descriptive geometry; projection

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2018010136

A

2095-302X(2018)01-0136-12

2017-06-06；

2017-06-30

何援軍(1945–)，男，浙江諸暨人，教授，博士生導師。主要研究方向為CAD/CG和幾何計算。E-mail：yjhe@sjtu.edu.cn