劉克明

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《墨子》的幾何學(xué)與圖學(xué)成就及其科學(xué)價(jià)值

劉克明

(華中科技大學(xué)人文學(xué)院，湖北 武漢 430074)

《墨子》是我國(guó)古代最早論述圖學(xué)知識(shí)、圖學(xué)思想的科技史著作。《墨子》一書中的論述與記載表明：圖形、圖樣與文字、數(shù)字一樣，在人類的社會(huì)進(jìn)步和科技發(fā)展過程中起著不可替代的作用。對(duì)《墨子》的研究，特別是對(duì)其圖學(xué)基本概念與基本理論的探討及其歷史地位；仍是一個(gè)有待深入和系統(tǒng)闡明的課題。本文通過考察《墨子》對(duì)有關(guān)圖學(xué)理論研究的嘗試，探討中國(guó)古代科學(xué)技術(shù)中的圖學(xué)實(shí)踐與圖學(xué)知識(shí)的成果，以及這些圖學(xué)成果所體現(xiàn)的中國(guó)圖學(xué)傳統(tǒng)與科學(xué)探索精神。

圖樣；圖學(xué)；墨子

《墨子》一書是墨子(約公元前476年—前390年)及其弟子的代表作?！赌印芬粫?，“圖”字僅出現(xiàn)兩次，“圖”在書中的意思，并無圖學(xué)的意義?！赌印分械摹皥D”字，一是作為動(dòng)詞之用；二是作為名詞之用，如“綠圖”之圖。

《墨子》中的“圖”字，盡管沒有今天所稱之為的“圖學(xué)”或“圖樣”的涵義，但《墨子》一書，記載了當(dāng)時(shí)人們對(duì)圖學(xué)知識(shí)及其理論研究的嘗試，涉及幾何學(xué)與圖學(xué)的基本內(nèi)容，較之先秦文獻(xiàn)，確實(shí)最為詳實(shí)?！赌印钒▓D學(xué)的基本概念有：點(diǎn)、線、面、體的定義及相互邏輯關(guān)系，圖形空間的比較方法，有窮與無窮的問題，方、圓、直線等幾何性質(zhì)等等。墨子及其弟子，多為工程技術(shù)工作者，所以《墨子》中的圖學(xué)知識(shí)、對(duì)圖學(xué)理論研究的探討，多側(cè)重于工程技術(shù)所急需的幾何學(xué)知識(shí)與圖學(xué)問題。《墨子》中有關(guān)圖學(xué)的內(nèi)容與論述，極大地豐富了中國(guó)古代人們對(duì)圖形的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，以及先秦時(shí)期中國(guó)人對(duì)圖學(xué)知識(shí)與理論的看法。

1 墨子時(shí)代的幾何作圖及《墨子》對(duì)幾何基本概念的論述

《墨子》一書所討論的圖學(xué)、幾何學(xué)基本概念及其定義、對(duì)投影的認(rèn)識(shí)，是中國(guó)先秦?cái)?shù)學(xué)理論及其圖學(xué)理論研究最為精彩的論述。

1.1 墨子時(shí)代的幾何作圖

在科學(xué)技術(shù)的各門學(xué)科之中，圖學(xué)是一門應(yīng)用十分廣泛的橫斷學(xué)科，其以圖形系統(tǒng)來研究和認(rèn)識(shí)客觀世界，從構(gòu)成圖的要素來看，圖形或圖樣是由點(diǎn)、線、面、體等幾何要素所構(gòu)成，這些幾何要素的不同變化和組合構(gòu)成了不同的圖形。幾何作圖最能代表人們對(duì)幾何學(xué)的認(rèn)識(shí)。這是因?yàn)樵诠こ碳夹g(shù)中，常常會(huì)遇到大量由點(diǎn)、線、面、體組合的圖形。因此，幾何作圖的基本方法及其技術(shù)水平，不僅能提高工程制圖的速度和準(zhǔn)確性，也能反映每一時(shí)代工程制圖技術(shù)的發(fā)展程度；同時(shí)，按照已知條件，作出所需要的幾何圖形，是圖學(xué)技術(shù)、圖樣繪制必不可少的組成部分，也是表現(xiàn)制圖者幾何觀點(diǎn)和作圖技能的重要手段，反映了圖樣繪制者的邏輯思維能力。

“幾何作圖”需要考慮點(diǎn)、線、面、體等幾何要素。中國(guó)古代工程制圖師們?cè)陂L(zhǎng)期的幾何作圖中，總結(jié)了很多簡(jiǎn)便的作圖方法。墨子時(shí)代的圖學(xué)成就，以幾何作圖為例，可見之于1978年夏重出人世的隨州戰(zhàn)國(guó)曾侯乙墓的文物與1986年發(fā)掘的包山楚墓文物，這兩大古墓都是蘊(yùn)藏先秦文物的寶庫，反映了中國(guó)古代圖學(xué)和幾何作圖及其繪圖技術(shù)的成就，反映了當(dāng)時(shí)人們對(duì)形體的認(rèn)識(shí)與圖繪的技術(shù)水平。

在曾侯乙墓和包山楚墓出土文物中，無論是青銅器、漆器，每件文物上面，都繪有各種變化的幾何形圖案，其集工程幾何作圖之大成；如等分線段、平行線、對(duì)角線、菱線、切線、矩形、圓、同心圓、橢圓、圓弧連接，等分圓周；包括4、5、6、7、8、12、16、20等分圓周，表現(xiàn)了極其熟練和準(zhǔn)確的幾何作圖能力；同時(shí)這些幾何圖案加上鳥獸紋、龍鳳紋等裝飾紋樣的機(jī)械重復(fù)，使造型更具有幾何線條與藝術(shù)繪畫理智統(tǒng)一的、明快的感覺。漆器的幾何圖案由點(diǎn)、線、面構(gòu)成，由圓點(diǎn)紋、菱形紋、三角形紋、網(wǎng)紋、圓圈紋、圓渦紋等組成。其出現(xiàn)于西元前5世紀(jì)的戰(zhàn)國(guó)之際，確實(shí)令人嘆為觀止。

先秦時(shí)期在幾何作圖方面的實(shí)踐，反映了當(dāng)時(shí)的制圖能力，也是制圖技術(shù)發(fā)達(dá)的標(biāo)志。以曾侯乙墓和包山楚墓出土文物為代表，幾乎涵括了幾何作圖技術(shù)的各個(gè)方面，既有尺規(guī)作圖，即標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖，又有近似幾何作圖，即非標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖。尺規(guī)作圖是用工具；即用規(guī)與矩來完成作圖，這種作圖是無誤差及精確的。標(biāo)準(zhǔn)幾何或正規(guī)作圖均屬于尺規(guī)作圖的范籌。近似幾何作圖是指實(shí)際應(yīng)用較多的圖形，如繪制五等分圓周、七等分圓周等幾何圖形時(shí)，用尺規(guī)作圖是無法實(shí)現(xiàn)的；因此，人們往往采取一種基本上近似的作圖方法，故稱近似幾何作圖。數(shù)學(xué)上，這種幾何畫法是不能用公理、定理等來證明的，而這些幾何作圖恰恰是曾侯乙墓與包山楚墓出土文物中圖形、圖案造型中的重要內(nèi)容，如圖1～4所示。曾侯乙?guī)着c墨子同時(shí)代，為公元前5世紀(jì)中期；包山楚墓則在墨子之后[1-3]。

圖1 曾侯乙墓出土文物中的幾何作圖

圖2 曾侯乙墓出土文物中的近似幾何作圖

圖3 包山楚墓出土文物中的幾何作圖

圖4 包山楚墓出土文物中的幾何作圖

1.2 《墨子》對(duì)幾何基本概念的論述

圖形的來源是形，“形是由點(diǎn)、線、面、體等幾何要素構(gòu)成的”。從圖學(xué)自身發(fā)展的歷史來考察，人們對(duì)圖形與圖樣基本概念的定義，也是不斷在發(fā)生變化的，并隨著人類文明的進(jìn)步而逐步完善。今天，人們談?wù)摰膱D形與圖樣，大多是指能用數(shù)學(xué)方法描述的圖形，其構(gòu)成了科學(xué)與工程技術(shù)的基礎(chǔ)；圖學(xué)的核心是幾何，圖學(xué)與幾何學(xué)是同步發(fā)展的科學(xué)，圖學(xué)的歷史也是幾何的歷史，早期的畫法幾何也是幾何的一部分。因此，對(duì)圖學(xué)基本概念；譬之點(diǎn)、線、面、體的定義，往往反映了人們對(duì)圖學(xué)的基本及其認(rèn)識(shí)水平。

《墨子》中關(guān)于圖學(xué)，特別是幾何學(xué)概念及定義，見之于《經(jīng)上》、《經(jīng)下》、《經(jīng)說上》、《經(jīng)說下》4篇，凡十九條。《經(jīng)》所載為定義，《經(jīng)說》則為對(duì)《經(jīng)》中各條的解釋和說明。

1.2.1 《墨子》關(guān)于點(diǎn)的定義

《墨子》將點(diǎn)稱“端”，其具有數(shù)學(xué)上幾何學(xué)“點(diǎn)”的涵義，并具有由點(diǎn)組成線，由線組成面，由面組成體的幾何學(xué)思想。

《經(jīng)上》：“端，體之無序而最前者也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“體也，若有端?！薄岸耸菬o同也?！?/p>

“端”字在《墨子》、《經(jīng)》與《經(jīng)說》中，出現(xiàn)了15次，主要是指幾何學(xué)上的點(diǎn)而言，是《墨子》有關(guān)幾何學(xué)的基本概念之一。“端”的字義意，其一、相當(dāng)于幾何學(xué)中的“點(diǎn)”。其二、為物體的最前端，或直線線段的兩極端。這兩個(gè)字義雖有不同，但互相聯(lián)系?！靶颉睘椤绊樞颉?、“秩序”之義，一個(gè)物體與另一個(gè)物體依次排列，謂之“有序”?，F(xiàn)在“端”是物體最前的一點(diǎn)，不可能有更之前的點(diǎn)，因而“端”是“最前”，不可能次于另一點(diǎn)之后。故《經(jīng)》言：“端，體之無序而最前者也”。既然是端，其本質(zhì)就是“點(diǎn)”，根據(jù)幾何學(xué)的定義：點(diǎn)是沒有大小，沒有厚薄的。因此不可能有兩個(gè)點(diǎn)處在完全相同的位置，否則其就不是“無序而最前”，就不能成其為“端”?！督?jīng)說上》言“端是無同也?！薄赌印穼?duì)“端”的分析和論證，由簡(jiǎn)至繁，其數(shù)學(xué)概念，甚為嚴(yán)密。

1.2.2 《墨子》關(guān)于線的定義

《墨子》多次討論直線的性質(zhì)和直線與其他幾何圖形的關(guān)系。《墨子·法儀》云：“百工為方以矩，為圓以規(guī)，直以繩，衡以水，正以懸?！薄爸币岳K”是工程技術(shù)中取直的重要方法。治木求直，以拉緊直線作為標(biāo)準(zhǔn)，是古代工匠在工程制造中所取得的關(guān)于直線性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)對(duì)直線的感性經(jīng)驗(yàn)已在逐步地上升到理論形態(tài)。

“直以繩”幾乎接近于幾何學(xué)對(duì)直線性質(zhì)的論述，即經(jīng)過兩點(diǎn)有并且只有一條直線；簡(jiǎn)單地說兩個(gè)點(diǎn)決定一條直線，在“直以繩”的基礎(chǔ)上，《墨子》還提出了直線性質(zhì)的另一條規(guī)律，即《經(jīng)上》：“直，參也?！?/p>

參：《廣雅·釋言》：參，三也，所謂“參”是數(shù)量上的“三”，為數(shù)詞。《左傳·隱公元年》：“先王之制，大都不過三國(guó)之一?！倍蓬A(yù)注：“三分國(guó)城之一?！眳⑶矣辛_列，并立之意?！逗鬂h書·張衡傳》：“參輪可使自轉(zhuǎn)，木雕，猶參獨(dú)飛?！薄墩撜Z·衛(wèi)靈公》：“立，則見其參于前也。在輿則見其倚于衡也?！奔囱匀水?dāng)前正立車上。幾何學(xué)中直線的定義是線段向兩方無限延伸而形成，一條直線上有無限多個(gè)點(diǎn)。

《墨子》用“直，參也”這一簡(jiǎn)短的關(guān)于直線的定義式的命題，對(duì)直線的認(rèn)識(shí)是頗有見地的。意同歐幾里得(前330年—前275年)所謂“某點(diǎn)介于另兩點(diǎn)之間”，確切地說：“同在一直線上的三點(diǎn)，有一點(diǎn)恰好介于其余兩點(diǎn)之間。”“直，參也?！币簿褪钦f，中正不曲叫直線，“參”是中正不曲的意思。也可以說，三點(diǎn)共線：即為直線，漢代以后“弩機(jī)”上的瞄準(zhǔn)器“望山”就是據(jù)此發(fā)明的。

同時(shí)《墨子》中用“參”“直”互訓(xùn)?！督?jīng)下》：“參，直之也?！?/p>

《說文》：直，正見也。清代段玉裁《說文解字注》：《左傳》曰，正直為正，正曲為直，其引申之義也。見之審則必能矯其枉，故曰正曲為直，直為會(huì)意之字。

1.2.3 《墨子》關(guān)于平行線的定義

《經(jīng)上》：“平，同高也。”

《經(jīng)說上》：“必，謂臺(tái)執(zhí)者也：若弟兄。一然者，一不然者，必不必也。是非必也?！?/p>

“平”，《詩經(jīng)·小雅·伐木》鄭箋云：“平，齊等也?！?，《廣韻》：“平，正也?！薄芭_(tái)執(zhí)者”，“猶言二人抬物而各以雙手執(zhí)持也。二人抬物其高必等?！惫式?jīng)說當(dāng)解釋為：“‘平’，所講的就像弟兄二人共同抬持物體一樣，故其高必然相等?！?/p>

這里平的定義作為幾何學(xué)而論，即指平行線。“同高”是指兩條線平行，則兩線之最短的距離，即垂線——高相等?！赌?jīng)》關(guān)于平行線的認(rèn)識(shí)，如圖5所示。高度1與2相等，那么直線平行于直線。

圖5 《墨子》“平，同高也”示意圖

1.2.4 《墨子》關(guān)于等長(zhǎng)線段的定義

《經(jīng)上》：“同長(zhǎng)，以缶相盡也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“同，楗輿狂之同長(zhǎng)也?！?/p>

《墨子》中的“缶”字，即“正”字，這是對(duì)兩線段相等的定義，“缶相盡”即“正相盡”，是說兩線段正好重合的意思。

1.2.5 《墨子》關(guān)于面的定義

《經(jīng)上》：“有間，中也。”

《經(jīng)說上》：“有間，謂夾之者也。”

《經(jīng)上》：“間，不及旁也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“間，謂夾者也。尺，前于區(qū)穴，而后于端，不夾于端與區(qū)內(nèi)?！?/p>

“間”者，即今“間”字。間者，所間也。有間者，能間也。惟點(diǎn)無間，線、面、體皆有間，凡形之可分析者皆有間?！皡^(qū)”者，如幾何學(xué)所稱之面，有長(zhǎng)有寬，成一界域，故謂之區(qū)。先有點(diǎn)而后有線，先有線而后有面，故曰：“尺前于區(qū)而后于端”。尺既在端前區(qū)后，則似尺在端與區(qū)之間；而其實(shí)不然，蓋“間”之義并非如此?！督?jīng)說》又舉“尺不夾于端與區(qū)間”作為反證。

1.2.6 《墨子》關(guān)于圓的定義

《墨子》中，寫圓為圜?！吨芏Y·冬官考工記》：“輿人為車，圜者中規(guī)，方者中矩。”“規(guī)之以視其圜也?！薄稘h書·梅福傳》：“昔高祖納善若不及，從諫若轉(zhuǎn)圜?！弊ⅲ骸芭c圓同?！倍斡癫谩墩f文解字注》：“依許則言天當(dāng)作圜。言平?當(dāng)作?。言渾圓當(dāng)作圓?！?/p>

《經(jīng)上》：“圜，一中同長(zhǎng)也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“圜，規(guī)寫攴也?！?/p>

《經(jīng)上》：“中，同長(zhǎng)也。”

《經(jīng)說上》：“心中，自是往相若也?！?/p>

以上是關(guān)于圓的定義及其性質(zhì)的研究，“一中”，是指圓有一個(gè)圓心，“一中同長(zhǎng)”是說到一個(gè)中心有相等距離的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形。

根據(jù)幾何對(duì)圓的定義，即平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑，設(shè)為一圓，為圓心，則，，，各線俱等，故《墨子》以“心”為喻，“自是往者”自中心而往。故自圓心至圓之半徑必相等，故曰“相若”。

“圓，一中同長(zhǎng)”即討論圓的幾何性質(zhì)，由圓的定義，可知圓的幾何性質(zhì)，即圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于定長(zhǎng)半徑。到圓心的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上。故曰“一中同長(zhǎng)。”如圖為圓。為圓心，過作，兩線，其中必與同長(zhǎng)?！队衿罚骸耙?guī)，正圓之器也。”“規(guī)寫交攴”即今幾何學(xué)所稱之為作圖，如圖6~7所示。

圖6 《墨子》“圜，一中同長(zhǎng)也”示意圖

圖7 《墨子》“圜，規(guī)寫攴也”示意圖

墨子及弟子從事技術(shù)工作，精通手工技藝，可與當(dāng)時(shí)的巧匠魯班相比；他們從生產(chǎn)實(shí)踐以及傳聞和親聞中，得到了“為圓以規(guī)”的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，并“循所聞而得其義”，抽象出了“圓，一中同長(zhǎng)也”的認(rèn)識(shí)，并以此為法則，“量度天下之圓與不圓”，“曰中吾規(guī)者謂之圓，不中吾規(guī)者謂之不圓。是以圓與不圓，皆可得而知也”。由是觀之，墨子關(guān)于圓的認(rèn)識(shí)，就較前人的認(rèn)識(shí)前進(jìn)了一大步。

1.2.7 《墨子》關(guān)于矩形的定義

《經(jīng)上》：“方，柱隅四讙也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“方，矩見攴也。”

這里關(guān)于正方形和矩形的定義。柱隅之柱，即方之邊，隅為方之角。四讙即四權(quán)，方之四柱皆正邊。四隅皆為直角。如圖，，，四柱，皆為正邊，∠，∠，∠，∠為四隅，皆為直角，故云：“柱隅四讙也。”《墨子》“天志”中亦有：“中吾矩者謂之方，不中吾矩謂之不方，是以方與不方，皆可得而知之。”

唐人楊倞《荀子·不茍》注：“矩，正方之器也。”寫有畫意。以矩畫方，其四邊相接且互相垂直。《周髀算經(jīng)》卷上“圓出于方，方出于矩，”漢趙爽(約182—250年)注述：圓規(guī)之?dāng)?shù)，理之以方，方；周匝也。方正之物，出之以矩；矩，廣長(zhǎng)也。”如正方形，其中、二線相交于。，二線相交于。推之兩點(diǎn)，同樣以兩線相交，故云：“矩寫攴也”?！赌印分嘘P(guān)于矩形的定義，如圖8所示。

圖8 《墨子》“方，柱隅四讙也”示意圖

1.2.8 《墨子》關(guān)于體的定義

《經(jīng)上》：“厚，有所大也。”

《經(jīng)說上》：“厚，惟無所大。”

《說文》：“厚，山陵之厚也。垕：古文厚，從后土。”按后土即謂大地。大地山陵，形成立體，故此厚系指立體形。

設(shè)與為二平面形，連結(jié)與二平面，使成一正方立體形，而任一邊可以擴(kuò)大為此正方立體形之厚，故與《經(jīng)上》所云：“有所大”，蓋所謂厚者即為所積之體故也。《墨子》中關(guān)于體的定義，如圖9所示。

圖9 《墨子》“厚，有所大”示意圖

關(guān)于體的定義及其性質(zhì)，《墨子》亦有所論述。

《經(jīng)上》：“體，分于兼也。”

《經(jīng)說上》：“體，若二之一，尺之端也?！?/p>

《墨子》以端為譬，詳釋“體”義。說明“體”和“兼”的區(qū)別及其關(guān)系，也就是給“體”作了定義?！吧w并眾體則為兼，分之則為體。”“體”為個(gè)體，就是部分。“兼”是部分之合?！绑w”和“兼”的關(guān)系就是部分和整體的關(guān)系。所以《經(jīng)上》言：“體，分于兼也。”《經(jīng)說上》舉例，以明經(jīng)意?！绑w，若二之一，尺之端也。”尺，即幾何學(xué)所謂的線，“尺之端”者，線之點(diǎn)也，“若二之一”中的“二”是兩個(gè)“一”合并，“線”是許多“點(diǎn)”集合，也是“兼”與“體”的關(guān)系的例證?！赌印分徽f“體分于兼”不說體分于全，頗具特色。“一”是“二”的部分，但“二”并不是全體?！包c(diǎn)”是“線”的部分，但不能說“線”就是全體。空間和時(shí)間是無限的，所謂“全體”，只可能有相對(duì)的意義[4-5]。

《墨子》中有關(guān)幾何等概念的命題與定義，稱點(diǎn)為端，稱線為尺，稱面為區(qū)，界內(nèi)部分為間，形體的界為有間等是，墨子用端、尺、區(qū)的概念，即從點(diǎn)、線、面、體的角度來理解空間物體存在的形狀。蘊(yùn)涵了圖形問題幾何化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的思想！這與今天的工程圖學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)圖像學(xué)等學(xué)科在理解“圖形學(xué)與可視化”、“視覺與圖像”、“幾何設(shè)計(jì)與計(jì)算”所作的表述方法，是完全一致的?！赌印窂摹靶巍钡膸缀螌W(xué)的角度揭示圖的本質(zhì)，給出了“形”與“圖”的科學(xué)表述。

2 《墨子》對(duì)投影理論的論述

確實(shí)，《墨子》中《經(jīng)上》、《經(jīng)說上》、《經(jīng)下》、《經(jīng)說下》所論幾何學(xué)的概念，并不是打算用演繹推理的辦法去證明任何幾何定理，而是探討投影幾何與測(cè)量有關(guān)的事實(shí)；這在墨子的圖學(xué)思想與理論中表現(xiàn)得十分明顯。這是因?yàn)樵谌祟愇拿鳉v史的進(jìn)程中，圖學(xué)一直是人們認(rèn)識(shí)自然，表達(dá)、交流思想的主要形式與工具。從象形文字的產(chǎn)生到現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人類的活動(dòng)始終與圖學(xué)有著密切的聯(lián)系[6]。圖學(xué)的重要性可以說是其他任何表達(dá)方式所不能替代的。而圖學(xué)要解決的問題包括圖示法和圖解法兩部分內(nèi)容。圖示法主要研究用投影法將空間幾何元素——點(diǎn)、線、面的相對(duì)位置及幾何形體的形狀表示在圖紙平面上，同時(shí)必須可以根據(jù)平面上的圖形完整無誤地推斷出空間表達(dá)對(duì)象的原形。即是要在二維平面圖形與空間三維形體之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

投影法的基本概念；一是要有光線，二是要有被投影的物體，三是要有投影所在的平面。此三者就構(gòu)成投影的基本條件。當(dāng)人們將物體放在光源和預(yù)設(shè)的平面之間時(shí)，在該平面上便呈現(xiàn)出物體的影像。如果將這種自然現(xiàn)象加以幾何抽象，就可得到投影方法。

現(xiàn)代圖學(xué)理論的投影原理示意圖，如圖10所示，設(shè)定平面為投影面，不屬于投影面的定點(diǎn)。(如光源)為投射中心，投射線均由投射中心發(fā)出。通過空間點(diǎn)的投射線與投影面相交于點(diǎn)，則稱為空間點(diǎn)在投影面上的投影。

這種按幾何法則將空間物體表示在平面上的方法稱為投影法。投影法是圖學(xué)的基本理論[7]。

《墨子》論投影的理論，見之于“經(jīng)”、“經(jīng)說”所論光學(xué)部分。共有八條，總字?jǐn)?shù)343字，《墨子》論及圖學(xué)部分，共計(jì)二十余條。光學(xué)八條者。首條論述陰影的定義與生成，其次解釋光與影的關(guān)系，而嘗試論述光有直線運(yùn)動(dòng)之性質(zhì)。第三條則論述光具有直線運(yùn)動(dòng)之性質(zhì)。

圖10 現(xiàn)代圖學(xué)理論中投影原理的基本概念示意圖

2.1 對(duì)投影幾何基本概念的認(rèn)識(shí)

投影幾何是現(xiàn)代圖學(xué)最為重要的基礎(chǔ)，投影幾何的方法就是將三維空間的幾何圖形畫在二維的平面上、解決空間幾何問題，是制圖技術(shù)的出發(fā)點(diǎn)，《墨子》中對(duì)投影幾何的認(rèn)識(shí)，見《經(jīng)下》及其《經(jīng)說下》：

《經(jīng)下》：“景不徙，說在改為。”

《經(jīng)說下》：“景，光至，景亡。若在，盡古息?！?/p>

《墨子》在此論述了運(yùn)動(dòng)中的物體與其投影的物理性質(zhì)?！熬啊弊衷凇赌印分谐霈F(xiàn)三十六次，除“景公”是人名，出現(xiàn)四次外，其他都與論及的圖學(xué)、光學(xué)諸條相關(guān)，并屢屢出現(xiàn)于《經(jīng)下》、《經(jīng)說下》之中?！赌印分小熬啊绷x有三。

其一：解釋為光。如《說文解字》：“日光也”，如同投影幾何中的投影中心。

其二：即物體蔽住光線所成之陰影?！夺屛摹?，景本或作影。如《經(jīng)典釋文》“爾雅音義”：“景，境也。明所照處有境限也”。物之陰影?！墩f文解字》：“名光中之陰曰：影?！本埃瑸楣庞白?。已見高誘淮南子註，宋郭忠恕《佩觿卷上》：“形景”，“爲(wèi)影”，“本乎稚川”。

其三：為光由反射面所反射而成之圖形、圖像。段玉裁《說文解字注》：“左傳曰。光者遠(yuǎn)而自他有燿者也。日月皆外光。而光所在處物皆有陰。光如鏡故謂之景?！?/p>

此三者已闡明投影理論的三大要素，①光，即投影中心；②投影物體；③投影，物體的投影。墨子所論與現(xiàn)代投影幾何理論的思想方法是一致的。

由是可知，《經(jīng)下》：“景不徙，說在改為。”及《經(jīng)說下》的“景”俱訓(xùn)作第二義，即物體遮蔽光線所成的投影。而“為”，段玉裁《說文解字注》云：“凡有所變化，曰為?！薄稜栄拧贰搬屟浴保骸白髟鞛橐??！薄案臑椤闭?，光源運(yùn)動(dòng)、或物體運(yùn)動(dòng)之意。

因此，《經(jīng)下》此文可釋為：影不徙；若改徙，其故在光源或被投影的物體之間有移動(dòng)。《經(jīng)說下》：“景，光至，景亡。”一語，宜作“被投影物體遮蔽光線所成之陰影”之義。投影是因物體遮蔽了投射到地面或屏上的光線而形成的。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若前一瞬間的光被遮住出現(xiàn)投影的地方，后一瞬間就被光所照射，投影便消失了。若新出現(xiàn)的影子是在后一瞬間光被遮住的地方出現(xiàn)的，已經(jīng)不是前一瞬間的投影。因此，墨子說：“景不徙?！比绻矬w運(yùn)動(dòng)后原先的投影不消失，就會(huì)永遠(yuǎn)存在于那個(gè)地方，即“盡古息”，那是難以想象的。那么，為什么投影又似乎隨著物體而運(yùn)動(dòng)呢？這是因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)在時(shí)間和空間中表現(xiàn)是連續(xù)的，前后瞬間的投影也是隨之連續(xù)不斷地更新的，即“改為”，因此，看起來就仿佛影子隨著物體在運(yùn)動(dòng)。墨子關(guān)于“景不徙”的論述，反映了墨子觀察的敏銳，見解的準(zhǔn)確，理論的獨(dú)到。

《墨子》在論述了光源與投影物體之間的物理性質(zhì)之后，接著論述了光源、投影物體與物體的投影三者之間的關(guān)系。

《經(jīng)下》：“景二。說在重?！?/p>

《經(jīng)說下》：“景二，光夾。一，光一。光者，景也。”

此條所及，進(jìn)一步論述了光線與成影之間的關(guān)系，較上條更進(jìn)了一步。“一”，謂光線唯一，《經(jīng)說下》末句：“光者，景也”，此景字如“景不徙，說在改為”，解釋為光義。此條亦在論述光源、物體以及投影三者地位與關(guān)系，略具一斑，而對(duì)于認(rèn)識(shí)光為直線的觀念，亦可其端緒。

2.2 《經(jīng)》、《經(jīng)說》論述投影幾何的性質(zhì)

毋庸置疑，《墨子》所論投影幾何的基本概念與現(xiàn)代投影理論的思想方法是一致的。今天，人們?cè)谘芯课矬w的形狀、大小及相對(duì)位置等幾何性質(zhì)時(shí)，是用光線照射物體，在某個(gè)平面；如地面、墻壁等上得到的影子叫做物體的投影(projection)，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。有時(shí)光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影(parallel projection)，由同一點(diǎn)(點(diǎn)光源發(fā)出的光線)形成的投影叫做中心投影(center projection)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。投影線不垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做斜投影。物體投影的形狀、大小與其相對(duì)投影面的位置和角度有關(guān)。陰影理論是假定在光線的照射下，平面上有一部分因被物體阻擋，光線照射不到，則將這部分圖形，稱為物體落在平面上的影。影在輪廓線為影線，影是由于光線被物體向光的一面擋住而產(chǎn)生的，因此，面向光的一面與背向光的一面的分界線的影，就是影的輪廓線。無論是陰影，或是投影，都必須具備光源，及被投影的物體和投影所在的平面?！赌印氛撌鐾队拔矬w與投影光源——即投影中心的關(guān)系，以及投影空間位置、大小、及其實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，如《經(jīng)下》及《經(jīng)說下》所云。

《經(jīng)下》云：“景之小大，說在地缶遠(yuǎn)近?！?/p>

《經(jīng)說下》云：“景：木柂，景短、大；木正，景長(zhǎng)小。大小于木，則景大于木。非獨(dú)小也。遠(yuǎn)近?！?/p>

“木”即木表或標(biāo)木，用以作實(shí)驗(yàn)以成像的物體。孫詒讓(1848—1908年)《墨子閒詁》解釋：“地”當(dāng)為“柂”，柂即迤之假字?！皷薄罢蔽恼鄬?duì)?！稜栄拧め層?xùn)》，“迤邐，旁行也?！碑呫?1730—1797年)云：“木柂即木斜也”?！罢f在地缶遠(yuǎn)近”中的“缶”字，亦“正”字之誤?！赌印吩诖岁U述了光源與物體的位置關(guān)系，從而決定投影之大小的原理及其規(guī)律；即視點(diǎn)與物體的位置變化，確定被投影的物體在投影面上的形狀。

《經(jīng)下》云：“景之小大”，言投影之短長(zhǎng)。與《經(jīng)說下》中的“景短大”、“影長(zhǎng)小”之“短”“長(zhǎng)”兩字相應(yīng)。“光小于木”者，光之形體小于木也。景大于木者，即投影之形狀大于木也。最后的“小”字與“光小于木”之“小”字同義?！敖?jīng)說下”之“非獨(dú)小木”，景亦大于木?！斑h(yuǎn)近”為“木遠(yuǎn)，景短大；木近，景長(zhǎng)小”。木遠(yuǎn)，木近者，木遠(yuǎn)于或近于光的位置。遠(yuǎn)則小，近則大。木正者，在與地垂直平面中，木與光線成正交。木柂者，不同于木正之方向。

《墨子》中這條原理可用數(shù)學(xué)予以證明：設(shè)光源自定點(diǎn)方向，投射于地平面上，與地平線成夾角。木竿以為中心，在平面中轉(zhuǎn)動(dòng)，畫成一半圓形如12，木竿之投影，即在上長(zhǎng)短變化。設(shè)木竿與地平面所成之角為，則其在上的投影為。如圖11所示。

圖11 《墨子》投影理論的數(shù)學(xué)原理

∵D=D–D=–

D=D=–，即平行線間的內(nèi)錯(cuò)角相等。

三角形內(nèi)角和為p

∴D=p–D–D=p–(–)–=p–

∴代入式(1)，得

以上所述實(shí)驗(yàn)，與《墨子》中“柂，短；正長(zhǎng)”的論述，適相吻合。

有光源如，其形體小于木竿，如圖12所示，置投影面于其后，則得投影為ˊˊ恒較實(shí)物為大，故曰“光小于木，景大于木”。反之，若光源大于木竿，如圖13所示，則投影面上所得之投影ˊˊ亦大于木竿，雖其本影小于CD。若投影面愈向后移，則本影亦可大于。故曰“光大于木，景亦大于木”[8]。

圖12 《墨子》“光小于木，景大于木”示意圖

圖13 《墨子》“光大于木，景亦大于木”示意圖

在以上的論述中，不論小于或大于，投影面與光源間之距離若一定，則愈遠(yuǎn)于，投影ˊˊ愈短；故半影ˊˊ部分愈小，即影色愈深。反之，愈近于，則投影ˊˊ愈長(zhǎng)，而半影ˊˊ部分愈大，即影色愈淺。故曰：“木柂，影短大；木近，景長(zhǎng)小”。

《經(jīng)說下》云：“大小于木，則景大于木。非獨(dú)小也。遠(yuǎn)近”中的“遠(yuǎn)近”二字亦為省略句，該句意為：“遠(yuǎn)近亦同?！比魧⒃摼溲a(bǔ)充完整，當(dāng)為：“光木遠(yuǎn)，則景??；光木近，則景大?！币饧矗骸肮庠磁c標(biāo)木距離遠(yuǎn)，則所成之像?。还庠磁c標(biāo)木距離近，則所成之像大?！笨芍?，墨子的闡述，是建立在視點(diǎn)與投影物體、投影面相應(yīng)的比例關(guān)系之上，《墨子》論中心投影及其性質(zhì)，見表1[9]。

表1 《墨子》論中心投影及其性質(zhì)

由是觀之，墨子對(duì)投影幾何的論述，已涉及視點(diǎn)與物體的位置變化確定被物體在投影面上的形狀——這一原理及其規(guī)律?！督?jīng)下》與《經(jīng)說下》前部分，講標(biāo)木斜正與成像大小的關(guān)系；中間部分，講光源大小與成像大小的關(guān)系；后部分，講光源和物體——標(biāo)木距離的遠(yuǎn)近與成像大小的關(guān)系，前后內(nèi)容非常統(tǒng)一?！熬爸〈?，說在地缶遠(yuǎn)近”，基于平行投影，用平行光束來說明投影關(guān)系，太陽光為天然平行光束之光源，平行投影是在一束平行光線照射下形成的投影?！澳緰岸檀?；木正，景長(zhǎng)小?！敝v的是中心投影，有一光源和一個(gè)物體，光源是以分散的方式照射到物體上的投影，這就是中心投影的原理。

故本條《經(jīng)說下》之意為：標(biāo)木傾斜，則所成之投影短而濃寬；標(biāo)木正立，則所成之投影長(zhǎng)而淡窄。光源小于標(biāo)木，那么所成的投影就大于標(biāo)木本身；但是，光源不會(huì)獨(dú)獨(dú)小于標(biāo)木，如果光源大于標(biāo)木，那么所成的投影就小于標(biāo)木本身。光源與標(biāo)木距離遠(yuǎn)，則所成之投影小；光源與標(biāo)木距離近，則所成之投影大。

《墨子》中論及投影的生成，為光學(xué)諸條之首，且開宗明義，投影之定義，光源與投影的關(guān)系，淺顯明了，與現(xiàn)代投影理論中投影形成的三條件，正相吻合。盡管《墨子》中未及圖解法來解決空間幾何圖形的作圖問題，但其所囊括了投影幾何以及畫法最基本的概念，是《墨子》那個(gè)時(shí)代對(duì)投影理論認(rèn)識(shí)成果的反映。

3 《墨子》中有關(guān)制圖工具的記載

圖與圖樣是語言以外最重要的傳遞信息的方式，圖學(xué)作為工程技術(shù)的基礎(chǔ)語言，可投射人們的想象于真實(shí)世界，也就是說圖與圖樣可將工程師的想象，實(shí)現(xiàn)于真實(shí)世界里。而實(shí)現(xiàn)這一過程的關(guān)鍵就是制圖，而在制圖的過程中，常用的繪圖工具是保證繪圖準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)，也是衡量繪圖水平的重要方面。正確地使用繪圖工具是工程技術(shù)人員必須具備的基本技能，也是學(xué)習(xí)和鞏固制圖學(xué)理論知識(shí)的重要方法。在圖學(xué)發(fā)展的歷史上，無論東方還是西方，都是如此。

《墨子》中有關(guān)古代繪圖工具的“規(guī)”與“矩”，記載詳實(shí)，出現(xiàn)頻率較高，這在先秦文獻(xiàn)中，是不多見的。雖《墨子》的文字，人稱難讀，但論及其“規(guī)”與“矩”，條理嚴(yán)密，邏輯性強(qiáng)；其書中，“規(guī)”字共十一見，“矩”字共十見：俱出現(xiàn)于“法儀”、“天志”、“經(jīng)說”諸篇之中。其云：

《墨子·法儀》第四，子墨子曰：“天下從事者不可以無法儀，無法儀而其事能成者無有也。雖至士之為將相者，皆有法，雖至百工從事者，亦皆有法，百工為方以矩，為圓以規(guī)，直以繩，正以縣?！?/p>

《墨子·天志上》第二十六，子墨子言曰：“我有天志，譬若輪人之有規(guī)，匠人之有矩，輪匠執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圜，曰：‘中者是也，不中者非也?！裉煜轮烤又畷豢蓜佥d，言語不可盡計(jì)，上說諸侯，下說列士，其于仁義則大相遠(yuǎn)也?！?/p>

《墨子·天志中》第二十七：“是故子墨子之有天之，辟人無以異乎輪人之有規(guī)，匠人之有矩也。今夫輪人操其規(guī)，將以量度天下之圜與不圜也，曰：‘中吾規(guī)者，謂之圜；不中吾規(guī)者，謂之不圜。’是故圜與不圜，皆可得而知也。此其故何？則圜法明也。匠人亦操其矩，將以量度天下之方與不方也，曰：‘中吾矩者，謂之方；不中吾矩者，謂之不方?！且苑脚c不方，皆可得而知之。此其故何？則方法明也?！?/p>

《墨子·天志中》第二十八：“故子墨子置立天之以為儀法，若輪人之有規(guī)，匠人之有矩也。今輪人以規(guī)，匠人以矩，以此知方圜之別矣。是故子墨子置立天之，以為儀法?！?/p>

《墨子·經(jīng)說上》第四十二：“圜：規(guī)寫支也?！?/p>

《墨子·經(jīng)說上》第四十二：“法：意、規(guī)、員三也，俱可以為法?！?/p>

《墨子·經(jīng)說上》第四十二：“方：矩見支也。”

由茲可知，《墨子》所載“規(guī)”、“矩”，其意有二：其一、作為繪圖的工具“規(guī)”。其二、“矩”與作為規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)的“規(guī)”與“矩”。

3.1 作為繪圖的工具“規(guī)”與“矩”

作為繪圖工具的“規(guī)”與“矩”，在先秦時(shí)期已經(jīng)是人所周知的制圖工具，墨子所云“中吾規(guī)者，謂之圜；不中吾規(guī)者，謂之不圜”，“為方以矩，為圓以規(guī)，直以繩，正以縣”，反映了當(dāng)時(shí)使用繪圖工具的事實(shí)。

在幾何里，被限定用直尺和圓規(guī)畫圖，稱為尺規(guī)作圖，最基本、最常用的尺規(guī)作圖，稱基本作圖。由于只用幾種基本尺規(guī)作圖的方法就可完成一大類圖形的制作，也就是說以形為核心，綜合地、巧妙地融合幾何、數(shù)學(xué)進(jìn)行平面幾何作圖的問題，故最能將各學(xué)科的長(zhǎng)處融合在一起，尺規(guī)作圖的畫法本質(zhì)上是一種“形計(jì)算”。因此，尺規(guī)作圖能夠反映一個(gè)時(shí)代幾何發(fā)展水平。

《墨子》同時(shí)代的曾侯乙墓中出土文物的幾何作圖，足以代表墨子同時(shí)代尺規(guī)作圖的高度成就；曾侯乙器物中的尺規(guī)作圖，不僅有嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖，而且還有大量的非標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖，如五等分圓周的近似幾何作圖，其繪制之精，畫法之嚴(yán)，線條之準(zhǔn)；即使二千五百年以后觀之，仍令人嘆為觀止！這是比曾侯乙晚一百多年的古希臘尺規(guī)作圖遠(yuǎn)遠(yuǎn)所不能企及的?？v覽古今，對(duì)比中西，至今都沒有看到古希臘時(shí)期有象曾侯乙墓那樣的近似幾何作圖與非標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖。

3.2 作為規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)的“規(guī)”與“矩”

作為規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)的“規(guī)”與“矩”。如《天志》諸篇之中，《墨子》不僅詳細(xì)地論述了古代作圖工具——“規(guī)”與“矩”，以及用“規(guī)”與“矩”測(cè)圓與不圓、方與不方的事實(shí)。而且以規(guī)矩之用，比喻標(biāo)準(zhǔn)法度，以喻“為政之道”、“為事之法”、“為人之儀”；這在西方的科技文獻(xiàn)中是不多見的。

即令是科學(xué)技術(shù)日益發(fā)達(dá)的今天，任何研究項(xiàng)目、施工工程，也是沒有規(guī)矩，不成方圓的?！赌印吩趶?qiáng)調(diào)規(guī)矩所云：“天下從事者不可以無法儀，無法儀而其事能成者無有也”，如同今日強(qiáng)化圖繪標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)的重要性一樣。圖和圖樣作為科學(xué)、工程、藝術(shù)等的交流語言，一種傳遞構(gòu)想與交換知識(shí)的工具，需要遵循一定的規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)。圖形標(biāo)準(zhǔn)化支持人類創(chuàng)意的交流，其出自學(xué)科創(chuàng)新，又不斷地促進(jìn)學(xué)科創(chuàng)新，也作為圖學(xué)的成果及共享展現(xiàn)，因此，“其于仁義則大相遠(yuǎn)也?！边@也是為什么《墨子》成為古代繪圖技術(shù)重要文獻(xiàn)之一的原因所在。

4 結(jié)束語

(1)《墨子》中圖學(xué)的內(nèi)容，表現(xiàn)了中國(guó)古代科學(xué)技術(shù)重視幾何學(xué)、圖學(xué)的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)，《墨子》在圖學(xué)方面的實(shí)踐及其對(duì)圖學(xué)理論研究的嘗試，反映了中國(guó)人的科學(xué)探索精神。今天，即令是計(jì)算機(jī)的介入，圖與圖樣作為工程技術(shù)語言的地位，并沒有改變，乃至制圖、讀圖、圖紙的信息共享等的理論、方法與技術(shù)，現(xiàn)在仍需要圖學(xué)去承擔(dān)。因此，《墨子》在圖學(xué)方面表現(xiàn)出的智慧與成就，仍然值得今人借鑒。梁?jiǎn)⒊琜10](1873—1929年)在《墨經(jīng)校釋·自序》中稱：“在吾國(guó)古籍中，欲求與今世所謂科學(xué)精神相懸契者，《墨經(jīng)》而已矣，《墨經(jīng)》而已矣”；絕非虛言。

(2) 從《墨子》的圖學(xué)實(shí)踐以及圖學(xué)理論可以看出：墨子及其學(xué)派研究幾何學(xué)的概念，并不是打算用演繹推理的辦法去證明任何幾何定理，而是探討投影幾何與測(cè)量有關(guān)的事實(shí)；這種思想方法一直影響著中國(guó)的文化與科技的發(fā)展。然而，中國(guó)古代的圖學(xué)及其繪制技術(shù)；沒有《墨子》所代表的古代圖學(xué)家們對(duì)幾何學(xué)、投影幾何學(xué)的認(rèn)識(shí)及其理論的積淀，要取得這些圖學(xué)成果，同樣也是不可能的。

(3) 學(xué)術(shù)研究追求學(xué)術(shù)的發(fā)展與超越。對(duì)《墨子》圖學(xué)的考察，可以重新認(rèn)識(shí)與定位圖學(xué)的歷史地位及其作用?！赌印纷鳛橄惹貢r(shí)期墨家學(xué)派的一部著作匯集，不僅有相當(dāng)一部分論述自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的內(nèi)容，譬之力學(xué)、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)、光學(xué)、測(cè)量學(xué)等方面，這些專業(yè)理論知識(shí)，“自相挹注”，都有具體的論述和科學(xué)的總結(jié)?！赌印芬粫校P(guān)于圖學(xué)及其基本理論的內(nèi)容，其文字雖簡(jiǎn)賅，其詞語古雖奧，但《墨子》中記載的這些文字，畢竟是對(duì)古代圖學(xué)實(shí)踐的理論探索，實(shí)是先秦文獻(xiàn)中所沒有的，同時(shí)，也是同時(shí)期西方科技文獻(xiàn)中沒有的。這也使《墨子》成為中國(guó)文化典籍中第一部科學(xué)史、第一部技術(shù)思想史、乃至第一部圖學(xué)史的著作而當(dāng)之無愧。

[1] 湖北省博物館, 北京工藝美術(shù)研究所. 戰(zhàn)國(guó)曾侯乙墓出土文物圖案選[M]. 武漢: 長(zhǎng)江文藝出版社, 1984: 15-59, 87-89.

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[10] 梁?jiǎn)⒊? 墨經(jīng)校釋[M]. 北京: 商務(wù)印書館, 1922: 1-3.

The Achievements and Scientific Value of Mo-Tse in the Theory of Graphics and Geometry

LIU Keming

(School of Humanities, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan Hubei 430074, China)

“Mo-tse” is the first systematic exposition of the theory of knowledge and science and technology in the history of science and technology in ancient China. “Mo-tse” records show that: drawings, drawings and words and figures play an irreplaceable role on the human social progress and the development of science and technology. However, it is still a subject that needs to be deeply and systematically to discuss “Mo-tse”, especially for the definition and status of the graph and descriptive geometry theory. Through the investigation of “Mo-tse” about basic concept and theories on graphics, this article summarized graphics mapping in practice and theories, and reflect the scientific exploration spirit.

drawing; graph theory; Mo-tse

O 110.11

10.11996/JG.j.2095-302X.2018010148

A

2095-302X(2018)01-0148-11

2017-04-19；

2017-07-10

華中科技大學(xué)文科專項(xiàng)基金項(xiàng)目

劉克明(1950–)，男，湖北武漢人，工學(xué)博士。主要研究方向?yàn)橹袊?guó)科技史、中國(guó)圖學(xué)史。E-mail：liukeming@ hust.edu.cn