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        《墨子》的幾何學(xué)與圖學(xué)成就及其科學(xué)價(jià)值

        2018-02-09 01:57:04劉克明
        圖學(xué)學(xué)報(bào) 2018年1期
        關(guān)鍵詞:圖學(xué)作圖墨子

        劉克明

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        《墨子》的幾何學(xué)與圖學(xué)成就及其科學(xué)價(jià)值

        劉克明

        (華中科技大學(xué)人文學(xué)院,湖北 武漢 430074)

        《墨子》是我國(guó)古代最早論述圖學(xué)知識(shí)、圖學(xué)思想的科技史著作。《墨子》一書中的論述與記載表明:圖形、圖樣與文字、數(shù)字一樣,在人類的社會(huì)進(jìn)步和科技發(fā)展過程中起著不可替代的作用。對(duì)《墨子》的研究,特別是對(duì)其圖學(xué)基本概念與基本理論的探討及其歷史地位;仍是一個(gè)有待深入和系統(tǒng)闡明的課題。本文通過考察《墨子》對(duì)有關(guān)圖學(xué)理論研究的嘗試,探討中國(guó)古代科學(xué)技術(shù)中的圖學(xué)實(shí)踐與圖學(xué)知識(shí)的成果,以及這些圖學(xué)成果所體現(xiàn)的中國(guó)圖學(xué)傳統(tǒng)與科學(xué)探索精神。

        圖樣;圖學(xué);墨子

        《墨子》一書是墨子(約公元前476年—前390年)及其弟子的代表作?!赌印芬粫?,“圖”字僅出現(xiàn)兩次,“圖”在書中的意思,并無圖學(xué)的意義?!赌印分械摹皥D”字,一是作為動(dòng)詞之用;二是作為名詞之用,如“綠圖”之圖。

        《墨子》中的“圖”字,盡管沒有今天所稱之為的“圖學(xué)”或“圖樣”的涵義,但《墨子》一書,記載了當(dāng)時(shí)人們對(duì)圖學(xué)知識(shí)及其理論研究的嘗試,涉及幾何學(xué)與圖學(xué)的基本內(nèi)容,較之先秦文獻(xiàn),確實(shí)最為詳實(shí)?!赌印钒▓D學(xué)的基本概念有:點(diǎn)、線、面、體的定義及相互邏輯關(guān)系,圖形空間的比較方法,有窮與無窮的問題,方、圓、直線等幾何性質(zhì)等等。墨子及其弟子,多為工程技術(shù)工作者,所以《墨子》中的圖學(xué)知識(shí)、對(duì)圖學(xué)理論研究的探討,多側(cè)重于工程技術(shù)所急需的幾何學(xué)知識(shí)與圖學(xué)問題。《墨子》中有關(guān)圖學(xué)的內(nèi)容與論述,極大地豐富了中國(guó)古代人們對(duì)圖形的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),以及先秦時(shí)期中國(guó)人對(duì)圖學(xué)知識(shí)與理論的看法。

        1 墨子時(shí)代的幾何作圖及《墨子》對(duì)幾何基本概念的論述

        《墨子》一書所討論的圖學(xué)、幾何學(xué)基本概念及其定義、對(duì)投影的認(rèn)識(shí),是中國(guó)先秦?cái)?shù)學(xué)理論及其圖學(xué)理論研究最為精彩的論述。

        1.1 墨子時(shí)代的幾何作圖

        在科學(xué)技術(shù)的各門學(xué)科之中,圖學(xué)是一門應(yīng)用十分廣泛的橫斷學(xué)科,其以圖形系統(tǒng)來研究和認(rèn)識(shí)客觀世界,從構(gòu)成圖的要素來看,圖形或圖樣是由點(diǎn)、線、面、體等幾何要素所構(gòu)成,這些幾何要素的不同變化和組合構(gòu)成了不同的圖形。幾何作圖最能代表人們對(duì)幾何學(xué)的認(rèn)識(shí)。這是因?yàn)樵诠こ碳夹g(shù)中,常常會(huì)遇到大量由點(diǎn)、線、面、體組合的圖形。因此,幾何作圖的基本方法及其技術(shù)水平,不僅能提高工程制圖的速度和準(zhǔn)確性,也能反映每一時(shí)代工程制圖技術(shù)的發(fā)展程度;同時(shí),按照已知條件,作出所需要的幾何圖形,是圖學(xué)技術(shù)、圖樣繪制必不可少的組成部分,也是表現(xiàn)制圖者幾何觀點(diǎn)和作圖技能的重要手段,反映了圖樣繪制者的邏輯思維能力。

        “幾何作圖”需要考慮點(diǎn)、線、面、體等幾何要素。中國(guó)古代工程制圖師們?cè)陂L(zhǎng)期的幾何作圖中,總結(jié)了很多簡(jiǎn)便的作圖方法。墨子時(shí)代的圖學(xué)成就,以幾何作圖為例,可見之于1978年夏重出人世的隨州戰(zhàn)國(guó)曾侯乙墓的文物與1986年發(fā)掘的包山楚墓文物,這兩大古墓都是蘊(yùn)藏先秦文物的寶庫,反映了中國(guó)古代圖學(xué)和幾何作圖及其繪圖技術(shù)的成就,反映了當(dāng)時(shí)人們對(duì)形體的認(rèn)識(shí)與圖繪的技術(shù)水平。

        在曾侯乙墓和包山楚墓出土文物中,無論是青銅器、漆器,每件文物上面,都繪有各種變化的幾何形圖案,其集工程幾何作圖之大成;如等分線段、平行線、對(duì)角線、菱線、切線、矩形、圓、同心圓、橢圓、圓弧連接,等分圓周;包括4、5、6、7、8、12、16、20等分圓周,表現(xiàn)了極其熟練和準(zhǔn)確的幾何作圖能力;同時(shí)這些幾何圖案加上鳥獸紋、龍鳳紋等裝飾紋樣的機(jī)械重復(fù),使造型更具有幾何線條與藝術(shù)繪畫理智統(tǒng)一的、明快的感覺。漆器的幾何圖案由點(diǎn)、線、面構(gòu)成,由圓點(diǎn)紋、菱形紋、三角形紋、網(wǎng)紋、圓圈紋、圓渦紋等組成。其出現(xiàn)于西元前5世紀(jì)的戰(zhàn)國(guó)之際,確實(shí)令人嘆為觀止。

        先秦時(shí)期在幾何作圖方面的實(shí)踐,反映了當(dāng)時(shí)的制圖能力,也是制圖技術(shù)發(fā)達(dá)的標(biāo)志。以曾侯乙墓和包山楚墓出土文物為代表,幾乎涵括了幾何作圖技術(shù)的各個(gè)方面,既有尺規(guī)作圖,即標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖,又有近似幾何作圖,即非標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖。尺規(guī)作圖是用工具;即用規(guī)與矩來完成作圖,這種作圖是無誤差及精確的。標(biāo)準(zhǔn)幾何或正規(guī)作圖均屬于尺規(guī)作圖的范籌。近似幾何作圖是指實(shí)際應(yīng)用較多的圖形,如繪制五等分圓周、七等分圓周等幾何圖形時(shí),用尺規(guī)作圖是無法實(shí)現(xiàn)的;因此,人們往往采取一種基本上近似的作圖方法,故稱近似幾何作圖。數(shù)學(xué)上,這種幾何畫法是不能用公理、定理等來證明的,而這些幾何作圖恰恰是曾侯乙墓與包山楚墓出土文物中圖形、圖案造型中的重要內(nèi)容,如圖1~4所示。曾侯乙?guī)着c墨子同時(shí)代,為公元前5世紀(jì)中期;包山楚墓則在墨子之后[1-3]。

        圖1 曾侯乙墓出土文物中的幾何作圖

        圖2 曾侯乙墓出土文物中的近似幾何作圖

        圖3 包山楚墓出土文物中的幾何作圖

        圖4 包山楚墓出土文物中的幾何作圖

        1.2 《墨子》對(duì)幾何基本概念的論述

        圖形的來源是形,“形是由點(diǎn)、線、面、體等幾何要素構(gòu)成的”。從圖學(xué)自身發(fā)展的歷史來考察,人們對(duì)圖形與圖樣基本概念的定義,也是不斷在發(fā)生變化的,并隨著人類文明的進(jìn)步而逐步完善。今天,人們談?wù)摰膱D形與圖樣,大多是指能用數(shù)學(xué)方法描述的圖形,其構(gòu)成了科學(xué)與工程技術(shù)的基礎(chǔ);圖學(xué)的核心是幾何,圖學(xué)與幾何學(xué)是同步發(fā)展的科學(xué),圖學(xué)的歷史也是幾何的歷史,早期的畫法幾何也是幾何的一部分。因此,對(duì)圖學(xué)基本概念;譬之點(diǎn)、線、面、體的定義,往往反映了人們對(duì)圖學(xué)的基本及其認(rèn)識(shí)水平。

        《墨子》中關(guān)于圖學(xué),特別是幾何學(xué)概念及定義,見之于《經(jīng)上》、《經(jīng)下》、《經(jīng)說上》、《經(jīng)說下》4篇,凡十九條。《經(jīng)》所載為定義,《經(jīng)說》則為對(duì)《經(jīng)》中各條的解釋和說明。

        1.2.1 《墨子》關(guān)于點(diǎn)的定義

        《墨子》將點(diǎn)稱“端”,其具有數(shù)學(xué)上幾何學(xué)“點(diǎn)”的涵義,并具有由點(diǎn)組成線,由線組成面,由面組成體的幾何學(xué)思想。

        《經(jīng)上》:“端,體之無序而最前者也?!?/p>

        《經(jīng)說上》:“體也,若有端?!薄岸耸菬o同也?!?/p>

        “端”字在《墨子》、《經(jīng)》與《經(jīng)說》中,出現(xiàn)了15次,主要是指幾何學(xué)上的點(diǎn)而言,是《墨子》有關(guān)幾何學(xué)的基本概念之一。“端”的字義意,其一、相當(dāng)于幾何學(xué)中的“點(diǎn)”。其二、為物體的最前端,或直線線段的兩極端。這兩個(gè)字義雖有不同,但互相聯(lián)系?!靶颉睘椤绊樞颉?、“秩序”之義,一個(gè)物體與另一個(gè)物體依次排列,謂之“有序”?,F(xiàn)在“端”是物體最前的一點(diǎn),不可能有更之前的點(diǎn),因而“端”是“最前”,不可能次于另一點(diǎn)之后。故《經(jīng)》言:“端,體之無序而最前者也”。既然是端,其本質(zhì)就是“點(diǎn)”,根據(jù)幾何學(xué)的定義:點(diǎn)是沒有大小,沒有厚薄的。因此不可能有兩個(gè)點(diǎn)處在完全相同的位置,否則其就不是“無序而最前”,就不能成其為“端”?!督?jīng)說上》言“端是無同也?!薄赌印穼?duì)“端”的分析和論證,由簡(jiǎn)至繁,其數(shù)學(xué)概念,甚為嚴(yán)密。

        1.2.2 《墨子》關(guān)于線的定義

        《墨子》多次討論直線的性質(zhì)和直線與其他幾何圖形的關(guān)系。《墨子·法儀》云:“百工為方以矩,為圓以規(guī),直以繩,衡以水,正以懸?!薄爸币岳K”是工程技術(shù)中取直的重要方法。治木求直,以拉緊直線作為標(biāo)準(zhǔn),是古代工匠在工程制造中所取得的關(guān)于直線性質(zhì)的認(rèn)識(shí),這種認(rèn)識(shí)對(duì)直線的感性經(jīng)驗(yàn)已在逐步地上升到理論形態(tài)。

        “直以繩”幾乎接近于幾何學(xué)對(duì)直線性質(zhì)的論述,即經(jīng)過兩點(diǎn)有并且只有一條直線;簡(jiǎn)單地說兩個(gè)點(diǎn)決定一條直線,在“直以繩”的基礎(chǔ)上,《墨子》還提出了直線性質(zhì)的另一條規(guī)律,即《經(jīng)上》:“直,參也?!?/p>

        參:《廣雅·釋言》:參,三也,所謂“參”是數(shù)量上的“三”,為數(shù)詞。《左傳·隱公元年》:“先王之制,大都不過三國(guó)之一?!倍蓬A(yù)注:“三分國(guó)城之一?!眳⑶矣辛_列,并立之意?!逗鬂h書·張衡傳》:“參輪可使自轉(zhuǎn),木雕,猶參獨(dú)飛?!薄墩撜Z·衛(wèi)靈公》:“立,則見其參于前也。在輿則見其倚于衡也?!奔囱匀水?dāng)前正立車上。幾何學(xué)中直線的定義是線段向兩方無限延伸而形成,一條直線上有無限多個(gè)點(diǎn)。

        《墨子》用“直,參也”這一簡(jiǎn)短的關(guān)于直線的定義式的命題,對(duì)直線的認(rèn)識(shí)是頗有見地的。意同歐幾里得(前330年—前275年)所謂“某點(diǎn)介于另兩點(diǎn)之間”,確切地說:“同在一直線上的三點(diǎn),有一點(diǎn)恰好介于其余兩點(diǎn)之間。”“直,參也?!币簿褪钦f,中正不曲叫直線,“參”是中正不曲的意思。也可以說,三點(diǎn)共線:即為直線,漢代以后“弩機(jī)”上的瞄準(zhǔn)器“望山”就是據(jù)此發(fā)明的。

        同時(shí)《墨子》中用“參”“直”互訓(xùn)?!督?jīng)下》:“參,直之也?!?/p>

        《說文》:直,正見也。清代段玉裁《說文解字注》:《左傳》曰,正直為正,正曲為直,其引申之義也。見之審則必能矯其枉,故曰正曲為直,直為會(huì)意之字。

        1.2.3 《墨子》關(guān)于平行線的定義

        《經(jīng)上》:“平,同高也。”

        《經(jīng)說上》:“必,謂臺(tái)執(zhí)者也:若弟兄。一然者,一不然者,必不必也。是非必也?!?/p>

        “平”,《詩經(jīng)·小雅·伐木》鄭箋云:“平,齊等也?!?,《廣韻》:“平,正也?!薄芭_(tái)執(zhí)者”,“猶言二人抬物而各以雙手執(zhí)持也。二人抬物其高必等?!惫式?jīng)說當(dāng)解釋為:“‘平’,所講的就像弟兄二人共同抬持物體一樣,故其高必然相等?!?/p>

        這里平的定義作為幾何學(xué)而論,即指平行線。“同高”是指兩條線平行,則兩線之最短的距離,即垂線——高相等?!赌?jīng)》關(guān)于平行線的認(rèn)識(shí),如圖5所示。高度1與2相等,那么直線平行于直線。

        圖5 《墨子》“平,同高也”示意圖

        1.2.4 《墨子》關(guān)于等長(zhǎng)線段的定義

        《經(jīng)上》:“同長(zhǎng),以缶相盡也?!?/p>

        《經(jīng)說上》:“同,楗輿狂之同長(zhǎng)也?!?/p>

        《墨子》中的“缶”字,即“正”字,這是對(duì)兩線段相等的定義,“缶相盡”即“正相盡”,是說兩線段正好重合的意思。

        1.2.5 《墨子》關(guān)于面的定義

        《經(jīng)上》:“有間,中也。”

        《經(jīng)說上》:“有間,謂夾之者也。”

        《經(jīng)上》:“間,不及旁也?!?/p>

        《經(jīng)說上》:“間,謂夾者也。尺,前于區(qū)穴,而后于端,不夾于端與區(qū)內(nèi)?!?/p>

        “間”者,即今“間”字。間者,所間也。有間者,能間也。惟點(diǎn)無間,線、面、體皆有間,凡形之可分析者皆有間?!皡^(qū)”者,如幾何學(xué)所稱之面,有長(zhǎng)有寬,成一界域,故謂之區(qū)。先有點(diǎn)而后有線,先有線而后有面,故曰:“尺前于區(qū)而后于端”。尺既在端前區(qū)后,則似尺在端與區(qū)之間;而其實(shí)不然,蓋“間”之義并非如此?!督?jīng)說》又舉“尺不夾于端與區(qū)間”作為反證。

        1.2.6 《墨子》關(guān)于圓的定義

        《墨子》中,寫圓為圜?!吨芏Y·冬官考工記》:“輿人為車,圜者中規(guī),方者中矩。”“規(guī)之以視其圜也?!薄稘h書·梅福傳》:“昔高祖納善若不及,從諫若轉(zhuǎn)圜?!弊ⅲ骸芭c圓同?!倍斡癫谩墩f文解字注》:“依許則言天當(dāng)作圜。言平?當(dāng)作?。言渾圓當(dāng)作圓?!?/p>

        《經(jīng)上》:“圜,一中同長(zhǎng)也?!?/p>

        《經(jīng)說上》:“圜,規(guī)寫攴也?!?/p>

        《經(jīng)上》:“中,同長(zhǎng)也。”

        《經(jīng)說上》:“心中,自是往相若也?!?/p>

        以上是關(guān)于圓的定義及其性質(zhì)的研究,“一中”,是指圓有一個(gè)圓心,“一中同長(zhǎng)”是說到一個(gè)中心有相等距離的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形。

        根據(jù)幾何對(duì)圓的定義,即平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合,定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的半徑,設(shè)為一圓,為圓心,則,,,各線俱等,故《墨子》以“心”為喻,“自是往者”自中心而往。故自圓心至圓之半徑必相等,故曰“相若”。

        “圓,一中同長(zhǎng)”即討論圓的幾何性質(zhì),由圓的定義,可知圓的幾何性質(zhì),即圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于定長(zhǎng)半徑。到圓心的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上。故曰“一中同長(zhǎng)。”如圖為圓。為圓心,過作,兩線,其中必與同長(zhǎng)?!队衿罚骸耙?guī),正圓之器也。”“規(guī)寫交攴”即今幾何學(xué)所稱之為作圖,如圖6~7所示。

        圖6 《墨子》“圜,一中同長(zhǎng)也”示意圖

        圖7 《墨子》“圜,規(guī)寫攴也”示意圖

        墨子及弟子從事技術(shù)工作,精通手工技藝,可與當(dāng)時(shí)的巧匠魯班相比;他們從生產(chǎn)實(shí)踐以及傳聞和親聞中,得到了“為圓以規(guī)”的經(jīng)驗(yàn)知識(shí),并“循所聞而得其義”,抽象出了“圓,一中同長(zhǎng)也”的認(rèn)識(shí),并以此為法則,“量度天下之圓與不圓”,“曰中吾規(guī)者謂之圓,不中吾規(guī)者謂之不圓。是以圓與不圓,皆可得而知也”。由是觀之,墨子關(guān)于圓的認(rèn)識(shí),就較前人的認(rèn)識(shí)前進(jìn)了一大步。

        1.2.7 《墨子》關(guān)于矩形的定義

        《經(jīng)上》:“方,柱隅四讙也?!?/p>

        《經(jīng)說上》:“方,矩見攴也。”

        這里關(guān)于正方形和矩形的定義。柱隅之柱,即方之邊,隅為方之角。四讙即四權(quán),方之四柱皆正邊。四隅皆為直角。如圖,,,四柱,皆為正邊,∠,∠,∠,∠為四隅,皆為直角,故云:“柱隅四讙也。”《墨子》“天志”中亦有:“中吾矩者謂之方,不中吾矩謂之不方,是以方與不方,皆可得而知之。”

        唐人楊倞《荀子·不茍》注:“矩,正方之器也。”寫有畫意。以矩畫方,其四邊相接且互相垂直。《周髀算經(jīng)》卷上“圓出于方,方出于矩,”漢趙爽(約182—250年)注述:圓規(guī)之?dāng)?shù),理之以方,方;周匝也。方正之物,出之以矩;矩,廣長(zhǎng)也。”如正方形,其中、二線相交于。,二線相交于。推之兩點(diǎn),同樣以兩線相交,故云:“矩寫攴也”?!赌印分嘘P(guān)于矩形的定義,如圖8所示。

        圖8 《墨子》“方,柱隅四讙也”示意圖

        1.2.8 《墨子》關(guān)于體的定義

        《經(jīng)上》:“厚,有所大也。”

        《經(jīng)說上》:“厚,惟無所大。”

        《說文》:“厚,山陵之厚也。垕:古文厚,從后土。”按后土即謂大地。大地山陵,形成立體,故此厚系指立體形。

        設(shè)與為二平面形,連結(jié)與二平面,使成一正方立體形,而任一邊可以擴(kuò)大為此正方立體形之厚,故與《經(jīng)上》所云:“有所大”,蓋所謂厚者即為所積之體故也。《墨子》中關(guān)于體的定義,如圖9所示。

        圖9 《墨子》“厚,有所大”示意圖

        關(guān)于體的定義及其性質(zhì),《墨子》亦有所論述。

        《經(jīng)上》:“體,分于兼也。”

        《經(jīng)說上》:“體,若二之一,尺之端也?!?/p>

        《墨子》以端為譬,詳釋“體”義。說明“體”和“兼”的區(qū)別及其關(guān)系,也就是給“體”作了定義?!吧w并眾體則為兼,分之則為體。”“體”為個(gè)體,就是部分。“兼”是部分之合?!绑w”和“兼”的關(guān)系就是部分和整體的關(guān)系。所以《經(jīng)上》言:“體,分于兼也。”《經(jīng)說上》舉例,以明經(jīng)意?!绑w,若二之一,尺之端也。”尺,即幾何學(xué)所謂的線,“尺之端”者,線之點(diǎn)也,“若二之一”中的“二”是兩個(gè)“一”合并,“線”是許多“點(diǎn)”集合,也是“兼”與“體”的關(guān)系的例證?!赌印分徽f“體分于兼”不說體分于全,頗具特色。“一”是“二”的部分,但“二”并不是全體?!包c(diǎn)”是“線”的部分,但不能說“線”就是全體。空間和時(shí)間是無限的,所謂“全體”,只可能有相對(duì)的意義[4-5]。

        《墨子》中有關(guān)幾何等概念的命題與定義,稱點(diǎn)為端,稱線為尺,稱面為區(qū),界內(nèi)部分為間,形體的界為有間等是,墨子用端、尺、區(qū)的概念,即從點(diǎn)、線、面、體的角度來理解空間物體存在的形狀。蘊(yùn)涵了圖形問題幾何化,復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的思想!這與今天的工程圖學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)圖像學(xué)等學(xué)科在理解“圖形學(xué)與可視化”、“視覺與圖像”、“幾何設(shè)計(jì)與計(jì)算”所作的表述方法,是完全一致的?!赌印窂摹靶巍钡膸缀螌W(xué)的角度揭示圖的本質(zhì),給出了“形”與“圖”的科學(xué)表述。

        2 《墨子》對(duì)投影理論的論述

        確實(shí),《墨子》中《經(jīng)上》、《經(jīng)說上》、《經(jīng)下》、《經(jīng)說下》所論幾何學(xué)的概念,并不是打算用演繹推理的辦法去證明任何幾何定理,而是探討投影幾何與測(cè)量有關(guān)的事實(shí);這在墨子的圖學(xué)思想與理論中表現(xiàn)得十分明顯。這是因?yàn)樵谌祟愇拿鳉v史的進(jìn)程中,圖學(xué)一直是人們認(rèn)識(shí)自然,表達(dá)、交流思想的主要形式與工具。從象形文字的產(chǎn)生到現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,人類的活動(dòng)始終與圖學(xué)有著密切的聯(lián)系[6]。圖學(xué)的重要性可以說是其他任何表達(dá)方式所不能替代的。而圖學(xué)要解決的問題包括圖示法和圖解法兩部分內(nèi)容。圖示法主要研究用投影法將空間幾何元素——點(diǎn)、線、面的相對(duì)位置及幾何形體的形狀表示在圖紙平面上,同時(shí)必須可以根據(jù)平面上的圖形完整無誤地推斷出空間表達(dá)對(duì)象的原形。即是要在二維平面圖形與空間三維形體之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

        投影法的基本概念;一是要有光線,二是要有被投影的物體,三是要有投影所在的平面。此三者就構(gòu)成投影的基本條件。當(dāng)人們將物體放在光源和預(yù)設(shè)的平面之間時(shí),在該平面上便呈現(xiàn)出物體的影像。如果將這種自然現(xiàn)象加以幾何抽象,就可得到投影方法。

        現(xiàn)代圖學(xué)理論的投影原理示意圖,如圖10所示,設(shè)定平面為投影面,不屬于投影面的定點(diǎn)。(如光源)為投射中心,投射線均由投射中心發(fā)出。通過空間點(diǎn)的投射線與投影面相交于點(diǎn),則稱為空間點(diǎn)在投影面上的投影。

        這種按幾何法則將空間物體表示在平面上的方法稱為投影法。投影法是圖學(xué)的基本理論[7]。

        《墨子》論投影的理論,見之于“經(jīng)”、“經(jīng)說”所論光學(xué)部分。共有八條,總字?jǐn)?shù)343字,《墨子》論及圖學(xué)部分,共計(jì)二十余條。光學(xué)八條者。首條論述陰影的定義與生成,其次解釋光與影的關(guān)系,而嘗試論述光有直線運(yùn)動(dòng)之性質(zhì)。第三條則論述光具有直線運(yùn)動(dòng)之性質(zhì)。

        圖10 現(xiàn)代圖學(xué)理論中投影原理的基本概念示意圖

        2.1 對(duì)投影幾何基本概念的認(rèn)識(shí)

        投影幾何是現(xiàn)代圖學(xué)最為重要的基礎(chǔ),投影幾何的方法就是將三維空間的幾何圖形畫在二維的平面上、解決空間幾何問題,是制圖技術(shù)的出發(fā)點(diǎn),《墨子》中對(duì)投影幾何的認(rèn)識(shí),見《經(jīng)下》及其《經(jīng)說下》:

        《經(jīng)下》:“景不徙,說在改為。”

        《經(jīng)說下》:“景,光至,景亡。若在,盡古息?!?/p>

        《墨子》在此論述了運(yùn)動(dòng)中的物體與其投影的物理性質(zhì)?!熬啊弊衷凇赌印分谐霈F(xiàn)三十六次,除“景公”是人名,出現(xiàn)四次外,其他都與論及的圖學(xué)、光學(xué)諸條相關(guān),并屢屢出現(xiàn)于《經(jīng)下》、《經(jīng)說下》之中?!赌印分小熬啊绷x有三。

        其一:解釋為光。如《說文解字》:“日光也”,如同投影幾何中的投影中心。

        其二:即物體蔽住光線所成之陰影?!夺屛摹?,景本或作影。如《經(jīng)典釋文》“爾雅音義”:“景,境也。明所照處有境限也”。物之陰影?!墩f文解字》:“名光中之陰曰:影?!本埃瑸楣庞白?。已見高誘淮南子註,宋郭忠恕《佩觿卷上》:“形景”,“爲(wèi)影”,“本乎稚川”。

        其三:為光由反射面所反射而成之圖形、圖像。段玉裁《說文解字注》:“左傳曰。光者遠(yuǎn)而自他有燿者也。日月皆外光。而光所在處物皆有陰。光如鏡故謂之景?!?/p>

        此三者已闡明投影理論的三大要素,①光,即投影中心;②投影物體;③投影,物體的投影。墨子所論與現(xiàn)代投影幾何理論的思想方法是一致的。

        由是可知,《經(jīng)下》:“景不徙,說在改為。”及《經(jīng)說下》的“景”俱訓(xùn)作第二義,即物體遮蔽光線所成的投影。而“為”,段玉裁《說文解字注》云:“凡有所變化,曰為?!薄稜栄拧贰搬屟浴保骸白髟鞛橐??!薄案臑椤闭?,光源運(yùn)動(dòng)、或物體運(yùn)動(dòng)之意。

        因此,《經(jīng)下》此文可釋為:影不徙;若改徙,其故在光源或被投影的物體之間有移動(dòng)。《經(jīng)說下》:“景,光至,景亡。”一語,宜作“被投影物體遮蔽光線所成之陰影”之義。投影是因物體遮蔽了投射到地面或屏上的光線而形成的。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí),若前一瞬間的光被遮住出現(xiàn)投影的地方,后一瞬間就被光所照射,投影便消失了。若新出現(xiàn)的影子是在后一瞬間光被遮住的地方出現(xiàn)的,已經(jīng)不是前一瞬間的投影。因此,墨子說:“景不徙?!比绻矬w運(yùn)動(dòng)后原先的投影不消失,就會(huì)永遠(yuǎn)存在于那個(gè)地方,即“盡古息”,那是難以想象的。那么,為什么投影又似乎隨著物體而運(yùn)動(dòng)呢?這是因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)在時(shí)間和空間中表現(xiàn)是連續(xù)的,前后瞬間的投影也是隨之連續(xù)不斷地更新的,即“改為”,因此,看起來就仿佛影子隨著物體在運(yùn)動(dòng)。墨子關(guān)于“景不徙”的論述,反映了墨子觀察的敏銳,見解的準(zhǔn)確,理論的獨(dú)到。

        《墨子》在論述了光源與投影物體之間的物理性質(zhì)之后,接著論述了光源、投影物體與物體的投影三者之間的關(guān)系。

        《經(jīng)下》:“景二。說在重?!?/p>

        《經(jīng)說下》:“景二,光夾。一,光一。光者,景也。”

        此條所及,進(jìn)一步論述了光線與成影之間的關(guān)系,較上條更進(jìn)了一步。“一”,謂光線唯一,《經(jīng)說下》末句:“光者,景也”,此景字如“景不徙,說在改為”,解釋為光義。此條亦在論述光源、物體以及投影三者地位與關(guān)系,略具一斑,而對(duì)于認(rèn)識(shí)光為直線的觀念,亦可其端緒。

        2.2 《經(jīng)》、《經(jīng)說》論述投影幾何的性質(zhì)

        毋庸置疑,《墨子》所論投影幾何的基本概念與現(xiàn)代投影理論的思想方法是一致的。今天,人們?cè)谘芯课矬w的形狀、大小及相對(duì)位置等幾何性質(zhì)時(shí),是用光線照射物體,在某個(gè)平面;如地面、墻壁等上得到的影子叫做物體的投影(projection),照射光線叫做投影線,投影所在的平面叫做投影面。有時(shí)光線是一組互相平行的射線,例如太陽光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影(parallel projection),由同一點(diǎn)(點(diǎn)光源發(fā)出的光線)形成的投影叫做中心投影(center projection)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。投影線不垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做斜投影。物體投影的形狀、大小與其相對(duì)投影面的位置和角度有關(guān)。陰影理論是假定在光線的照射下,平面上有一部分因被物體阻擋,光線照射不到,則將這部分圖形,稱為物體落在平面上的影。影在輪廓線為影線,影是由于光線被物體向光的一面擋住而產(chǎn)生的,因此,面向光的一面與背向光的一面的分界線的影,就是影的輪廓線。無論是陰影,或是投影,都必須具備光源,及被投影的物體和投影所在的平面?!赌印氛撌鐾队拔矬w與投影光源——即投影中心的關(guān)系,以及投影空間位置、大小、及其實(shí)驗(yàn)的結(jié)果,如《經(jīng)下》及《經(jīng)說下》所云。

        《經(jīng)下》云:“景之小大,說在地缶遠(yuǎn)近?!?/p>

        《經(jīng)說下》云:“景:木柂,景短、大;木正,景長(zhǎng)小。大小于木,則景大于木。非獨(dú)小也。遠(yuǎn)近?!?/p>

        “木”即木表或標(biāo)木,用以作實(shí)驗(yàn)以成像的物體。孫詒讓(1848—1908年)《墨子閒詁》解釋:“地”當(dāng)為“柂”,柂即迤之假字?!皷薄罢蔽恼鄬?duì)?!稜栄拧め層?xùn)》,“迤邐,旁行也?!碑呫?1730—1797年)云:“木柂即木斜也”?!罢f在地缶遠(yuǎn)近”中的“缶”字,亦“正”字之誤?!赌印吩诖岁U述了光源與物體的位置關(guān)系,從而決定投影之大小的原理及其規(guī)律;即視點(diǎn)與物體的位置變化,確定被投影的物體在投影面上的形狀。

        《經(jīng)下》云:“景之小大”,言投影之短長(zhǎng)。與《經(jīng)說下》中的“景短大”、“影長(zhǎng)小”之“短”“長(zhǎng)”兩字相應(yīng)。“光小于木”者,光之形體小于木也。景大于木者,即投影之形狀大于木也。最后的“小”字與“光小于木”之“小”字同義?!敖?jīng)說下”之“非獨(dú)小木”,景亦大于木?!斑h(yuǎn)近”為“木遠(yuǎn),景短大;木近,景長(zhǎng)小”。木遠(yuǎn),木近者,木遠(yuǎn)于或近于光的位置。遠(yuǎn)則小,近則大。木正者,在與地垂直平面中,木與光線成正交。木柂者,不同于木正之方向。

        《墨子》中這條原理可用數(shù)學(xué)予以證明:設(shè)光源自定點(diǎn)方向,投射于地平面上,與地平線成夾角。木竿以為中心,在平面中轉(zhuǎn)動(dòng),畫成一半圓形如12,木竿之投影,即在上長(zhǎng)短變化。設(shè)木竿與地平面所成之角為,則其在上的投影為。如圖11所示。

        圖11 《墨子》投影理論的數(shù)學(xué)原理

        ∵D=D–D=

        D=D=,即平行線間的內(nèi)錯(cuò)角相等。

        三角形內(nèi)角和為p

        ∴D=p–D–D=p–()–=p–

        ∴代入式(1),得

        以上所述實(shí)驗(yàn),與《墨子》中“柂,短;正長(zhǎng)”的論述,適相吻合。

        有光源如,其形體小于木竿,如圖12所示,置投影面于其后,則得投影為ˊˊ恒較實(shí)物為大,故曰“光小于木,景大于木”。反之,若光源大于木竿,如圖13所示,則投影面上所得之投影ˊˊ亦大于木竿,雖其本影小于CD。若投影面愈向后移,則本影亦可大于。故曰“光大于木,景亦大于木”[8]。

        圖12 《墨子》“光小于木,景大于木”示意圖

        圖13 《墨子》“光大于木,景亦大于木”示意圖

        在以上的論述中,不論小于或大于,投影面與光源間之距離若一定,則愈遠(yuǎn)于,投影ˊˊ愈短;故半影ˊˊ部分愈小,即影色愈深。反之,愈近于,則投影ˊˊ愈長(zhǎng),而半影ˊˊ部分愈大,即影色愈淺。故曰:“木柂,影短大;木近,景長(zhǎng)小”。

        《經(jīng)說下》云:“大小于木,則景大于木。非獨(dú)小也。遠(yuǎn)近”中的“遠(yuǎn)近”二字亦為省略句,該句意為:“遠(yuǎn)近亦同?!比魧⒃摼溲a(bǔ)充完整,當(dāng)為:“光木遠(yuǎn),則景??;光木近,則景大?!币饧矗骸肮庠磁c標(biāo)木距離遠(yuǎn),則所成之像?。还庠磁c標(biāo)木距離近,則所成之像大?!笨芍?,墨子的闡述,是建立在視點(diǎn)與投影物體、投影面相應(yīng)的比例關(guān)系之上,《墨子》論中心投影及其性質(zhì),見表1[9]。

        表1 《墨子》論中心投影及其性質(zhì)

        由是觀之,墨子對(duì)投影幾何的論述,已涉及視點(diǎn)與物體的位置變化確定被物體在投影面上的形狀——這一原理及其規(guī)律?!督?jīng)下》與《經(jīng)說下》前部分,講標(biāo)木斜正與成像大小的關(guān)系;中間部分,講光源大小與成像大小的關(guān)系;后部分,講光源和物體——標(biāo)木距離的遠(yuǎn)近與成像大小的關(guān)系,前后內(nèi)容非常統(tǒng)一?!熬爸〈?,說在地缶遠(yuǎn)近”,基于平行投影,用平行光束來說明投影關(guān)系,太陽光為天然平行光束之光源,平行投影是在一束平行光線照射下形成的投影?!澳緰岸檀?;木正,景長(zhǎng)小?!敝v的是中心投影,有一光源和一個(gè)物體,光源是以分散的方式照射到物體上的投影,這就是中心投影的原理。

        故本條《經(jīng)說下》之意為:標(biāo)木傾斜,則所成之投影短而濃寬;標(biāo)木正立,則所成之投影長(zhǎng)而淡窄。光源小于標(biāo)木,那么所成的投影就大于標(biāo)木本身;但是,光源不會(huì)獨(dú)獨(dú)小于標(biāo)木,如果光源大于標(biāo)木,那么所成的投影就小于標(biāo)木本身。光源與標(biāo)木距離遠(yuǎn),則所成之投影小;光源與標(biāo)木距離近,則所成之投影大。

        《墨子》中論及投影的生成,為光學(xué)諸條之首,且開宗明義,投影之定義,光源與投影的關(guān)系,淺顯明了,與現(xiàn)代投影理論中投影形成的三條件,正相吻合。盡管《墨子》中未及圖解法來解決空間幾何圖形的作圖問題,但其所囊括了投影幾何以及畫法最基本的概念,是《墨子》那個(gè)時(shí)代對(duì)投影理論認(rèn)識(shí)成果的反映。

        3 《墨子》中有關(guān)制圖工具的記載

        圖與圖樣是語言以外最重要的傳遞信息的方式,圖學(xué)作為工程技術(shù)的基礎(chǔ)語言,可投射人們的想象于真實(shí)世界,也就是說圖與圖樣可將工程師的想象,實(shí)現(xiàn)于真實(shí)世界里。而實(shí)現(xiàn)這一過程的關(guān)鍵就是制圖,而在制圖的過程中,常用的繪圖工具是保證繪圖準(zhǔn)確性的基礎(chǔ),也是衡量繪圖水平的重要方面。正確地使用繪圖工具是工程技術(shù)人員必須具備的基本技能,也是學(xué)習(xí)和鞏固制圖學(xué)理論知識(shí)的重要方法。在圖學(xué)發(fā)展的歷史上,無論東方還是西方,都是如此。

        《墨子》中有關(guān)古代繪圖工具的“規(guī)”與“矩”,記載詳實(shí),出現(xiàn)頻率較高,這在先秦文獻(xiàn)中,是不多見的。雖《墨子》的文字,人稱難讀,但論及其“規(guī)”與“矩”,條理嚴(yán)密,邏輯性強(qiáng);其書中,“規(guī)”字共十一見,“矩”字共十見:俱出現(xiàn)于“法儀”、“天志”、“經(jīng)說”諸篇之中。其云:

        《墨子·法儀》第四,子墨子曰:“天下從事者不可以無法儀,無法儀而其事能成者無有也。雖至士之為將相者,皆有法,雖至百工從事者,亦皆有法,百工為方以矩,為圓以規(guī),直以繩,正以縣?!?/p>

        《墨子·天志上》第二十六,子墨子言曰:“我有天志,譬若輪人之有規(guī),匠人之有矩,輪匠執(zhí)其規(guī)矩,以度天下之方圜,曰:‘中者是也,不中者非也?!裉煜轮烤又畷豢蓜佥d,言語不可盡計(jì),上說諸侯,下說列士,其于仁義則大相遠(yuǎn)也?!?/p>

        《墨子·天志中》第二十七:“是故子墨子之有天之,辟人無以異乎輪人之有規(guī),匠人之有矩也。今夫輪人操其規(guī),將以量度天下之圜與不圜也,曰:‘中吾規(guī)者,謂之圜;不中吾規(guī)者,謂之不圜。’是故圜與不圜,皆可得而知也。此其故何?則圜法明也。匠人亦操其矩,將以量度天下之方與不方也,曰:‘中吾矩者,謂之方;不中吾矩者,謂之不方?!且苑脚c不方,皆可得而知之。此其故何?則方法明也?!?/p>

        《墨子·天志中》第二十八:“故子墨子置立天之以為儀法,若輪人之有規(guī),匠人之有矩也。今輪人以規(guī),匠人以矩,以此知方圜之別矣。是故子墨子置立天之,以為儀法?!?/p>

        《墨子·經(jīng)說上》第四十二:“圜:規(guī)寫支也?!?/p>

        《墨子·經(jīng)說上》第四十二:“法:意、規(guī)、員三也,俱可以為法?!?/p>

        《墨子·經(jīng)說上》第四十二:“方:矩見支也。”

        由茲可知,《墨子》所載“規(guī)”、“矩”,其意有二:其一、作為繪圖的工具“規(guī)”。其二、“矩”與作為規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)的“規(guī)”與“矩”。

        3.1 作為繪圖的工具“規(guī)”與“矩”

        作為繪圖工具的“規(guī)”與“矩”,在先秦時(shí)期已經(jīng)是人所周知的制圖工具,墨子所云“中吾規(guī)者,謂之圜;不中吾規(guī)者,謂之不圜”,“為方以矩,為圓以規(guī),直以繩,正以縣”,反映了當(dāng)時(shí)使用繪圖工具的事實(shí)。

        在幾何里,被限定用直尺和圓規(guī)畫圖,稱為尺規(guī)作圖,最基本、最常用的尺規(guī)作圖,稱基本作圖。由于只用幾種基本尺規(guī)作圖的方法就可完成一大類圖形的制作,也就是說以形為核心,綜合地、巧妙地融合幾何、數(shù)學(xué)進(jìn)行平面幾何作圖的問題,故最能將各學(xué)科的長(zhǎng)處融合在一起,尺規(guī)作圖的畫法本質(zhì)上是一種“形計(jì)算”。因此,尺規(guī)作圖能夠反映一個(gè)時(shí)代幾何發(fā)展水平。

        《墨子》同時(shí)代的曾侯乙墓中出土文物的幾何作圖,足以代表墨子同時(shí)代尺規(guī)作圖的高度成就;曾侯乙器物中的尺規(guī)作圖,不僅有嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖,而且還有大量的非標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖,如五等分圓周的近似幾何作圖,其繪制之精,畫法之嚴(yán),線條之準(zhǔn);即使二千五百年以后觀之,仍令人嘆為觀止!這是比曾侯乙晚一百多年的古希臘尺規(guī)作圖遠(yuǎn)遠(yuǎn)所不能企及的??v覽古今,對(duì)比中西,至今都沒有看到古希臘時(shí)期有象曾侯乙墓那樣的近似幾何作圖與非標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖。

        3.2 作為規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)的“規(guī)”與“矩”

        作為規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)的“規(guī)”與“矩”。如《天志》諸篇之中,《墨子》不僅詳細(xì)地論述了古代作圖工具——“規(guī)”與“矩”,以及用“規(guī)”與“矩”測(cè)圓與不圓、方與不方的事實(shí)。而且以規(guī)矩之用,比喻標(biāo)準(zhǔn)法度,以喻“為政之道”、“為事之法”、“為人之儀”;這在西方的科技文獻(xiàn)中是不多見的。

        即令是科學(xué)技術(shù)日益發(fā)達(dá)的今天,任何研究項(xiàng)目、施工工程,也是沒有規(guī)矩,不成方圓的?!赌印吩趶?qiáng)調(diào)規(guī)矩所云:“天下從事者不可以無法儀,無法儀而其事能成者無有也”,如同今日強(qiáng)化圖繪標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)的重要性一樣。圖和圖樣作為科學(xué)、工程、藝術(shù)等的交流語言,一種傳遞構(gòu)想與交換知識(shí)的工具,需要遵循一定的規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)。圖形標(biāo)準(zhǔn)化支持人類創(chuàng)意的交流,其出自學(xué)科創(chuàng)新,又不斷地促進(jìn)學(xué)科創(chuàng)新,也作為圖學(xué)的成果及共享展現(xiàn),因此,“其于仁義則大相遠(yuǎn)也?!边@也是為什么《墨子》成為古代繪圖技術(shù)重要文獻(xiàn)之一的原因所在。

        4 結(jié)束語

        (1)《墨子》中圖學(xué)的內(nèi)容,表現(xiàn)了中國(guó)古代科學(xué)技術(shù)重視幾何學(xué)、圖學(xué)的學(xué)術(shù)傳統(tǒng),《墨子》在圖學(xué)方面的實(shí)踐及其對(duì)圖學(xué)理論研究的嘗試,反映了中國(guó)人的科學(xué)探索精神。今天,即令是計(jì)算機(jī)的介入,圖與圖樣作為工程技術(shù)語言的地位,并沒有改變,乃至制圖、讀圖、圖紙的信息共享等的理論、方法與技術(shù),現(xiàn)在仍需要圖學(xué)去承擔(dān)。因此,《墨子》在圖學(xué)方面表現(xiàn)出的智慧與成就,仍然值得今人借鑒。梁?jiǎn)⒊琜10](1873—1929年)在《墨經(jīng)校釋·自序》中稱:“在吾國(guó)古籍中,欲求與今世所謂科學(xué)精神相懸契者,《墨經(jīng)》而已矣,《墨經(jīng)》而已矣”;絕非虛言。

        (2) 從《墨子》的圖學(xué)實(shí)踐以及圖學(xué)理論可以看出:墨子及其學(xué)派研究幾何學(xué)的概念,并不是打算用演繹推理的辦法去證明任何幾何定理,而是探討投影幾何與測(cè)量有關(guān)的事實(shí);這種思想方法一直影響著中國(guó)的文化與科技的發(fā)展。然而,中國(guó)古代的圖學(xué)及其繪制技術(shù);沒有《墨子》所代表的古代圖學(xué)家們對(duì)幾何學(xué)、投影幾何學(xué)的認(rèn)識(shí)及其理論的積淀,要取得這些圖學(xué)成果,同樣也是不可能的。

        (3) 學(xué)術(shù)研究追求學(xué)術(shù)的發(fā)展與超越。對(duì)《墨子》圖學(xué)的考察,可以重新認(rèn)識(shí)與定位圖學(xué)的歷史地位及其作用?!赌印纷鳛橄惹貢r(shí)期墨家學(xué)派的一部著作匯集,不僅有相當(dāng)一部分論述自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的內(nèi)容,譬之力學(xué)、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)、光學(xué)、測(cè)量學(xué)等方面,這些專業(yè)理論知識(shí),“自相挹注”,都有具體的論述和科學(xué)的總結(jié)?!赌印芬粫校P(guān)于圖學(xué)及其基本理論的內(nèi)容,其文字雖簡(jiǎn)賅,其詞語古雖奧,但《墨子》中記載的這些文字,畢竟是對(duì)古代圖學(xué)實(shí)踐的理論探索,實(shí)是先秦文獻(xiàn)中所沒有的,同時(shí),也是同時(shí)期西方科技文獻(xiàn)中沒有的。這也使《墨子》成為中國(guó)文化典籍中第一部科學(xué)史、第一部技術(shù)思想史、乃至第一部圖學(xué)史的著作而當(dāng)之無愧。

        [1] 湖北省博物館, 北京工藝美術(shù)研究所. 戰(zhàn)國(guó)曾侯乙墓出土文物圖案選[M]. 武漢: 長(zhǎng)江文藝出版社, 1984: 15-59, 87-89.

        [2] 湖北省博物館.曾侯乙墓[M]. 北京: 文物出版社, 1989: 167-175, 329-330.

        [3] 湖北省荊沙考古隊(duì). 包山楚墓[M]. 北京: 文物出版社, 1991: 64, 112, 194.

        [4] 譚戒甫. 《新編諸子集成》墨辯發(fā)微(第一輯)[M]. 北京: 中華書局, 1976: 136-144.

        [5] 孫詒讓. 墨子后語上, 載《墨子閒詁》, 《諸子集成》(第四輯)[M]. 北京: 中華書局, 1954: 13-21.

        [6] 李約瑟. 《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》(第三卷): 數(shù)學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1978: 201-214.

        [7] 張世鈞等編譯. 投影幾何學(xué)[M]. 沈陽: 東北教育出版社, 1951: 6-36.

        [8] 錢臨照: 釋墨經(jīng)中光學(xué)力學(xué)諸條。載方勵(lì)之主編:科學(xué)史論集[M]. 合肥: 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 1987: 1-36.

        [9] 徐希燕. 墨學(xué)研究[M]. 北京: 商務(wù)印書館, 2001: 187-189.

        [10] 梁?jiǎn)⒊? 墨經(jīng)校釋[M]. 北京: 商務(wù)印書館, 1922: 1-3.

        The Achievements and Scientific Value of Mo-Tse in the Theory of Graphics and Geometry

        LIU Keming

        (School of Humanities, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan Hubei 430074, China)

        “Mo-tse” is the first systematic exposition of the theory of knowledge and science and technology in the history of science and technology in ancient China. “Mo-tse” records show that: drawings, drawings and words and figures play an irreplaceable role on the human social progress and the development of science and technology. However, it is still a subject that needs to be deeply and systematically to discuss “Mo-tse”, especially for the definition and status of the graph and descriptive geometry theory. Through the investigation of “Mo-tse” about basic concept and theories on graphics, this article summarized graphics mapping in practice and theories, and reflect the scientific exploration spirit.

        drawing; graph theory; Mo-tse

        O 110.11

        10.11996/JG.j.2095-302X.2018010148

        A

        2095-302X(2018)01-0148-11

        2017-04-19;

        2017-07-10

        華中科技大學(xué)文科專項(xiàng)基金項(xiàng)目

        劉克明(1950–),男,湖北武漢人,工學(xué)博士。主要研究方向?yàn)橹袊?guó)科技史、中國(guó)圖學(xué)史。E-mail:liukeming@ hust.edu.cn

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